2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高二(上)期中数学试卷

2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高二（上）期中数学试卷
一.填空题
1. 直线过点，且法向量为，则直线的一般式方程为________．
2. 已知直线和互相垂直，则实数等于________．
3. 已知等比数列满足，，则________．
4. 已知数列中，，，数列满足，，则________．
5. 设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则________．
6. 设，为单位向量．且、的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为________．
7. 设数列的前项和为，若，，，则的通项公式为________．
8. 数列满足,…，，，则________．
9. 数列满足，，且，，记的前项和为，则________．
10. 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________．
11. 若、、均为单位向量，且，•，则的最大值为________．
12. 在平面直角坐标系中，、分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为________．
二.选择题
1. 设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（）
A.
B.
C.
D.
2. 对任意实数，直线与圆的位置关系为（）
A.相交
B.相切或相离
C.相离
D.相交或相切
3. 数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有（）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列
②一定是等差数列，但不可能是等比数列
③可能是等比数列，也可能是等差数列
④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列．
A. B. C. D.
4. 到两条坐标轴距离之差的绝对值为的点的轨迹是（）
A.两条直线
B.四条直线
C.四条射线
D.八条射线
三.解答题
1. 设向量，；
（1）若，且，求；
（2）若，求的值．
2. 设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
（1）若数列的前项和，证明：是“数列”；
（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值．
3. 已知圆．
（1）直线与圆相交于、两点，求；
（2）如图，设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别
交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
4. 已知数列中，，，．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上．
参考答案与试题解析
2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高二（上）期中数学试卷
一.填空题
1.
【答案】
【考点】
直线的一般式方程
【解析】
直线的法向量为，则斜率．利用点斜式可得方程，再化简即可得出．
【解答】
解：直线的法向量为，则斜率．
∴点斜式为：，化为：，
故答案为：．
2.
【答案】
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于，解方程求出实数的值．
【解答】
解：∵直线和互相垂直，∴他们的斜率之积等于，即，
∴，
故答案为：．
3.
【答案】
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
设等比数列的公比是，根据题意和等比数列的通项公式列出方程，化简后求出的值，即可求出．【解答】
解：设等比数列的公比是，
因为，，
所以，
化简得，，解得，则，
所以，
故答案为：．
4.
【答案】
【考点】
数列递推式
数列的极限
【解析】
求出，从而，由此有求出的值．【解答】
解：∵数列中，，，
∴数列是首项，公差的等差数列，
∴，
∴，
∴
．
∴．
故答案为：．
5.
【答案】
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得，由此求得的值．【解答】
由于圆的圆心，半径等于，且圆截直线所得的弦的长为，
故圆心到直线的距离为，即，解得，
6.
【答案】
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．
【解答】
解：∵、为单位向量，且和的夹角等于，∴．
∵，，∴．
∴在上的射影为，
故答案为．
7.
【答案】
【考点】
数列递推式
【解析】
利用等比数列的通项公式与递推关系即可得出．
【解答】
解：∵，，，
∴，，解得，．
时，，可得：，
化为：．
∴数列是等比数列，公比为，首项为．
∴．
故答案为：．
8.
【答案】
【考点】
数列递推式
【解析】
，可得，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】
解：，可得，
可得数列为等比数列，公比．
∴．
∴，解得．
故答案为：．
9.
【答案】
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
数列满足，，且，，可得：，同理可得：，，，，，，，，，…．时，，即可得出．
【解答】
解：数列满足，，且，，
∴，同理可得：，，，，，，，，，…．
∴
．
故答案为：．
10.
【答案】
【考点】
直线的斜率
直线和圆的方程的应用
【解析】
本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．
【解答】
解：如图示，由图形可知：
点在圆的内部，
圆心为要使得劣弧所对的圆心角最小，
只能是直线，
所以．11.
【答案】
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
根据若、、均为单位向量，且，•可得到，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．【解答】
解：∵ •，
∴
又∵、、均为单位向量，且，
∴，
又
∴的最大值为
故答案为：
12.
【答案】
【考点】
圆的切线方程
【解析】
如图，设的中点为，坐标原点为，圆半径为，由已知得，过点作直线的垂直线段，交于，交直线于，则当恰为中点时，圆的半径最小，即面积最小．
【解答】
解：如图，设的中点为，坐标原点为，圆半径为，
由已知得，
过点作直线的垂直线段，
交于，交直线于，
则当恰为中点时，圆的半径最小，即面积最小．
此时圆的直径为到直线的距离为：
，
此时
∴圆的面积的最小值为：．
故答案为．
二.选择题
1.
