石家庄市新华区2019-2020年八年级上期末数学试卷含答案解析

石家庄市新华区2019-2020年八年级上期末数学试卷含答案解
析
一、仔细选一选（本大题共12小题，每小题2分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正确选项的代码填在题后的括号内）
1．4的算术平方根是（）
A．±2 B．2 C．4 D．﹣2
2．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．若使分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠﹣1 D．x=2
4．下列结论正确的是（）
A．形状相同的两个图形是全等图形
B．全等图形的面积相等
C．对应角相等的两个三角形全等
D．两个等边三角形全等
5．下列属于最简二次根式的是（）
A． B．C．D．
6．某市年的地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为21.39亿元，则这个数值精确到（）
A．百分位B．亿位C．千万位D．百万位
7．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）
A．13 B．15 C．17 D．13或17
8．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先
假设（）
A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°
9．下列运算正确的是（）
A．2÷=B． =﹣2 C．（﹣）2=﹣2 D．×=
10．如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
11．如图，数轴上点A，B所对应的实数分别是1和，点B与点C关于点A 对称，则点C所对应的实数是（）
A．B．2﹣C．2﹣2 D．﹣1
12．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（）
A．7个B．8个C．10个D．12个
二、认真填一填（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.请把答案写在题中横线上）
13．0.008的立方根是．
14．命题“有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等”是命题．（填“真”或“假”）
15．如图，公路AC和BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开．已知公路AB=3.2km，则点M，C之间的距离为km．
16．规定符号“[m]”表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[π]=3．则按此规定[﹣1]=．
17．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则CE的长为．
18．如图，等边△ABC中，AB=4，AD⊥BC于点D，点F在线段AD上运动，点E在AC上，且AE=2，当EF+CF取最小值时，∠ECF=°．
三、细心解答（本大题共8个小题，共58分，解答应写出相应的文字说明或解题步骤）
19．计算：
（1）2+﹣；
（2）（b2﹣ab）•．
20．解方程：2﹣=．
21．当x=时，求（﹣）÷的值．
22．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于点D，E，连接DC，若BD=2，求线段AC的长．
23．如图，已知∠MON，点A，B分别在OM，ON边上，且OA=OB．
（1）求作：过点A，B分别作OM，ON的垂线，两条垂线的交点记作点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接OD，若∠MON=50°，则∠ODB=°．
24．在数学活动课上，小明将一块等腰直角三角形纸板ABC的直角顶点C放置在直线l上，位置如图所示，∠ACB=90°，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E．
（1）通过观察，小明猜想△ACD与△CBE全等，请你证明这个猜想；
（2）小明把三角形纸板ABC绕点C任意旋转（点C始终在直线l上，直角边不与l重合），借助（1）中的结论，发现线段AD，BE和DE之间存在某种数量关系，请你写出所有用BE，DE表示AD的式子：．
25．在我市地铁1号线的建设中，某路段需要有甲、乙两个工程队进行施工，已知甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，经测算，若由甲队先做15天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队的施工费用为6.5万元/天，乙队的施工费用为8.5万元/天，这项工程预算的施工费用为500万元．若甲、乙两队合作完成这项工程，则预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加多少万元？请通过计算说明．26．已知∠MAN=120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．
【发现】
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，则∠BCD=°，△CBD是三角形；【探索】
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；【应用】
（3）如图3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有．（只填序号）
①2个②3个③4个④4个以上
-学年八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本大题共12小题，每小题2分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正确选项的代码填在题后的括号内）
1．4的算术平方根是（）
A．±2 B．2 C．4 D．﹣2
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的概念即可求出答案．
【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，
故选（B）
2．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
3．若使分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠﹣1 D．x=2
【考点】分式有意义的条件．
【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x的取值范围是：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：A．
4．下列结论正确的是（）
A．形状相同的两个图形是全等图形
B．全等图形的面积相等
C．对应角相等的两个三角形全等
D．两个等边三角形全等
【考点】全等图形．
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，根据全等图形的性质以及全等三角形的性质进行判断即可．【解答】解：A．形状相同的两个图形不一定是全等图形，是相似形，故A错误；
B．根据全等图形的性质，可得全等图形的面积相等，故B正确；
C．对应角相等且对应边相等的两个三角形全等，故C错误；
D．两个边长相等的等边三角形全等，故D错误，
故选：B．
5．下列属于最简二次根式的是（）
A． B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：A．
6．某市年的地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为21.39亿元，则这个数值精确到（）
