新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(含答案解析)(3)

一、选择题
1．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2
224x y -+= B ．()2
224x y ++= C ．()()2
2
448x y -+-=
D ．()()2
2
448x y ++-=
2．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（ ） A ．点在圆外
B ．点在圆内
C ．点在圆上
D ．不能确定
3．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()2
2
234x y +++=作一条切线切于点
T ，则MT 的最小值为（ ）
A B ．4
C ．
D ．4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为
A 、
B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：
23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的
个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，
，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）
A ．(4][4)-∞-⋃+∞，
， B ．(22)-， C ．3
[8]2
-，
D ．(4)+∞，
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=
D ．22890x y y +--=
7．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02
c
x y -+=上， 则m c += . A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知圆22:(2)2C x y ++=，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条（ ） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
9．过坐标原点O 作圆()()2
2
341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )
A ．
5
B ．5
C
D 10．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）
A ．[1-+
B ．(11]--
C ．[3,1+
D ．[1,3]-
12．圆心为1,32C ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的圆与直线:230l x y +-=交于P ､Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ⋅=，则圆C 的方程为（ ） A ．22
15()(3)2
2x y -+-= B ．22
15()(3)2
2x y -++= C ．22
125()(3)2
4
x y ++-=
D ．22
125()(3)2
4
x y +++=
二、填空题
13．直线:20l mx y m --+=与圆22:6O x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则
AOB 面积的最大值为__________.
14．直线360x y +-=和圆()2
215x y +-=的位置关系为______.
15．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则
r 的取值范围是___________.
16．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.
17．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与
740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.
18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+，曲线2C 的方程为
22(1)4x y ++=，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．
19．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为________．
20．定义点()00,P x y 到直线()
2
2
:00l Ax By C A B ++=+≠的有向距离
d =
.已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d ，给出以下命题：①若
120-=d d ，则直线12PP 与直线l 平行；②若120d d +=，则直线12PP 与直线l 平行；
③若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直；④若120<d d ，则直线12PP 与直线l 相交.其中正确命题的个数是_______.
三、解答题
21．如图，已知圆22:414450C x y x y +--+=及点(2,3)Q -.
（1）若点(,1)P m m +在圆C 上，求直线PQ 的斜率以及直线PQ 与圆C 的相交弦PE 的长度；
（2）若(,)N x y 是直线10x y ++=上任意一点，过N 作圆C 的切线，切点为A ，当切线长NA 最小时，求N 点的坐标，并求出这个最小值； （3）若(,)M x y 是圆上任意一点，求
3
2
y x -+的最大值和最小值. 22．已知圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -、()0,2B -. （1）求圆C 的标准方程；
（2）求圆C 上的点到直线210x y --=的距离最大值.
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：
221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A .
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；
24．已知以点C 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，且圆心C 在直线3150x y +-=上 （1）求圆C 的方程；
（2）设点Q (-1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积.
25．直线2
1:20l a x y a ++=，2:10l x ay ++=，圆22:650C x y y +-+=.
（1）当a 为何值时，直线1l 与2l 垂直；
（2）若圆心C 在直线2l 的左上方，当直线2l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且PQ =求直线2l 的方程.
26．已知圆C 方程222410x y x y +-++= （1）求圆C 的圆心，半径；
（2）直线l 经过(2,0)，并且被圆C 截得的弦长为l 的方程.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】
设圆心为(),24C a a -，由AC BC ==
整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，
所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2
2
24x y -+=.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：
（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；
（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.
2．A
【分析】
直线1ax by +=与圆2
2
1x y +=
1<，即为
1>，由此可得点与圆的位置关系．
【详解】
因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点， ||
1<，
1>，
因为点(,)b a 与2
2
1x y += 圆2
2
4x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.
3．D
解析：D 【分析】
根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算
可得答案． 【详解】
根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，
过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，
而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4
min MC ==，
则||MT = 故选：D 【点睛】
方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.
4．D
解析：D
设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①
；由PA =
②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中
点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，半径为22
PM =
，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方程，判断③. 【详解】
可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为5
3y k x ，即
350kx y k ，
=2+2440k k -=，
可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又
PM =
=PA MA ⊥
，PA ∴==故②正确；
,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径
为
22
PM =
， 故PAB △外接圆的方程为2
2
7
13(2)()2
4
x y -+-=，即22
47130x y x y +--+=，故④正确；
将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.
5．C
解析：C 【分析】
根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116
k ≤-
或37k ≥
，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】
直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=.
由
10
3220
x y
x y
+-=
⎧
⎨
--=
⎩
得
4
5
1
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，∴直线l
恒过点
41
55
C
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，
1
13
5
47
2
5
AC
k
+
==
+
，
1
211
5
46
2
5
BC
k
+
==-
-
，
由图可知直线l的斜率k的取值范围为：
11
6
k≤-或
3
7
k≥，
又
3
2
m
k
m
+
=-
-
，
∴11
26
3
m
m
≤-
-
+
-或
3
27
3
m
m
-≥
+
-
，即28
m
<≤或
3
2
2
m
-≤<，
又2
m=时直线的方程为
4
5
x=，仍与线段AB相交，
∴m的取值范围为
3
8
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，.
