第二章随机向量总结
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f X (x) f1 ( x) f (x, y)dy
fY ( y) f 2 ( y) f ( x, y)dx
事实上, (1)f1(x)≥0, (2) 若a<b,则
b
P{a<X<b}= P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= dx f ( x, y )dy
返回
例2.1.2.设随机变量Y~N（0，1），令
0, | Y | 1
0, | Y | 2
X 1 1,
|Y
|
, 1
X
2
1,
| Y | 2
求（X1，X2）的联合概率分布。
解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1-P(|Y|<2) =-2Φ(2)=0.0455
i
一般地,记: P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
分布表如下:
返回
Y X
y1 y2 y j
p. i.
x1 p11 p12 p1 j p1. x2 p21 p22 p2 j p2.
xi pi1 pi2 pij pi.
返回
二维联合概率分布区域图: Y
2
1
P(X≤1,Y≤1}
-1
0
P{X≥0,Y≤1}
1
X
返回
3、边缘概率分布
(1) 定义:随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关
于Xi的边缘分布。
(2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。
若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
(4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
解:(1)
0
0
Ae
(
2
x3
y
)
dxdy
0
Ae2xe3y dxdy
0
据
b
dx
d
f ( x )g( y )dy
b
f ( x )dx
d g( y )dy得
ac
a
c
A
e2x dx
P(X=xi)= P{( X xi ) [ ( Y y j )]} (i=1,2,...)
j
P{( X xi ) (Y y j )} P( X xi ,Y y j ) pij
j
j
j
同理: P( Y y j ) pij (j=1,2,...)
00
01 X
6
1e2x (
1
e3 y
)
x
1 dx
0
3
0
2
1
(
e
2
x
ex3 )dx 1 3e2
2e3
0
返回
⒊边缘密度函数
对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y)，分量X,Y的密度函数称 为边缘密度函数。已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。
X Y P(X=0,Y=4)= 0.54=1/16
0 4 P(X=1,Y=3)= C41 0.5 0.53 =1/4
1 2
3 2
P(X=2,Y=2)= C42 0.52 0.52 =6/16
3 1 P(X=3,Y=1)=C43 0.53 0.51 =1/4 X Y 0 1 2 3 4
其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.
解: (1)f(x,y)≥0;
(2)
D
1 SD
dxdy
=1
所以,称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.
返回
例2.1.6.若(X,Y)～ f
(
x,
y
)
Ae (
2
x3
y
)
,
0,
x 0,y 0 其它
试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1}; (3) P（X≤x,Y≤y）.
y
所以, 当x≥0,y≥0时,
0x
X
x y 6e (2s3t )dtds 00
6
x e2s ds
y e3t dt
6(
1
e2s
)
x (
1
e 3t
)
y
( 1 e2x
)( 1
e3 y
)
0
0
2 03 0
即:
P(X
x,Y
y)
(1
e 2x )(1
f1( x )
f ( x, y )dy
x2 y2 1 其它
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0
注当意|x|:≤均1时匀,分f1布( x的) 边[缘密1度x2 不再11是xx22 一维1x均2 ]匀f (分x,布y )dy-1
其X 中YE={(xyi1,yj)y,2i,j…=1,y2j,.…..}为联(合X,概Y)率的分取布值性集质合:,表格形式如下:
x1
p11 p12 … p1j … ① pij≥0 ;i,j=1,2,…
x2 …
p21 p22 … p2j … ②∑∑pij = 1;
… … … … … ③P{(X,Y)∈D } = pij
P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)
+P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, P(X+Y=3)=0.05 返回
3.甲.乙二人独立地各进行两次射击,假设甲.乙的命中率分别为0.2,0.5, 以X,Y表示甲.乙的命中次数,求X,Y的联合概率分布.