【答案】
A
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
只有非零向量、同向共线时，只有满足条件．
【解答】
解：只有非零向量、同向共线时，，
∴．
故选：．
2.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
根据圆的方程得到圆的半径，求出圆心到直线的距离与半径比较大小即可得到直线与圆的位置关系．【解答】
解：把圆的方程化为标准形式得：，可知圆的半径等于，
求出圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切或相交．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
数列的求和
等差关系的确定
两向量的和或差的模的最值
【解析】
由求出，分；；，三种情况进行讨论，根据等差、等比数列的通项公式的特征可作出判断．
【解答】
解：①，②，
①-②得，，当时，，此时数列为等差数列；
当时，，此时数列既不是等差数列也不是等比数列；
当且时，（此时数列为等比数列；
由以上分析知，正确的说法为③④．
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
轨迹方程
【解析】
设动点坐标为，依题意，直接列式化简即可．
【解答】
解：设动点坐标为，依题意
∵到两坐标轴的距离之和为，
∴．即：或．
故选：．
三.解答题
1.
【答案】
解：（1）∵，，，
∴，
∴，，
∴；
（2）若，
则，
整理得：，
．
【考点】
平面向量的简单坐标运算
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
（1），根据向量平行，得到，结合的范围，求出即可；（2）根据向量的运算得到，求出的值即可．
【解答】
解：（1）∵，，，
∴，
∴，，
∴；
（2）若，
则，
整理得：，
．
2.
【答案】
（1）证明：当时，，
当时，，
所以，
所以对任意的，是数列中的第项，
因此数列是“数列”．
（2）解：依题意，，，
若是“数列”，则对任意的，都存在使得，
即，
所以，
又因为，，
所以对任意的，，且，
所以．
【考点】
数列递推式
【解析】
（1）由已知得，由此能证明数列是“数列”．
（2）依题意，，，若是“数列”，则，由此能求出的值．
【解答】
（1）证明：当时，，
当时，，
所以，
所以对任意的，是数列中的第项，
因此数列是“数列”．
（2）解：依题意，，，
若是“数列”，则对任意的，都存在使得，
即，
所以，
又因为，，
所以对任意的，，且，
所以．
3.
【答案】
解：（1）由于圆心到直线的距离．
圆的半径，∴．…
（2）由于、是圆上的两个动点，则可得，，且，．…
根据的方程为，令求得．
根据的方程为：，令求得．…
∴，显然为定值．…
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
（1）先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求得弦长的值．
（2）先求出和点的坐标，用两点式求直线和的方程，根据方程求得他们在轴上的截距、的值，计算的值，可得结论．
【解答】
解：（1）由于圆心到直线的距离．圆的半径，∴．…
（2）由于、是圆上的两个动点，则可得，，且，．…
根据的方程为，令求得．
根据的方程为：，令求得．…
∴，显然为定值．…
4.
【答案】
（1）证明：将已知条件变形为…
由于，则（常数）…
即数列是以为首项，公比为的等比数列…
所以，即．…
（2）解：假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，，由题意得，，将，，代入上式得…
…
化简得，，即，得，解得，
所以，存在满足条件的连续三项为，，成等差数列．…
（3）证明：若，，成等差数列，则，
即，变形得…
由于若，且，下面对、进行讨论：
①若，均为偶数，则，解得，与矛盾，舍去；
②若为奇数，为偶数，则，解得；
③若为偶数，为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；
④若，均为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；…
综上①②③④可知，只有当为奇数，为偶数时，，，成等差数列，
此时满足条件点列落在直线（其中（为正奇数）上．…（不写出直线方程扣分）
【考点】
数列递推式
【解析】
（1）将条件变形，构造符合条件的数列，即可证明数列是等比数列，从而可求数列的通项公式；（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，代入相应的项，化简可得结论；
（3）若，，成等差数列，则，代入变形整理，对、进行讨论，可得结论．
【解答】
（1）证明：将已知条件变形为…
由于，则（常数）…
即数列是以为首项，公比为的等比数列…
所以，即．…
（2）解：假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，，由题意得，，将，，代入上式得…
…
化简得，，即，得，解得，
所以，存在满足条件的连续三项为，，成等差数列．…
（3）证明：若，，成等差数列，则，
即，变形得…
由于若，且，下面对、进行讨论：
①若，均为偶数，则，解得，与矛盾，舍去；
②若为奇数，为偶数，则，解得；
③若为偶数，为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；
④若，均为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；…
综上①②③④可知，只有当为奇数，为偶数时，，，成等差数列，
此时满足条件点列落在直线（其中（为正奇数）上．…（不写出直线方程扣分）。