2020年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷(三) (解析版)

2020年长沙市教科院中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（共12小题）.
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元2．下列计算正确的是（）
A．a+a2＝a3B．（3a）2＝6a2C．a6÷a2＝a3D．a2•a3＝a5 3．在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）
A．赵爽弦图B．科克曲线
C．河图幻方D．谢尔宾斯基三角形
5．某班6名同学参加体能测试的成绩分别为：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（）
A．众数是80B．中位数是75C．平均数是80D．方差是25
6．中国倡导的“一带一路”建设将促进世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为44亿人，这个数用科学记数法表示为（）
A．44×108B．4.4×108C．4.4×1010D．4.4×109
7．用尺规作图作△ABC的BC边上的高，下列作法正确的是（）
A．B．
C．D．
8．不等式组的解集在数轴上表示出来是（）
A．B．
C．D．
9．若圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的全面积为（）
A．15πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．36πcm2
10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5B．k≥5C．k≤5且k≠1D．k＞5
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
12．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积＝（+1）：2，其中正确的结论有（）个．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．4的平方根是．
14．李老师上班途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率是．
15．已知a+b＝4，ab＝3，则代数式（a+1）（b+1）的值为．
16．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第
23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
19．计算：（）﹣1﹣（π+3）0﹣4cos30°+．
20．解分式方程：+1＝．
21．如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：
A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．
根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为多少度？
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．
22．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度、如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6米，坡度i＝l：，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4米．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74，结果精确到0.1米）
23．如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动
点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA＝8，求PB的长．
24．某批发市场有考试文具套装，其中A品牌的批发价是每套20元，B品牌的批发价是每套25元，小王需购买A，B两种品牌的文具套装共1000套．
（1）如果小王按批发价购买这1000套文具花了22000元，那么A，B两种品牌的文具套装各购买了多少套？
（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为500元．若小王购买会员卡，并用会员卡购买A，B两种品牌文具套装1000套，共用了y元，设A品牌文具套装买了x套，求出y与x之间的函数关系式；
（3）小王用会员卡购买A，B两种品牌文具套装1000套，共用了20000元，他计划在网店包邮销售这两种文具套装，每套文具套装小王需支付邮费8元，若A品牌每套销售价格比B品牌少5元，请你帮他计算，A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本？（运算结果取整数）
25．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；
②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩
形，则点P的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：
四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是．
26．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C．
（1）填空：b＝，c＝，点C的坐标为；
（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上一动点，连接OP交直线AB于点Q，设点P 的横坐标为m，设＝y，求y与m的函数关系式，并求出的最大值；
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
2．下列计算正确的是（）
A．a+a2＝a3B．（3a）2＝6a2C．a6÷a2＝a3D．a2•a3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、a与a2不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B、（3a）2＝9a2，故B选项错误；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故C选项错误；
D、a2•a3＝a2+3＝a5，故D选项正确．
故选：D．
3．在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，代入得出2∠A＝180°，求出即可．
