初中数学冀教版七年级上册第二章 几何图形的初步认识2.7 角的和与差-章节测试习题(2)

章节测试题
1.【答题】如图，OA⊥OC，∠BOC=50°，若OD平分∠AOC，则
∠BOD=______°．
【答案】95
【分析】首先根据角平分线的定义求出∠COD的度数，进而求出∠BOD的度数．【解答】解：
OD平分，
故答案为：95.
2.【答题】如图所示，OA表示______偏______28°方向，射线OB表示______方向，∠AOB=______°．
【答案】北,东,东南,107
【分析】根据方向角的定义即可求解．
【解答】OA表示北偏东28°方向，射线OB表示东南方向，∠AOB=180°﹣28°﹣45°=107°，
故答案是：北、东、东南、107°．
3.【答题】如图，直线MN、PQ相交于点O，∠NOE：∠QOE =2:3，
∠MOP=50︒，
则∠QOE=______°.
【答案】30
【分析】根据对顶角相等，可知∠MOP=∠QON=50°，然后根据∠NOE：∠QOE =2:3，求出∠QOE=30°.
【解答】
答案为：30°.
4.【答题】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=30°，
∠BOC=2∠AOC，求
∠DOF=______°．
【答案】30
【分析】设∠AOC=x，表示出∠BOC=2x，根据邻补角的定义列式求出x，再求出∠EOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x，
由邻补角的定义得,
解得
所以,
故答案为：
5.【答题】如图，点O是直线AB上一点，∠COD=120°，则
∠AOC+∠BOD=______°．
【答案】60
【分析】根据平角的定义解答即可．
【解答】因为∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，∠COD=120°，所以
∠AOC+∠BOD=180°﹣120°=60°，故答案为60°．
6.【答题】在直线上取一点，过点作射线，，使，当
时，的度数是______°，或______°
【答案】50,130
【分析】分两种情况：①射线PA，PB在直线MN的同侧，②射线PA，PB在直线MN的异侧，根据垂直的定义和平角的定义解答即可．
【解答】如图，①当射线PA，PB在直线MN同侧时，∵∠MPA=40°，且
PA⊥PB，∴∠NPB1=90°-40°=50°；②当射线PA，PB在直线MN异侧时，
∵∠MPA=40°，且PA⊥PB，∴∠MPB=50°，
∴∠NPB2=130°，故答案为50°或130°．
7.【答题】如图，点O在直线AB上，射线OD平分∠AOC，若∠AOD=20°，则∠COB的度数为______度．
【答案】140
【分析】根据角平分线的定义得到∠AOC=2∠AOD=40°，根据平角的定义计算即可．
【解答】∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOD=40°，
∴∠COB=180°﹣∠COA=140°.
8.【题文】如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD=5∠DOB，求∠COD的度数.
【答案】∠COD=60° .
【分析】根据∠AOD和∠DOB互补以及∠AOD=5∠DOB求出∠BOD的度数，然后根据∠COD与∠BOD互余即可求出∠COD的度数．
【解答】
解：∵∠AOD=5∠BOD，
设∠BOD=x°，∠AOD=5x°．
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴x+5x=180，
∴x=30，
∴∠BOD=30°，
∵CO⊥AB，
∴∠BOC=90°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°-30°=60°．
方法总结：本题考查角的计算，涉及垂线的定义，邻补角的性质，一元一次方程的解法，根据∠AOD与∠COD互补列出方程求出∠BOD的度数是解决此题的关键．
9.【题文】课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B= ，∠C= ．
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．
所以∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将
∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2,已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
深化拓展：
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
请从下面的A，B两题中任选一题解答，我选择题．
A．如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=60°，则∠BED的度数为 °．
B．如图4,点B在点A的右侧,且AB＜CD，AD＜BC.若∠ABC=n°，则∠BED度数为 °．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠EAD，∠DAE；（2）见解析；（3）A，见解析.
【分析】
（1）根据平行线的性质——两直线平行内错角相等，求解；
（2）根据两直线平行内错角相等，求解；
（3）A．根据角平分线的性质及平行线的性质求解；
B．根据角平分线的性质及平行线的性质求解；
【解答】
（1）∵ED∥BC，∴∠B=∠EAD，∠C=∠DAE，故答案为：∠EAD，∠DAE；（2）过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D=∠FCD，
∵CF∥AB，∴∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
（3）A．如图2，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°；故答案为：65；
B、如图3，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35°
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°﹣∠ABE=180°﹣n°，
∠CDE=∠DEF=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°﹣n°+35°=215°﹣n°．
故答案为：215°﹣n．
【方法方法总结】本题目是一道考查平行线的性质，角平分线的性质综合题，难度较大，还考查有知识的迁移能力，对能力要求极高.
