高考数学(理)一轮资源库 第十四章 14.4不等式选讲

(3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，
当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立.
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8.证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道 a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明 a>b，只要证 明 a－b>0 即可，这种方法称为求差比较法. ②求商比较法 由 a>b>0⇔ab>1 且 a>0，b>0，因此当 a>0，b>0 时要证明 a>b，
a 只要证明 b>1
即可，这种方法称为求商比较法.
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(2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 ，直到将待
证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证 法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.
题 P1(或 P0)成立；(2)在假设 Pk 成立的前提下，推出 Pk＋1 也成
立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立.
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
{x|－1<x<1} (－4，－2)∪(0,2)
1
M<N a>b>c
解析
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5.基本不等式 (1)定理：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，
等号成立.
(2)定理(基本不等式)：如果 a，b>0，那么a＋2 b ≥
ab，当且
仅当 a＝b 时，等号成立.也可以表述为：两个 正数 的算术
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6.三个正数的算术—几何平均不等式
(1)定理
如果
a，b，c
均为正数，那么a＋b＋c 3
≥
3 abc，当
且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.
即三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均.
(2)基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于
的几何平均，即a1＋a2＋…＋an n
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(4)可乘性：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc ；如果 a>b，c<0，
那么 ac<bc .
(5)乘方：如果 a>b>0，那么 an > bn(n∈N，n>1).
(6)开方：如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n>1).
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题型一
含绝对值的不等式的解法
不等
式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a {x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R 且 x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c
；
②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c
.
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平均 不小于(即大于或等于) 它们的几何平均.
(3)利用基本不等式求最值
对两个正实数 x，y，
①如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 取得最 大 值；
②如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 取得最 小 值.
x＝y
x＝y
时，它们的积 P 时，它们的和 S
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(3)综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，
推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证
明不等式的方法称为综合法.
(4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式 相反 的假设；
第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的
结论，否定假设，从而证明原不等式成立.
≥
n a1a2…an，
当且仅当 a1＝a2＝…＝an
时，等号成立.
它们
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7.柯西不等式
(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当
且仅当 ad＝bc 时等号成立. (2)设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a12＋ a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅 当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…， n)时，等号成立.
数学 苏（理）
§14.4 不等式选讲
第十四章 系列4选讲
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1.两个实数大小关系的基本事实 a>b⇔ a－b>0 a＝b⇔ a－b＝0 a<b⇔ a－b<0
2.不等式的基本性质
(1)对称性：如果 a>b，那么 b<a ；如果 b<a ，那么 a>b. 即 a>b⇔ b<a . (2)传递性：如果 a>b，b>c，那么 a>c . (3)可加性：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c .
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(5)放缩法
所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地 放大或缩小 ，
以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，
从而得到欲证不等式成立.
(6)数学归纳法
设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命
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(3)|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的 思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方 程的思想.
3.绝对值三角不等式
(1)性质 1：|a＋b|≤ |a|＋|b| .
(2)性质 2：|a|－|b|≤ |a＋b| .
性质 3： |a|－|b|
≤|a－b|≤ |a|＋|b|
.
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要点梳理 4.绝对值不等式的解法
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(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集