A．百分位B．亿位C．千万位D．百万位
【考点】近似数和有效数字．
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：21.39亿精确到0.01亿位，即精确到百万位．
故选D．
7．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）
A．13 B．15 C．17 D．13或17
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选C．
8．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）
A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°
【考点】反证法．
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
9．下列运算正确的是（）
A．2÷=B． =﹣2 C．（﹣）2=﹣2 D．×=
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】根据=（a≥0，b＞0），=|a|，=（a≥0，b ≥0），分别进行计算即可．
【解答】解：A、2=，故原题计算错误；
B、=2，故原题计算错误；
C、（﹣）2=2，故原题计算错误；
D、=，故原题计算正确；
故选：D．
10．如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．
【解答】解：∵AE∥FD，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：A．
11．如图，数轴上点A，B所对应的实数分别是1和，点B与点C关于点A 对称，则点C所对应的实数是（）
A．B．2﹣C．2﹣2 D．﹣1
【考点】实数与数轴．
【分析】根据点A、B表示的数求出AB，再根据对称可得AC=AB，然后根据数轴上左边的数比右边的小列式计算即可得解．
【解答】解：∵点A，B所对应的实数分别是1和，
∴AB=﹣1，
∵点B与点C关于点A对称，
∴AC=AB，
∴点C所对应的实数是1﹣（﹣1）=1﹣+1=2﹣．
故选B．
12．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（）
A．7个B．8个C．10个D．12个
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA=BC，AB=AC，CA=CB 去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵AB==2，如图所示：
∴①若BA=BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA=CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．
故选：C．
二、认真填一填（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.请把答案写在题中横线上）
13．0.008的立方根是0.2．
【考点】立方根．
【分析】根据立方根的概念即可求出答案
【解答】解：0.23=0.008
∴0.008的立方根是0.2
故答案为：0.2
14．命题“有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等”是假命题．（填“真”或“假”）
【考点】命题与定理．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法判断即可．
【解答】解：一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形，边与角不一定是对应边和对应角，
例如：两个直角三角形中相等的∠α的邻边与对边相等，两个三角形不全等，所以，这两个直角三角形不一定全等，
所以，“有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等”是假命题．
故答案为：假．
15．如图，公路AC和BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开．已知公路AB=3.2km，则点M，C之间的距离为 1.6km．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AB=1.6km．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=AB=1.6km．
故答案为：1.6．
16．规定符号“[m]”表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[π]=3．则按此规定[﹣1]=2．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】直接利用的取值范围得出2＜﹣1＜3，进而得出答案．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∴[﹣1]=2．
故答案为：2．
17．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则CE的长为5．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图，求出AC的长度；证明EF=EB（设为λ），得到CE=8﹣λ；列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=6；
由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2，而AD=8，
∴AC=10；由题意得：
∠AFE=∠B=90°，
AF=AB=6；EF=EB（设为λ），
∴CF=10﹣6=4，CE=8﹣λ；
由勾股定理得：
（8﹣λ）2=λ2+42，解得：λ=3，
∴CE=5，
故答案为5．
18．如图，等边△ABC中，AB=4，AD⊥BC于点D，点F在线段AD上运动，点E在AC上，且AE=2，当EF+CF取最小值时，∠ECF=30°．
【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
【分析】如图，作点E关于直线AD的对称点E′，连接CE′交AD于F′．由EF+FC=FE′+FC，所以当C、E′、F共线时，EF+CF最小，由△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=4，AE=AE′=2，推出AE′=E′B，∠ACB=60°，推出∠ACE′=∠BCE′=30°，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点E关于直线AD的对称点E′，连接CE′交AD于F′．
∵EF+FC=FE′+FC，
∴当C、E′、F共线时，EF+CF最小，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=4，AE=AE′=2，
∴AE′=E′B，∠ACB=60°
∴∠ACE′=∠BCE′=30°，
∴此时∠ECF=30°，
故答案为30．
三、细心解答（本大题共8个小题，共58分，解答应写出相应的文字说明或解题步骤）
19．计算：
（1）2+﹣；
（2）（b2﹣ab）•．
【考点】二次根式的加减法；分式的乘除法．
【分析】根据二次根式的性质以及分式运算的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=4+6﹣4=6，
（2）原式=b（b﹣a）•=﹣ab2，
20．解方程：2﹣=．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣x=﹣3，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解．