解：∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）
A．赵爽弦图B．科克曲线
C．河图幻方D．谢尔宾斯基三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
5．某班6名同学参加体能测试的成绩分别为：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（）
A．众数是80B．中位数是75C．平均数是80D．方差是25
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：∵80出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是80；
把这些数从小到大排列为：75，75，80，80，80，90，则中位数是＝80；
平均数是（80+90+75+75+80+80）＝80，
则方差S2＝[3×（80﹣80）2+2×（75﹣80）2+（90﹣80）2]＝25；
表述错误的是B，
6．中国倡导的“一带一路”建设将促进世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为44亿人，这个数用科学记数法表示为（）
A．44×108B．4.4×108C．4.4×1010D．4.4×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：44亿＝4.4×109 ，
故选：D．
7．用尺规作图作△ABC的BC边上的高，下列作法正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
解：∵△ABC的BC边上的高，AD⊥BC，
∴选项B正确，
故选：B．
8．不等式组的解集在数轴上表示出来是（）
A．B．
C．D．
【分析】先分别解出不等式的解，再求其公共解集，并在数轴上表示出来．
解：由①得x＜﹣1，
由②得x≤2，
故解集为x＜﹣1，
9．若圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的全面积为（）
A．15πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．36πcm2
【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，根据扇形面积公式计算即可．
解：圆锥的底面半径＝＝3，
∴圆锥的全面积＝π×32+×2π×3×5＝24π（cm2）
故选：C．
10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5B．k≥5C．k≤5且k≠1D．k＞5
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：△＝16﹣4（k﹣1）≥0，
∴k≤5，
∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k≤5且k≠1
故选：C．
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
解：当点Q在AC上时，
∵∠A＝30°，AP＝x，
∴PQ＝x tan30°＝，
∴y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP＝x，AB＝16，∠A＝30°，
∴BP＝16﹣x，∠B＝60°，
∴PQ＝BP•tan60°＝（16﹣x）．
∴＝＝．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
12．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积＝（+1）：2，其中正确的结论有（）个．
A．4B．3C．2D．1
【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角
和，周角求得判定即可
②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF＝∠ABE，即可判定
③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出，再与tan∠ECD＝tan30°作比较即可
④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可
解：
∵△BEC为等边三角形
∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30°
∴在△ABE和△DCE中，
AB＝DC
∠ABE＝∠ECD
BE＝EC
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠AEB＝∠DEC＝＝75°
∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150°
故①正确
由①知AE＝ED
∴∠EAD＝∠EDA＝15°
∴∠EDF＝45°﹣15°＝30°
∴∠EDF＝∠ABE
由①知∠AEB＝∠DEC，
∴△DEF～△BAE
故②正确
过点F作FM⊥DC交于M，如图
设DM＝x，则FM＝x，DF＝x
∵∠FCD＝30°
∴MC＝x
则在Rt△DBC中，BD＝
∴BF＝BD﹣DF＝
则
∵tan∠ECD＝tan30°＝
∴tan∠ECD＝
故③正确
如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得
由③知MC＝，MC＝FG
∴FG＝
∵BC＝DC＝x
∴BH＝
∵∠EBC＝60°
∴EH＝x，
∴＝＝＝＝
故④正确
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．4的平方根是±2．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
14．李老师上班途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率是．
【分析】利用概率公式求解．
解：李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率＝＝．
故答案为．
15．已知a+b＝4，ab＝3，则代数式（a+1）（b+1）的值为8．
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后把已知等式代入计算即可求出值．解：原式＝ab+a+b+1
＝ab+（a+b）+1，
当a+b＝4，ab＝3时，原式＝3+4+1＝8．
故答案为：8
16．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝6．
【分析】作EG⊥AO于点G，根据角平分线的性质求得EG的长，然后利用直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半求解即可．