解:X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为:
联合概率分布表为:
X1X2
0
0 0.0455
1
0
1
0.2719 0.6826
返回
例2.1.3.二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
2
求:(1)常数a的取值;
结 合 下
-1 0.05 0.1 0.1
页
(2)P(X≥0,Y≤1);
概
0
0.1 0.2 0.1
1
a 0.2 0.05
(3) P(X≤1,Y≤1)
⒈二维离散型随机向量的概念
如果二维随机向量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或至多可
列
个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。
易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与 Y
分别都是一维离散型的。
⒉联合概率分布及其性质
称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的联合概率分布,
p. j p.1 p.2 p. j
返回
例2.1.4.设(X,Y)的联合概率分布表为:
XY 0 1
2 Pi.
-1 0.05 0.1 0.1 0.25
0
0.1 0.2 0.1 0.4
1
0.1 0.2 0.05 0.35
p.j 0.25 0.5 0.25
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
xi
pi1 pi2 … p i j …
( xi, y j )D
… … … ………
返回
例2.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上 的
解次:X数的,所Y表有示可反能面取朝值上为次0,1数,2,,求3,4(,XY,的Y)所的有联可合能概取率值分为布0. ,1,2,3,4,
因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:
f ( x, y )dxdy 1
(3) P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
D
注意: 满足上述性质(1)(2)的二元函数为某随机向量 的联合
概率密度.
返回
1
例2.1.5.验证
f
(
x,
y
)
S
D
0
( x,y ) D 其它
是否构成二维随机向量的联合概率密度函数?
X0
12
Y
01
2
P 0.64 0.32 0.04
P 0.25 0.5 0.25
由X.Y的独立性得(X,Y)的联合概率分布为
XY
0
12
0
0.16 0.32 0.6
1
0.08 0.16 0.08
2
001 0.02 0.01
返回
三、连续型随机向量的联合分布、边缘概率分布
⒈定义:设（X，Y）是二维随机向量，若存在非负可积函
P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2) =P(1≤|Y|<2) =P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2) =2P(1≤Y<2) =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719
P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2) =0 P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2) =P(|Y|<1) =2Φ(1)-1 =0.6826
e3y dy
A(
1
e2x
)
(
1
e3 y
)
0
0
2 03 0
=A/6 =1 所以, A=6
返回
(2) P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
Y
D
所以,P{ X<2, Y<1} f(x, y)dxdy
{X 2,Y1}
1
2
dx
4 0 P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16
0 0 0 0 0 1/16 1 0 0 0 1/4 0
联合概率分布表为:
2 3
0 0 6/16 0 0 0 1/4 4 1/16 0 0 0 0 返回
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所 有取值数对; 2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3.列出联合概率分布表.
y 1 x2
Y
1 X
1 x 2 1 x 2
数 f(x,y),使得 对于平面上的任何可求面积的区域D都有
P( X ,Y ) D f (x, y)dxdy
则称 (X,Y）为二维连续型随机向D量,f(x,y)为联合概率密度， 记为（X，Y)～f(x,y).
⒉性质: (1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2
或
a
b
a f1( x )dx
所以,f1(x)是X的概率密度,同理可证f2(y).
返回
例2.1.7.设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解:(1)由题意得:
1
f ( x, y )
0
16e( 2x3 y )dy
0
0
{X<2, Y<1} 0
2X
6 2 e2xdx 1 e3y dy
0
0
6(
1
e2x
2 )(
1
e 3 y
1 )
(1
e 4
)( 1
e 3
)
2 03 0
返回
Y
(3) P{X x,Y y}
xt
f ( s,t )dtds
率 分 布 图
解:(1)由∑pij=1得: a=0.1
(2)由P{(X,Y)∈D } = pij 得 P(X≥0,Y≤1)= ( xi, y j )D
P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
第2章
随机向量
•第2.1节 随机向量及其分布 •第2.2节 随机向量的联合分布函数
返返回回
第2.1节 随机向量及其分布 一、n 维随机向量
以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn)称为 n 维随机向量。
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。
返回
二、离散型随机向量的联合分布、边缘概率分布
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2
e 3 y
)
0
x 0, y 0 其它
返回
(4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
Y
P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
D
f(x, y)dxdy
2
2x3y6
3
dx
1 (
3
6
2
x
)
6
e
(
2
x3
y
)
dy
0
0
6
3 e2x (
1
e3 y
)
1(6 3
2x
) dx
0
3
0
2 3( e2x e6 )dx 1 7e6 0
2x+3y=6
0
3X
返回
练习:
(1)P{(X,Y)∈D},其中
Y
D为 y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域.
