2019中考数学二轮复习题型突破五【几何图形探究题】精练及解析

中考数学二轮复习题型突破五【几何图形探究题】精练

类型一

几何图形静态探究

1．(2017·成都)问题背景：如图①，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC 于点D，则D 为BC 的中

点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BC AB ＝2BD

AB

＝3；

迁移应用：如图②，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C 三点在同一条直线上，连接BD.

①求证：△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD，BD，CD 之间的等量关系式；

拓展延伸：如图③，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，在∠ABC 内作射线BM，作点C 关于BM 的对称点E，连接AE

并延长交BM 于点F，连接CE，CF.

①证明△CEF 是等边三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF 的长.

2．(2017·许昌模拟)在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，动点P 在线段BC 上(不含点B)，∠BPE＝1

2∠ACB，

PE 交BO 于点E，过点B 作BF⊥PE，垂足为F，交AC 于点G.

(1)当点P 与点C 重合时(如图①)，求证：△BOG≌△POE；(2)通过观察、测量、猜想：

BF

PE

＝__________，并结合图②证明你的猜想；(3)把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图③)，若∠ACB＝α，求BF

PE

的值．(用含α的式子表示)

3．(2014·河南)(1)问题发现

如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A，D，E 在同一直线上，连接BE.

填空：

①∠AEB 的度数为__________；

②线段AD，BE 之间的数量关系为__________．(2)拓展探究

如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE，请判断∠AEB 的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由．

(3)解决问题

如图③，在正方形ABCD 中，CD＝2，若点P 满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离.

4．(2017·长春改编)【再现】如图①，在△ABC 中，点D，E 分别是AB，AC 的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝1

2

BC.(不需要证明)【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明；

【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形ABCD 中，满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？你添加的条件是：__________.(只添加一个条件)

(2)如图③，在四边形ABCD 中，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，对角线AC，BD 相交于点O.若AO ＝OC，四边形ABCD 面积为5，求阴影部分图形的面积.

5．(2016·新乡模拟)问题背景：已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A，B 不重合)，同时，点E

由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于点F，点H 是线段AF 上一点，求AC

HF

的值．

(1)初步尝试

如图①，若△ABC 是等边三角形，DH⊥AC，且D，E 的运动速度相等，小王同学发现可以过点D 做DG∥BC，交AC

于点G，先证GH＝AH.再证GF＝CF，从而求得AC

HF

的值为__________；

(2)类比探究

如图②，若在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D，E 的运动速度之比是3∶1，求AC

HF 的值；

(3)延伸拓展

如图③，若在△ABC 中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记BC

AC

＝m，且点D，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示

AC

HF

的值(直接写出结果，不必写解答过程).

类型二几何图形动态探究

1．(2015·河南)如图①，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E 分别是边BC、AC 的中点，连接DE，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)问题发现

①当α＝0°时，AE BD ＝__________；②当α＝180°时，AE

BD ＝__________；

(2)拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，AE

BD

的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．(3)问题解决

当△EDC 旋转至A，D，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．

2．已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA，OB，OC.

(1)如图①，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC.①∠DAO 的度数是__________；

②用等式表示线段OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明；(2)设∠AOB＝α，∠BOC＝β.

①当α，β满足什么关系时，OA＋OB＋OC 有最小值？请在图②中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA＋OB＋OC 的最小值.

3．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现

如图②，固定△ABC，使△DCE 绕点C 旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：①线段DE 与AC 的位置关系是__________；

②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是__________；(2)猜想论证

当△DEC 绕点C 旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC

和△AEC 中BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想；

(3)拓展探究

已知∠ABC＝60°，点D 是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB 交BC 于点E(如图④)，若在射线BA 上存

在点F，使S △DCF ＝S △BDC ，请直接写出相应的BF 的长.