解：如图，作EG⊥AO于点G，
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC＝3，
∴EG＝EC＝3，
∵∠AFE＝30°，
∴EF＝2EG＝2×3＝6，
故答案为：6．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为45°．
【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
解：连接OA，如图，
∵∠ACO＝45°，OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°．
故答案为：45°
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于3．
【分析】过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，得出＝＝＝，设CE＝x，则BD＝2x，根据反比例函数的解析式表示出OD＝，OE＝，OA ＝，然后根据三角形面积公式求解即可．
解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，
∴＝＝，
∵OC是△OAB的中线，
∴＝＝＝，
设CE＝x，则BD＝2x，
∴C的横坐标为，B的横坐标为，
∴OD＝，OE＝，
∴DE＝OE﹣OD＝，
∴AE＝DE＝，
∴OA＝OE+AE＝，
∴S△OAB＝OA•BD＝××2x＝3．
故答案为3．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第
23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：（）﹣1﹣（π+3）0﹣4cos30°+．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
解：原式＝2﹣1﹣4×+2
＝2﹣1﹣2+2
＝1．
20．解分式方程：+1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：4+x2﹣1＝x2﹣2x+1，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是增根，分式方程无解．
21．如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：
A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．
根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为多少度？
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图；
（2）用360°乘以样本中C饮品人数占被调查人数的比例可得；
（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根据概率公式求解可得．
解：（1）∵抽查的总人数为：20÷40%＝50人，
∴C类人数＝50﹣20﹣5﹣15＝10人，
补全条形统计图如下：
（2）“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为：10÷50×360°＝72°；
（3）画树状图得：
所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，
所以P（恰好抽到一男一女）＝＝．
22．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度、如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6米，坡度i＝l：，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4米．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74，结果精确到0.1米）
【分析】（1）过点B作BF⊥AD于点F，由i＝tan∠BAF＝，可得∠BAF＝30°；
（2）由∠BAF＝30°、AB＝6，知CD＝BF＝AB＝3米，再由EC＝BC tan∠EBC可得答案．
解：（1）如图所示，过点B作BF⊥AD于点F，
∵i＝tan∠BAF＝，
∴∠BAF＝30°，即α＝30°；
（2）∵∠BAF＝30°，AB＝6，
∴CD＝BF＝AB＝3米，
在Rt△BCE中，∵∠EBC＝70°，BC＝4，
∴EC＝BC tan∠EBC＝4tan70°≈10.96，
则ED＝EC+CD＝3+10.96＝13.96≈14.0（米），
答：旗杆顶端离地面的高度ED的长约为14.0米．
23．如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA＝8，求PB的长．
【分析】（1）连接DE，OA．想办法证明OA⊥BF即可；
（2）连接AD，只要证明△PAD∽△PBA，可得＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接DE，OA．
∵PD是直径，
∴∠DEP＝90°，
∵PB⊥FB，
∴∠DEP＝∠FBP，
∴DE∥BF，
∵＝，
∴OA⊥DE，
∴OA⊥BF，
∴直线l是⊙O的切线．
（2）解：连接AD．
∵＝，
∴∠APD＝∠APB，
∵PD是直径，
∴∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠ABP＝90°，
∴△PDA∽△PAB，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
24．某批发市场有考试文具套装，其中A品牌的批发价是每套20元，B品牌的批发价是每套25元，小王需购买A，B两种品牌的文具套装共1000套．
（1）如果小王按批发价购买这1000套文具花了22000元，那么A，B两种品牌的文具套装各购买了多少套？
（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为500元．若小王购买会员卡，并用会员卡购买A，B两种品牌文具套装1000套，共用了y元，设A品牌
文具套装买了x套，求出y与x之间的函数关系式；
（3）小王用会员卡购买A，B两种品牌文具套装1000套，共用了20000元，他计划在网店包邮销售这两种文具套装，每套文具套装小王需支付邮费8元，若A品牌每套销售价格比B品牌少5元，请你帮他计算，A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本？（运算结果取整数）
【分析】（1）设小王需购买A、B两种品牌文具套装分别为x套、y套，根据“购买A，B两种品牌的文具套装共1000套，花了22000元”列方程组解答即可；
（2）根据题意，可得y＝500+0.8×[20x+25（1000﹣x）]，据此求出y与x之间的函数关系式即可．
