2024届安徽省十校中考联考数学试题含解析

2024学年安徽省十校中考联考数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：
弧①是以O为圆心，任意长为半径所
画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
其中正确说法的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若AB=6，AD=9，则五边形ABMND
的周长为（）
A．28 B．26 C．25 D．22
3．“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿用科学记数法可表示为（）
A．0.8×1011B．8×1010C．80×109D．800×108
-+=有一个根为2，则另一根为
4．已知一元二次方程2x6x c0
A．2 B．3 C．4 D．8
5．某广场上有一个形状是平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法错误的是()
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
6．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x （h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n ＝7.1．其中说法正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．AD AB AB BC
8．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）
A ．（4，﹣3）
B ．（﹣4，3）
C ．（5，﹣3）
D ．（﹣3，4）
9．如图是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若分式
31x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x >- B ．1x <- C ．1x =- D ．1x ≠-
11．下列计算正确的是
A ．a 2·
a 2＝2a 4 B ．(－a 2)3＝－a 6 C ．3a 2－6a 2＝3a 2 D ．(a －2)2＝a 2－4 12．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为
b 岁，则下列结论中正确的是（ ）
A ．a ＜13，b=13
B ．a ＜13，b ＜13
C ．a ＞13，b ＜13
D ．a ＞13，b=13
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，点A 为函数y=9x （x ＞0）图象上一点，连结OA ，交函数y=4x
（x ＞0）的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，则△OBC 的面积为____．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，AC于FB相交于点G，则AG
GC
值为_____．
15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_____．
16．一次函数y=（k﹣3）x﹣k+2的图象经过第一、三、四象限．则k的取值范围是_____．
17．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作.《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻
.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻
.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤.问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为______．
18．若关于x的方程
2x m
2
x22x
+
+=
--
有增根，则m的值是▲
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）武汉二中广雅中学为了进一步改进本校九年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣．校教务处在九年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查：我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A-非常喜欢”、“ B-比较喜欢”、“ C-不太喜欢”、“ D-很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计．现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是，图②中A所在扇形对应的圆心角是；
（3）若该校九年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？
20．（6分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC·CE=AD·BC.
（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）延长BE交AD于F，求证：AB2=AF·AD．
21．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．求∠CDE的度数；求证：DF是⊙O的切线；若AC=25DE，求tan∠ABD 的值．
22．（8分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，c os 68°≈0.37，tan 68°≈2.53≈1.73)
23．（8分）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）
24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
25．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
求证：△AEF≌△DEB；证明四边形ADCF是菱形；若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD
的面积．
26．（12分）已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．
；
（1）如图1，求证：BD CD
（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE=AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF=2EG，AC=2，求OE的长．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解题分析】
根据基本作图的方法即可得到结论．
【题目详解】
解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；
（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；
（3）弧③是以A为圆心，大于1
2
AB的长为半径所画的弧，错误；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．
故选C．
【题目点拨】
此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．
2、A
【解题分析】
如图，运用矩形的性质首先证明CN=3，∠C=90°；运用翻折变换的性质证明BM=MN（设为λ），运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，即可解决问题．
【题目详解】
如图，
由题意得：BM=MN（设为λ），CN=DN=3；
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=9，∠C=90°，MC=9-λ；
由勾股定理得：λ2=（9-λ）2+32，
解得：λ=5，
∴五边形ABMND的周长=6+5+5+3+9=28，
故选A．
【题目点拨】
该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
3、B
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移
动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【题目详解】
解：将800亿用科学记数法表示为：8×1．
故选：B．
【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4、C
【解题分析】
试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6，解得α=1．
考点：根与系数的关系．
5、C
【解题分析】
图中，线段GH和EF将大平行四边形ABCD分割成了四个小平行四边形，平行四边形的对角线平分该平行四边形的面积，据此进行解答即可.
【题目详解】
解：由已知得题图中几个四边形均是平行四边形．又因为平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，即面积相等，故红花和绿花种植面积一样大，蓝花和黄花种植面积一样大，紫花和橙花种植面积一样大．
故选择C.
【题目点拨】
本题考查了平行四边形的定义以及性质，知道对角线平分平行四边形是解题关键.