21．当x=时，求（﹣）÷的值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先将（﹣）÷进行化简，然后将x=代入求解即可．
【解答】解：（﹣）÷
=×
=﹣×
=﹣．
当x=时，
原式=﹣=﹣6．
22．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于点D，E，连接DC，若BD=2，求线段AC的长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠A的度数，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠DCB=30°，根据直角三角形的性质求出BC的长，得到答案．
【解答】解：∵∠ACB=60°，∠B=90°，
∴∠A=30°，
∵DE是斜边AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCB=30°，
∴BC=BD=2，
∴AC=2BC=4．
23．如图，已知∠MON，点A，B分别在OM，ON边上，且OA=OB．
（1）求作：过点A，B分别作OM，ON的垂线，两条垂线的交点记作点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接OD，若∠MON=50°，则∠ODB=65°．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据过直线上一点作直线垂线的方法作出垂线即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质结合四边形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）如图，DA，DB即为所求垂线；
（2）连接OD，
∵DB⊥ON，DA⊥OM，
∴∠OBD=∠OAD=90°，∠MON=50°，
∴∠ADB=180°﹣50°=130°．
在Rt△OBD与Rt△OAD中，
∵，
∴Rt△OBD≌Rt△OAD（HL），
∴∠ODB=∠ADB=65°．
故答案为：65．
24．在数学活动课上，小明将一块等腰直角三角形纸板ABC的直角顶点C放置在直线l上，位置如图所示，∠ACB=90°，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E．
（1）通过观察，小明猜想△ACD与△CBE全等，请你证明这个猜想；
（2）小明把三角形纸板ABC绕点C任意旋转（点C始终在直线l上，直角边不与l重合），借助（1）中的结论，发现线段AD，BE和DE之间存在某种数量关系，请你写出所有用BE，DE表示AD的式子：AD=BE﹣DE，或AD=DE﹣BE，或AD=DE+BE．．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：△ACD与△CBE．根据AAS即可证明；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°﹣∠ECB=∠CBE．
在△ACD与△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）AD=BE﹣DE，或AD=DE﹣BE，或AD=DE+BE．
故答案为：AD=BE﹣DE，或AD=DE﹣BE，或AD=DE+BE．
25．在我市地铁1号线的建设中，某路段需要有甲、乙两个工程队进行施工，已知甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，经测算，若由甲队先做15天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队的施工费用为6.5万元/天，乙队的施工费用为8.5万元/天，这项工程预算的施工费用为500万元．若甲、乙两队合作完成这项工程，则预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加多少万元？请通过计算说明．
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需x天，根据“甲先做15天的工作量+甲、乙合作30天的工作量=1”列分式方程求解可得；
（2）把这项工程的总工作量设为1，先求出甲、乙两队合作一天的工作量，再求得甲、乙两队合作完成这项工程需要的时间，根据“合作每天的费用×合作时间”可得所需总费用，从而得出答案．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需x天，
根据题意，得： +30×（+）=1，
解得：x=60，
经检验x=60是原分式方程的解，
当x=60时， x=90，
答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需60天；
（2）把这项工程的总工作量设为1，
则甲、乙两队合作一天的工作量为（+）=，
甲、乙两队合作完成这项工程需要的时间为1÷=36天，
∴合作需要的施工费用为36×（6.5+8.5）=540（万元），
∵540＞500，540﹣500=40（万元），
∴预算的施工费用不够用，需要追加40万元．
26．已知∠MAN=120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．
【发现】
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，则∠BCD=60°，△CBD是等边三角形；
【探索】
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；【应用】
（3）如图3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有④．（只填序号）
①2个②3个③4个④4个以上
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）利用四边形的内角和即可得出∠BCD的度数，再利用角平分线的
性质定理即可得出CB，即可得出结论；
（2）先判断出∠CDE=∠ABC，进而得出△CDE≌△CFB（AAS），得出CD=CB，再利用四边形的内角和即可得出∠BCD=60°即可得出结论；
（3）先判断出∠POE=∠POF=60°，先构造出等边三角形，找出特点，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接BD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=120°，
根据四边形的内角和得，∠BCD=360°﹣（∠ABC+∠ADC+∠MAN）=60°，
∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM．CB⊥AN，
∴CD=CB，（角平分线的性质定理），
∴△BCD是等边三角形；
故答案为：60，等边；
（2）如图2，同（1）得出，∠BCD=60°（根据三角形的内角和定理），
过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，
∵AC是∠MAN的平分线，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CFB中，，
∴△CDE≌△CFB（AAS），
∴CD=CB，
∵∠BCD=60°，
∴△CBD是等边三角形；
（3）如图3，∵OP平分∠EOF，∠EOF=120°，
∴∠POE=∠POF=60°，在OE上截取OG'=OP=1，连接PG'，
∴△G'OP是等边三角形，此时点H'和点O重合，
同理：△OPH是等边三角形，此时点G和点O重合，
将等边△PHG绕点P逆时针旋转到等边△PG'H'，在旋转的过程中，
边PG，PH分别和OE，OF相交（如图中G''，H''）和点P围成的三角形全部是等边三角形，（旋转角的范围为（0°到60°包括0°和60°），
所以有无数个；
理由：同（2）的方法．
故答案为④．
年2月21日。