1
P{(X,Y)∈D}
y=x+1
y=-x+1
1
dx
x16e( 2x3 y )dy
fY ( y) f 2 ( y) f ( x, y)dx
事实上, (1)f1(x)≥0, (2) 若a<b,则
b
P{a<X<b}= P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= dx f ( x, y )dy
返回
例2.1.2.设随机变量Y~N（0，1），令
0, | Y | 1
0, | Y | 2
X 1 1,
|Y
|
, 1
X
2
1,
| Y | 2
求（X1，X2）的联合概率分布。
解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1-P(|Y|<2) =-2Φ(2)=0.0455
i
一般地,记: P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
分布表如下:
返回
Y X
y1 y2 y j
p. i.
x1 p11 p12 p1 j p1. x2 p21 p22 p2 j p2.
xi pi1 pi2 pij pi.
返回
二维联合概率分布区域图: Y
2
1
P(X≤1,Y≤1}
-1
0
P{X≥0,Y≤1}
1
X
返回
3、边缘概率分布
(1) 定义:随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关
于Xi的边缘分布。
(2) 边缘分布列 对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。
若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
(4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
解:(1)
0
0
Ae
(
2
x3
y
)
dxdy
0
Ae2xe3y dxdy
0
据
b
dx
d
f ( x )g( y )dy
b
f ( x )dx
d g( y )dy得
ac
a
c
A
e2x dx
P(X=xi)= P{( X xi ) [ ( Y y j )]} (i=1,2,...)
j
P{( X xi ) (Y y j )} P( X xi ,Y y j ) pij
j
j
j
同理: P( Y y j ) pij (j=1,2,...)
00
01 X
6
1e2x (
1
e3 y
)
x
1 dx
0
3
0
2
1
(
e
2
x
ex3 )dx 1 3e2
2e3
0
返回
⒊边缘密度函数
对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y)，分量X,Y的密度函数称 为边缘密度函数。已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。
X Y P(X=0,Y=4)= 0.54=1/16
0 4 P(X=1,Y=3)= C41 0.5 0.53 =1/4
1 2
3 2
P(X=2,Y=2)= C42 0.52 0.52 =6/16
3 1 P(X=3,Y=1)=C43 0.53 0.51 =1/4 X Y 0 1 2 3 4
其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.
解: (1)f(x,y)≥0;
(2)
D
1 SD
dxdy
=1
所以,称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.
返回
例2.1.6.若(X,Y)～ f
(
x,
y
)
Ae (
2
x3
y
)
,
0,
x 0,y 0 其它
试求:(1)常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1}; (3) P（X≤x,Y≤y）.
y
所以, 当x≥0,y≥0时,
0x
X
x y 6e (2s3t )dtds 00
6
x e2s ds
y e3t dt
6(
1
e2s
)
x (
1
e 3t
)
y
( 1 e2x
)( 1
e3 y
)
0
0
2 03 0
即:
P(X
x,Y
y)
(1
e 2x )(1
f1( x )
f ( x, y )dy
x2 y2 1 其它
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0
注当意|x|:≤均1时匀,分f1布( x的) 边[缘密1度x2 不再11是xx22 一维1x均2 ]匀f (分x,布y )dy-1
其X 中YE={(xyi1,yj)y,2i,j…=1,y2j,.…..}为联(合X,概Y)率的分取布值性集质合:,表格形式如下:
x1
p11 p12 … p1j … ① pij≥0 ;i,j=1,2,…
x2 …
p21 p22 … p2j … ②∑∑pij = 1;
… … … … … ③P{(X,Y)∈D } = pij
P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)
+P(X=-1,Y=2)=0.4 同理,P(X+Y=2)=0.3, P(X+Y=3)=0.05 返回
3.甲.乙二人独立地各进行两次射击,假设甲.乙的命中率分别为0.2,0.5, 以X,Y表示甲.乙的命中次数,求X,Y的联合概率分布.