6、B
【解题分析】
根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
【题目详解】
由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．
故选B．
【题目点拨】
本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
7、D
【解题分析】
根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【题目详解】
解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴AC AB
AB AD
，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、AD
AB
=
AB
BC
不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
【题目点拨】
点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
8、A
【解题分析】
直接利用平移的性质结合轴对称变换得出对应点位置．
【题目详解】
如图所示：
顶点A2的坐标是（4，-3）．
故选A．
【题目点拨】
此题主要考查了轴对称变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
9、C
【解题分析】
先根据俯视图判断出几何体的形状，再根据主视图是从正面看画出图形即可．
【题目详解】
解：由俯视图可知，几何体共有两排，前面一排从左到右分别是1个和2个小正方体搭成两个长方体，后面一排分别有2个、3个、1个小正方体搭成三个长方体，
并且这两排右齐，故从正面看到的视图为：
．
故选：C．
【题目点拨】
本题考查几何体三视图，熟记三视图的概念并判断出物体的排列方式是解题的关键．
10、D
【解题分析】
根据分式有意义的条件即可求出答案．
【题目详解】
+≠，
解：由分式有意义的条件可知：x10
∴≠-，
x1
故选：D．
【题目点拨】
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.
11、B
【解题分析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得.
【题目详解】A. a2·a2＝a4，故A选项错误；
B. (－a2)3＝－a6，正确；
C. 3a2－6a2＝-3a2，故C选项错误；
D. (a－2)2＝a2－4a+4，故D选项错误，
故选B.
【题目点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
12、A
【解题分析】
试题解析：∵原来的平均数是13岁，
∴13×23=299（岁），
∴正确的平均数a=≈12.97＜13，
∵原来的中位数13岁，将14岁写成15岁，最中间的数还是13岁，
∴b=13；
故选A．
考点：1.平均数；2.中位数.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、6
【解题分析】
根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC的面积．
【题目详解】
设点A的坐标为(a,9
a
),点B的坐标为(b,
4
b
)，
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，∴点C的坐标是(2a,0)，
设过点O(0,0),A(a,
9a )的直线的解析式为：y=kx ， ∴9a
=k ⋅a ， 解得k=29a
， 又∵点B(b,
4b )在y=29a x 上， ∴4b =29a ⋅b,解得,a b =32或a b =−32
(舍去)， ∴S △OBC =422a b
=6.
故答案为：6.
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.
14、12
． 【解题分析】
由正六边形的性质得出AB=BC=AF ，∠ABC=∠BAF=120°，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠BAC=∠BCA=30°，证出AG=BG ，∠CBG=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出CG=2BG=2AG ，即可得出答案．
【题目详解】
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴AB ＝BC ＝AF ，∠ABC ＝∠BAF ＝120°，
∴∠ABF ＝∠BAC ＝∠BCA ＝30°，
∴AG ＝BG ，∠CBG ＝90°，
∴CG ＝2BG ＝2AG ， ∴AG GC ＝12
； 故答案为：12
． 【题目点拨】
本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
15、1
【解题分析】
在△AGF 和△ACF 中，
{GAF CAF
AF AF AFG AFC
∠=∠=∠=∠，
∴△AGF ≌△ACF ，
∴AG=AC=4，GF=CF ，
则BG=AB−AG=6−4=2.
又∵BE=CE ，
∴EF 是△BCG 的中位线，
∴EF=12
BG=1. 故答案是：1.
16、k ＞3
【解题分析】
分析：根据函数图象所经过的象限列出不等式组3020k k ->⎧⎨-+<⎩，
通过解该不等式组可以求得k 的取值范围． 详解：∵一次函教y =(k −3)x −k +2的图象经过第一、三、四象限，
∴3020k k ->⎧⎨-+<⎩
， 解得，k >3.
故答案是：k >3.
点睛：此题主要考查了一次函数图象,一次函数y kx b =+的图象有四种情况:
①当0,0k b >>时,函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限;
②当0,0k b ><时,函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限;
③当0,0k b <>时,函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限;
④当0,0k b <<时,函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限.
17、{561
340x y x y +=-=
【解题分析】
设雀、燕每1只各重x 斤、y 斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．
【题目详解】
设雀、燕每1只各重x 斤、y 斤,根据题意,得
45561x y y x x y +=+⎧⎨+=⎩
整理,得340.561
x y x y -=⎧⎨+=⎩ 故答案为340.561x y x y -=⎧⎨+=⎩
【题目点拨】
考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系.