10.【题文】填空，完成下列说理过程
如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD=65°，求∠AOE的度数．
【答案】（1）90°;（2）155°．
【分析】（1）首先根据角平分线定义可得∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，然后再根据角的和差关系可得答案；
（2）首先计算出∠BOE的度数，再利用180°减去∠BOE的度数可得答案．
【解答】解：（1）如图．∵OD是∠AOC的平分线，∴∠COD=∠AOC．
∵OE是∠BOC的平分线，∴∠COE=∠BOC，∴∠DOE=∠COD+∠COE=
（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=90°．
（2）由（1）可知：∠BOE=∠COE=90°﹣∠COD=25°，∴∠AOE=180°﹣
∠BOE=155°．
11.【题文】如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
若与的比是2：11，求的度数．
若叠合所成的，则的补角的度数与的度数之比是多少？
【答案】（1）70°；（2）1:1.
【分析】根据条件可知∠AOB=∠COD=90°，并且∠AOD=∠AOB+∠COD﹣
∠BOC=180°﹣∠BOC，根据这个关系就可以求解．
【解答】
解：（1）设∠DOB=2x°，则∠DOA=11x°．∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠DOB=2x°，∠BOC=7x°．又∵∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC，则得方程：11x=180﹣7x，解得：x=10，∴∠BOC=70°．
（2）∵∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC，∴∠AOD与∠BOC互补，则∠AOD的补角等于∠BOC．故∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是1：1．
方法总结：正确认识∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC这一个关系是解题的关键，这是一个常用的关系，需熟记．
12.【题文】如图，直线AB与CD相交于点是的平分线，
，如果．
求：的度数；
的度数．
【答案】(1)20°；（2）50°
【分析】（1）先由对顶角相等得出∠BOC=∠AOD=40°，再根据角平分线定义即可求解；
（2）先由OF⊥CD得出∠COF=90°，再根据∠BOF=∠COF﹣∠BOC即可求解．
【解答】解：（1）∵直线AB与CD相交于点O，∴∠BOC=∠AOD=40°．∵OP 是∠BOC的平分线，∴∠COP=∠BOC=20°；
（2）∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠BOF=∠COF﹣∠BOC=90°﹣40°=50°．
方法总结：本题考查了对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的定义，是基础知识，需熟练掌握．
13.【题文】如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．
【答案】（1）50°；（2）54°.
【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据余角的概念计算即可；
（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．
【解答】解：(1)∵OE平分∠BOC,
∴
∴又
∴
(2)∵∠BOD:∠BOE=1:2，OE平分∠BOC，
∴∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，
∴
∴
又∵
∴
14.【题文】如图，OD 平分∠AOC，∠BOC=80°，∠BOD=20°。

求∠AOB 的度数。

【答案】40o
【分析】根据角平分线的性质进行运算即可.
【解答】解：
OD 平分∠AOC，
15.【题文】如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3……
第n次操作，分别作∠ABE n－1和∠DCE n－1的平分线，交点为E n.
(1)如图①，求证：∠E＝∠B＋∠C；
(2)如图②，求证：∠E1＝∠E；
(3)猜想：若∠E n＝b°，求∠BEC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BEC＝2n b°.
【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出
∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠E n=∠BEC，最后求得∠BEC的度数．
【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…
以此类推，∠E n=∠BEC，
∴当∠E n=α度时，∠BEC等于2nα度．
16.【题文】直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．（1）在图1中，若∠BCE=40°，求∠ACF的度数；
（2）在图1中，若∠BCE=α，直接写出∠ACF的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出∠ACF与∠BCE的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）∠ACF=20°；（2）∠ACF=α；（3）∠ACF=∠BCE．理由见解析.