解:X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为:
联合概率分布表为:
X1X2
0
0 0.0455
1
0
1
0.2719 0.6826
返回
例2.1.3.二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
2
求:(1)常数a的取值;
结 合 下
-1 0.05 0.1 0.1
页
(2)P(X≥0,Y≤1);
概
0
0.1 0.2 0.1
1
a 0.2 0.05
(3) P(X≤1,Y≤1)
⒈二维离散型随机向量的概念
如果二维随机向量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或至多可
列
个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。
易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与 Y
分别都是一维离散型的。
⒉联合概率分布及其性质
称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的联合概率分布,
p. j p.1 p.2 p. j
返回
例2.1.4.设(X,Y)的联合概率分布表为:
XY 0 1
2 Pi.
-1 0.05 0.1 0.1 0.25
0
0.1 0.2 0.1 0.4
1
0.1 0.2 0.05 0.35
p.j 0.25 0.5 0.25
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
xi
pi1 pi2 … p i j …
( xi, y j )D
… … … ………
返回
例2.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上 的
解次:X数的,所Y表有示可反能面取朝值上为次0,1数,2,,求3,4(,XY,的Y)所的有联可合能概取率值分为布0. ,1,2,3,4,
因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:
f ( x, y )dxdy 1
(3) P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
D
注意: 满足上述性质(1)(2)的二元函数为某随机向量 的联合
概率密度.
返回
1
例2.1.5.验证
f
(
x,
y
)
S
D
0
( x,y ) D 其它
是否构成二维随机向量的联合概率密度函数?
X0
12
Y
01
2
P 0.64 0.32 0.04
P 0.25 0.5 0.25
由X.Y的独立性得(X,Y)的联合概率分布为
XY
0
12
0
0.16 0.32 0.6
1
0.08 0.16 0.08
2
001 0.02 0.01
返回
三、连续型随机向量的联合分布、边缘概率分布
⒈定义:设（X，Y）是二维随机向量，若存在非负可积函
P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2) =P(1≤|Y|<2) =P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2) =2P(1≤Y<2) =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719
P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2) =0 P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2) =P(|Y|<1) =2Φ(1)-1 =0.6826
e3y dy
A(
1
e2x
)
(
1
e3 y
)
0
0
2 03 0
=A/6 =1 所以, A=6
返回
(2) P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
Y
D
所以,P{ X<2, Y<1} f(x, y)dxdy
{X 2,Y1}
1
2
dx
4 0 P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16
0 0 0 0 0 1/16 1 0 0 0 1/4 0
联合概率分布表为:
2 3
0 0 6/16 0 0 0 1/4 4 1/16 0 0 0 0 返回
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所 有取值数对; 2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3.列出联合概率分布表.
y 1 x2
Y
1 X
1 x 2 1 x 2
数 f(x,y),使得 对于平面上的任何可求面积的区域D都有
P( X ,Y ) D f (x, y)dxdy
则称 (X,Y）为二维连续型随机向D量,f(x,y)为联合概率密度， 记为（X，Y)～f(x,y).
⒉性质: (1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2
或
a
b
a f1( x )dx
所以,f1(x)是X的概率密度,同理可证f2(y).
返回
例2.1.7.设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解:(1)由题意得:
1
f ( x, y )
0
16e( 2x3 y )dy
0
0
{X<2, Y<1} 0
2X
6 2 e2xdx 1 e3y dy
0
0
6(
1
e2x
2 )(
1
e 3 y
1 )
(1
e 4
)( 1
e 3
)
2 03 0
返回
Y
(3) P{X x,Y y}
xt
f ( s,t )dtds
率 分 布 图
解:(1)由∑pij=1得: a=0.1
(2)由P{(X,Y)∈D } = pij 得 P(X≥0,Y≤1)= ( xi, y j )D
P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
第2章
随机向量
•第2.1节 随机向量及其分布 •第2.2节 随机向量的联合分布函数
返返回回
第2.1节 随机向量及其分布 一、n 维随机向量
以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn)称为 n 维随机向量。
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。
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二、离散型随机向量的联合分布、边缘概率分布
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2
e 3 y
)
0
x 0, y 0 其它
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(4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
Y
P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy
D
f(x, y)dxdy
2
2x3y6
3
dx
1 (
3
6
2
x
)
6
e
(
2
x3
y
)
dy
0
0
6
3 e2x (
1
e3 y
)
1(6 3
2x
) dx
0
3
0
2 3( e2x e6 )dx 1 7e6 0
2x+3y=6
0
3X
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练习:
(1)P{(X,Y)∈D},其中
Y
D为 y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域.
1
P{(X,Y)∈D}
y=x+1
y=-x+1
1
dx
x16e( 2x3 y )dy