18、1．
【解题分析】
方程两边都乘以最简公分母（x －2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使
最简公分母等于1的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值：
方程两边都乘以（x －2）得，2－x －m=2（x －2）．
∵分式方程有增根，∴x －2=1，解得x=2．
∴2－2－m=2（2－2），解得m=1．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）答案见解析；（2）B ，54°；（3）240人．
【解题分析】
（1）根据D 程度的人数和所占抽查总人数的百分率即可求出抽查总人数，然后利用总人数减去A 、B 、D 程度的人数即可求出C 程度的人数，然后分别计算出各程度人数占抽查总人数的百分率，从而补全统计图即可；
（2）根据众数的定义即可得出结论，然后利用360°乘A 程度的人数所占抽查总人数的百分率即可得出结论； （3）利用960乘C 程度的人数所占抽查总人数的百分率即可．
【题目详解】
解：（1）被调查的学生总人数为65%120÷=人，
C 程度的人数为120(18666)30-++=人，
则A 的百分比为18100%15%120⨯=、B 的百分比为66100%55%120⨯=、C 的百分比为30100%25%120
⨯=，
补全图形如下：
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是B、图②中A所在扇形对应的圆心角是36015%54
︒⨯=︒．故答案为：B；54︒；
（3）该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有96025%240
⨯=人
答：该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．
【题目点拨】
此题考查的是条形统计图和扇形统计图，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解决此题的关键．20、(1)见解析；(2)见解析.
【解题分析】
（1）由AD∥BC得∠DAC=∠BCA, 又∵AC·CE=AD·BC∴AC AD
BC CE
=，∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
（2）由题中条件易证得△ABF∽△DAC∴AB AF
AD DC
=，又∵AB=DC，∴2
AB AF AD
=⋅
【题目详解】
证明：
（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA, ∵AC·CE=AD·BC，
∴AC AD BC CE
=,
∴△ACD∽△CBE , ∴∠DCA=∠EBC,
（2）∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC,
∵∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA,
∵AD∥BC，AB=DC, ∴∠BAD=∠ADC,
∴△ABF∽△DAC,
∴AB AF AD DC
=,
∵AB=DC，
∴2
AB AF AD
=⋅.
【题目点拨】
本题重点考查了平行线的性质和三角形相似的判定，灵活运用所学知识是解题的关键.
21、（1）90°；（1）证明见解析；（3）1．
【解题分析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（1）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证
∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【题目详解】
解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（1）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴DC DE AD DC
=，
∴DC1=AD•DE
∵AC=15DE，
∴设DE=x，则AC=15x，
则AC1﹣AD1=AD•DE，
期（15x）1﹣AD1=AD•x，
整理得：AD1+AD•x﹣10x1=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22
(25)(4)2
x x x
-=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=
4
2
2
AD x
DC x
==．
22、工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.
【解题分析】
解：在Rt△BAE中，∠BAE=680，BE=162米，∴（米）．
在Rt△DEC中，∠DGE=600，DE=176.6米，∴
DE
CE102.08
tan DGE3
==≈
∠
（米）．
∴AC CE AE102.0864.8037.2837.3
=-≈-=≈（米）．
∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．
在Rt△BAE和Rt△DEC中，应用正切函数分别求出AE和CE的长即可求得AC的长．23、30(31)米
【解题分析】
设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，根据正切的概念用x 表示出CD ，在Rt △ABD 中，根据正切的概念列出方程求出x 的值即可．
【题目详解】
由题意得，∠ABD ＝30°，∠ACD ＝45°，BC ＝60m ，
设AD ＝xm ，
在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD CD
， ∴CD ＝AD ＝x ，
∴BD ＝BC +CD ＝x +60，
在Rt △ABD 中，∵tan ∠ABD ＝AD BD
，
∴60)x x =+，
∴1)x =米，
答：山高AD 为301)米．
【题目点拨】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24、（1）证明见解析（2）
【解题分析】
（1）连接OC ，可以证得△OAP ≌△OCP ，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP =90°，
即OC ⊥PC ，即可证得；
（2）先证△OBC 是等边三角形得∠COB =60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF =90°，结合半径OC =1可得答案．
【题目详解】
（1）连接OC ．
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC．
在△OAP和△OCP中，∵
OA OC
PA PC
OP OP
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP．
∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°．
∵AB=10，∴OC=1．
由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC•tan∠COB3
【题目点拨】
本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
25、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）1．
【解题分析】
（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【题目详解】
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；
（2）证明：由（1）知，△AFE ≌△DBE ，则AF =DB ．
∵AD 为BC 边上的中线
∴DB =DC ，
∴AF =CD ．
∵AF ∥BC ，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵∠BAC =90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，
∴AD =DC =12
BC ， ∴四边形ADCF 是菱形；
（3）连接DF ，
∵AF ∥BD ，AF =BD ，
∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴DF =AB =5， ∵四边形ADCF 是菱形，
∴S 菱形ADCF =12AC ▪DF =12
×4×5=1． 【题目点拨】
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD 是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
26、（1）证明见解析；（1）证明见解析；（3）1.