【分析】（1）由∠ACB=90°，∠BCE=40°，可得∠ACD，∠BCD的度数，再根据CF平分∠BCD，可得∠DCF的度数，继而可求得∠ACF=∠DCF﹣∠ACD=20°；（2）由∠ACB=90°，∠BCE=α°，可得∠ACD=90°﹣α，∠BCD=180°﹣α，再根据CF平分∠BCD，从而可得∠DCF=90°﹣α，继而可得∠ACF=α；
（3）由点C在DE上，可得∠BCD=180°﹣∠BCE，再根据CF平分∠BCD，可得∠BCF=90°-∠BCE，再根据∠ACB=90°，从而有∠ACF=∠BCE．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠BCE=40°，
∴∠ACD=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BCD=180°﹣40°=140°，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=70°，
∴∠ACF=∠DCF﹣∠ACD=70°﹣50°=20°；
（2）如图1，∵∠ACB=90°，∠BCE=α°，
∴∠ACD=180°﹣90°﹣α°=90°﹣α，∠BCD=180°﹣α，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=90°﹣α，
∴∠ACF=90°﹣α﹣90°+α=α；
（3）∠ACF=∠BCE．理由如下：
如图2，∵点C在DE上，
∴∠BCD=180°﹣∠BCE．
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠BCD=（180°﹣∠BCE）=90°-∠BCE．∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠BCF=90°﹣（90°-∠BCE）=∠BCE．
即：∠ACF=∠BCE．
17.【题文】已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
【答案】(1) 54°(2) 120°(3) 30°或150°
【分析】（1）根据平角的定义求解即可；
（2）根据平角的定义可求，根据对顶角的定义可求，根据角的和差
关系可求的度数；
（3）先过点O作再分两种情况根据角的和差关系可求的度数．【解答】解：(1)
(2)
(3)如图1,
或如图2,
故∠EOF的度数是或
18.【题文】已知，∠AOB=∠COD=90°，射线OE，FO分别平分∠AOC和
∠BOD．
（1）当OB和OC重合时，如图（1），求∠EOF的度数；
（2）当∠AOB绕点O逆时针旋转至图（2）的位置（0°＜∠BOC＜90°）时，求
∠EOF的度数．
【答案】（1）90°；（2）90°.
【分析】（1）根据角平分线的定义和平角的定义求解；（2）根据角平分线的定义和角的和差关系求解；
【解答】解：（1）当OB和OC重合时，∠AOD=∠AOC+∠BOD=180°，
又∵射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠COE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，
∴∠EOF=∠COF+∠BOF=（∠AOC+∠BOD）=×180°=90°；
（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，
∴∠EOF=∠COE+∠BOF﹣∠BOC
=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
=（∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC）﹣∠BOC
=（180°+2∠BOC）﹣∠BOC
=90°+∠BOC﹣∠BOC
=90°．
19.【题文】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【答案】（1）60°；（2）若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s.
【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠AOC的值，再根据互为补角和互为余角的性质，求出∠BOD的值；
（2）①根据题意，分为OE平分∠AOB和OF平分∠AOB两种情况讨论求解；
②根据题意，分两种情况：当OE平分∠BOD和OF平分∠BOD时，进行画图求解.
【解答】解：（1）∵∠COE=60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC=30°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；
（2）①分两种情况：
当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，
即9t+30°﹣3t=45°，
解得t=2.5；
当OF平分∠AOB时，AOF=45°，
即9t﹣150°﹣3t=45°，
解得t=32.5；
综上所述，当t=2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
当OE平分∠BOD时，∠BOE=∠BOD，
即9t﹣60°﹣3t=（60°﹣3t），
解得t=12；
当OF平分∠BOD时，∠DOF=∠BOD，
即3t﹣（9t﹣240°）=（3t﹣60°），
解得t=36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
20.【题文】如图，已知直线BC、DE交于O点，OA、OF为射线，OA⊥BC，OF 平分∠COE，∠COF=17°．求∠AOD的度数．
【答案】124°
【分析】根据∠COF=17°，OF平分∠COE及∠COE是∠BOD的对顶角可得出
∠BOD的度数，又根据OA⊥BC得出∠AOB=90°，最后结合图形算出∠AOD为124°．
【解答】解：∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠FOC=17°，
∴∠EOC=34°，
∴∠BOD=34°，
∵OA⊥BC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+34°=124°．
方法总结：本题考查了垂线，角平分线的定义和对顶角，熟练掌握垂线，角平分线和对顶角的定义及角的计算方法是解题的关键．。