（3）首先求出小王购买A、B两种品牌文具套装分别为多少套，然后设A品牌文具套装的售价为z元，则B品牌文具套装的售价为z+5元，所以125z+875（z+5）≥20000+8×1000，据此求出A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本即可．
解：（1）设小王够买A品牌文具x套，够买B品牌文具y套，
根据题意，得：，解得，
答：小王够买A品牌文具600套，够买B品牌文具400套．
（2）y＝500+0.8[20x+25（1000﹣x）]
＝500+0.8（25000﹣5x）
＝500+20000﹣4x
＝﹣4x+20500，
∴y与x之间的函数关系式是：y＝﹣4x+20500．
（3）根据题意，得：﹣4x+20500＝20000，解得：x＝125，
∴小王够买A品牌文具套装为125套、够买B品牌文具套装为875套，
设A品牌文具套装的售价为z元，则B品牌文具套装的售价为（z+5）元，
由题意得：125z+875（z+5）≥20000+8×1000，
解得：z≥23.625，
答：A品牌的文具套装每套定价不低于24元时才不亏本．
25．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；
②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是（5，3），（3，5）；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是+，+，2．
【分析】（1）利用准矩形的定义和勾股定理计算，再根据准矩形的特点和整点的特点求出即可；
（2）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF，即可；
（3）分三种情况分别计算，用到梯形面积公式，对角线面积公式，对角线互相垂直的四边形的面积计算方法．
解：（1）①∵∠ABC＝90°，
∴BD＝AC＝＝＝，
故答案为，
②∵A（0，3），B（5，0），
∴AB＝＝，
设点P（m，n），O（0，0），
∴OP＝＝，
∵m，n都为整数，
∴点P（3，5）或（5，3）；
故答案为P（3，5）或（5，3）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF+∠EBC＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠EBC+∠BCF＝90°，
∴∠EBF＝∠BCF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF，
∴四边形BCEF是准矩形；
（3），，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，∴BC＝2，AC＝4，
准矩形ABCD中，BD＝AC＝4，
①当AC＝AD时，如图1，作DE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝1，
∴DE＝＝＝，
∴S准矩形ABCD＝S△ADE+S梯形BCDE
＝DE×AE+（BC+DE）×BE
＝×+（2+）×1
＝+；
②当AC＝CD时，如图2，
作DF⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BF＝CF＝BC＝，
∴DF＝＝＝，
∴S准矩形ABCD＝S△DCF+S梯形ABFD
＝FC×DF+（AB+DF）×BF
＝××+（2+）×
＝+；
③当AD＝CD，如图3，
连接AC中点和D并延长交BC于M，连接AM，连接BG，过B作BH⊥DG，在Rt△ABC中，AC＝2AB＝4，
∴BD＝AC＝4，
∴AG＝AC＝2，
∵AB＝2，
∴AB＝AG，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABG＝60°，
∴∠CBG＝30°
在Rt△BHG中，BG＝2，∠BGH＝30°，
∴BH＝1，
在Rt△BHM中，BH＝1，∠CBH＝30°，
∴BM＝，HM＝，
∴CM＝，
在Rt△DHB中，BH＝1，BD＝4，
∴DH＝，∴DM＝DH﹣MH＝﹣，
∴S准矩形ABCD＝S△ABM+S四边形AMCD，
＝BM×AB+AC×DM
＝××2+×4×（﹣）
＝2；
故答案为+，+，2．
26．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C．
（1）填空：b＝1，c＝4，点C的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上一动点，连接OP交直线AB于点Q，设点P 的横坐标为m，设＝y，求y与m的函数关系式，并求出的最大值；
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的坐标．
【分析】（1）通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令y＝0便可得C点坐标；
（2）分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到＝，设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），Q点坐标（n，﹣n+4），表示出ED、OD等长度，即可得y与m、n之间的关系，再次利用，即可求解；（3）∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45°，∠PBA+∠CBO＝45°，则∠OBP＝∠CBO，进而求解．
解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴A（4，0），B（0，4）．
又∵抛物线过B（0，4），
∴c＝4．
把A（4，0）代入y＝﹣x2+bx+4得，
0＝﹣×42+4b+4，解得，b＝1．
∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+4．
令﹣x2+x+4＝0，
解得，x＝﹣2或x＝4．
∴C（﹣2，0）；
故答案为：1；4；（﹣2，0）；
（2）如图1，
分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D．
设P（m，﹣m2+m+4），Q（n，﹣n+4），
则PE＝﹣m2+m+4，QD＝﹣n+4．
又∵＝＝y．
∴n＝．
又∵，即，
把n═代入上式并整理得：4y＝﹣m2+2m．∴y＝﹣m2+m．
∵﹣＜0，故y有最大值，当m＝2时，y max＝．即PQ与OQ的比值的最大值为；
（3）如图2，
∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45°，
∠PBA+∠CBO＝45°，
∴∠OBP＝∠CBO，
此时PB过点（2，0）．
设直线PB解析式为，y＝kx+4．
把点（2，0）代入上式得，0＝2k+4．
解得，k＝﹣2，
∴直线PB解析式为，y＝﹣2x+4．
令﹣2x+4＝﹣x2+x+4，
整理得，x2﹣3x＝0．
解得，x＝0（舍去）或x＝6．
当x＝6时，﹣2x+4＝﹣2×6+4＝﹣8∴P（6，﹣8）．。