【解题分析】
（1）连接OB 、OC 、OD ，根据圆心角与圆周角的性质得∠BOD=1∠BAD ，∠COD=1∠CAD ，又AD 平分∠BAC ，得∠BOD=∠COD ，再根据圆周角相等所对的弧相等得出结论.
（1）过点O 作OM ⊥AD 于点M ，又一组角相等，再根据平行线的性质得出对应边成比例，进而得出结论；
（3）延长EO 交AB 于点H ，连接CG ，连接OA ，BC 为⊙O 直径，则∠G=∠CFE=∠FEG=90°，四边形CFEG 是
矩形，得EG=CF，又AD平分∠BAC，再根据邻补角与余角的性质可得∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，AE=BE，AF=CF，再根据直角三角形的三角函数计算出边的长，根据“角角边”证明出△HBO∽△ABC，根据相似三角形的性质得出对应边成比例，进而得出结论.
【题目详解】
（1）如图1，连接OB、OC、OD，
∵∠BAD和∠BOD是BD所对的圆周角和圆心角，
∠CAD和∠COD是CD所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOD=1∠BAD，∠COD=1∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠COD，
∴BD=CD；
（1）如图1，过点O作OM⊥AD于点M，
∴∠OMA=90°，AM=DM，
∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CFM=90°，∠MEB=90°，
∴∠OMA=∠MEB，∠CFM=∠OMA，
∴OM∥BE，OM∥CF，
∴BE∥OM∥CF，
∴OC FM OB EM
=，
∵OB=OC，
∴OC FM
OB EM
==1，
∴FM=EM，
∴AM﹣FM=DM﹣EM，
∴DE=AF；
（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA．
∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC=90°，∠G=90°，
∴∠G=∠CFE=∠FEG=90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴EG=CF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=1
2
×90°=45°，
∴∠ABE=180°﹣∠BAF﹣∠AEB=45°，∠ACF=180°﹣∠CAF﹣∠AFC=45°，∴∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，
∴AE=BE，AF=CF，
在Rt△ACF中，∠AFC=90°，
∴sin∠CAF=CF
AC
，即sin45°=
2
CF
，
∴CF=1×2
2
∴2，
∴2，
∴
，
在Rt △AEB 中，∠AEB=90°，
∴
AB=cos 45AE =︒，
∵AE=BE ，OA=OB ，
∴EH 垂直平分AB ，
∴BH=EH=3，
∵∠OHB=∠BAC ，∠ABC=∠ABC
∴△HBO ∽△ABC ， ∴26
HO AC HB AB ==， ∴OH=1，
∴OE=EH ﹣OH=3﹣1=1．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点.
27、（4）y ＝﹣x 4﹣4x +3；（4）
13；（3）点P 的坐标是（4，0） 【解题分析】
(4) 先求得抛物线的对称轴方程, 然后再求得点C 的坐标,设抛物线的解析式为y ＝a （x +4）4+4,将点 (-3, 0) 代入求得a 的值即可;
(4) 先求得A 、 B 、 C 的坐标, 然后依据两点间的距离公式可得到BC 、AB,AC 的长,然后依据勾股定理的逆定理可证
明∠ABC=90°
,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可; (3) 连接BC,可证得△AOB 是等腰直角三角形，△ACB ∽△BPO ，可得
AB OB BC OP =代入个数据可得OP 的值，可得P 点坐标.
【题目详解】
解：（4）由题意得，抛物线y ＝ax 4+4ax +c 的对称轴是直线2a x=-
=-12a
， ∵a ＜0，抛物线开口向下，又与x 轴有交点，
∴抛物线的顶点C 在x 轴的上方，
由于抛物线顶点C 到x 轴的距离为4，因此顶点C 的坐标是（﹣4，4）．
可设此抛物线的表达式是y ＝a （x +4）4+4，
由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣4．因此，抛物线的表达式是y＝﹣x4﹣4x+3．
（4）如图4，
点B的坐标是（0，3）．连接BC．
∵AB4＝34+34＝48，BC4＝44+44＝4，AC4＝44+44＝40，
得AB4+BC4＝AC4．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
所以tan∠CAB=
1
3 BC
AB
．
即∠CAB的正切值等于1
3
．
（3）如图4，连接BC，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAP＝∠ABO＝45°，
∵∠CAO＝∠ABP，
∴∠CAB＝∠OBP，
∵∠ABC＝∠BOP＝90°，∴△ACB∽△BPO，
∴AB OB
BC OP
=，
3
OP
=，OP＝4，
∴点P的坐标是（4，0）．
【题目点拨】
本题主要考查二次函数的图像与性质，综合性大.。