故选：C.
【点睛】
本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0
x y m x y
+-+--=得直线l恒过点41
55
C
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.
6．A
解析：A
【分析】
求出点A、B的坐标，设圆心坐标为()
0,b，由AC BC
=可求出圆心C的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C的方程.
【详解】
易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，
设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，
因此，圆C 的方程为()2
2325x y ++=，即为2
2
6160x y y ++-=.
故选：A. 【点睛】
求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
7．C
解析：C 【分析】
由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02
c
x y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】
由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线02c x y -+=上
代入得：
12022
m c
+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.
8．C
解析：C 【分析】
先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1-，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论. 【详解】
若直线不过原点，其斜率为1-，设其方程为y x m =-+，
则0222
m
d --=
=，解得0m =或4-，
当0m =时，直线过原点；
若过原点，把()0,0代入()2
200242++=>，
即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题.
9．A
解析：A 【分析】
求得圆的圆心坐标和半径，借助11
222
AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯
，即可求解. 【详解】
如图所示，设圆()()2
2
341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，
则11
222
AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯
，可得246OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．B
解析：B 【分析】
根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间.
【详解】
根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴， 所以()()40,0,0,30A B ，圆2
2
:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结
束， 所以:
14030
AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=， 因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为2
2
1202434
OO -'=
=+，
所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续20
10
=2小时， 故选：B.
【点睛】
思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：
（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程；
（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.
11．B
解析：B 【分析】
将234y x x =-22
(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用
两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】
由234y x x =-22
(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，
所以直线y x b =+与半圆22
(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆2
2
(2)(3)4-+-=x y 211
=+，解得122b =-或
122b =+
由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，
1221b -<≤-，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.
12．C
解析：C 【分析】
根据题中所给的圆心坐标，设出圆的标准方程，根据题中所给的条件，求得2r 的值，得出结果. 【详解】 因为圆心为1,32C ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 所以设圆的方程为：222
1
()(3)2
x y r ++-=， 将直线方程代入圆的方程，得到2
2
8552004
y y r -+
-=， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有2
1212174,45
r y y y y +=⋅=-，
因为0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=， 所以1212(32)(32)0y y y y -⋅-+=，
整理得121296()50y y y y -++=，即2
179645()045
r -⨯+⨯-=，
求得2
254
r =
，
所以圆C 的方程为：22
125()(3)2
4
x y ++-=， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关圆的方程的求解，涉及到的知识点有圆的标准方程，关于垂直条件的转化，属于简单题目.
二、填空题
13．3【分析】设出圆心到直线的距离为利用几何法求出表示出面积再利用二次函数的性质即可求出【详解】可得直线的定点在圆内则设圆心到直线的距离为则当即即时取得最大值为3故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查圆
解析：3 【分析】
设出圆心O 到直线的距离为d ，利用几何法求出AB ，表示出面积，再利用二次函数的性质即可求出. 【详解】
可得直线:20l mx y m --+=的定点()1,2在圆内，则m R ∈ 设圆心O 到直线的距离为d
，则d =
AB =，
∴
12
AOB
S
AB d d =⨯⨯=== 当2
3d
=，即
()2
2
231
m m -=
+，即22
m -±=
时，AOB
S 取得最大值为3.
故答案为：3. 【点睛】
关键点睛：本题考查圆内三角形面积的最值问题，解题的关键是利用几何法求出AB ，表示出三角形面积，利用二次函数性质求解.
14．相交【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系【详解】解：圆的圆心坐标为半径则圆心到直线的距离直线与圆的位置关系是相交故答案为：相交【点睛】方法
解析：相交 【分析】
由圆的标准方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，确定出直线与圆的位置关系 【详解】
解：圆()2
215x y +-=的圆心坐标为
(0,1)，半径r =
则圆心到直线360x y +-=的距离
d =
< ∴直线360x y +-=与圆()2215x y +-=的位置关系是相交.
故答案为：相交. 【点睛】
方法点睛：判断直线与圆的位置关系，常用圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小比较： （1）若d r =，则直线与圆相切； （2）若d r <，则直线与圆相交； （3）若d
r ，则直线与圆相离.
15．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)
【分析】
将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】
解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222
:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，
所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】
圆与圆位置关系问题的解题策略：
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22
,x y 项得到.
16．或【分析】分类讨论：直线过坐标原点直线不过坐标原点再根据截距的关系求解出直线的方程【详解】当直线过坐标原点时显然直线的斜率存在设代入所以所以所以直线方程为；当直线不过坐标原点时设所以横截距为纵截距为
解析：y x =-或11542
y x =-+ 【分析】
分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程. 【详解】
当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设y kx =，代入()10,10-， 所以1010k -=，所以1k =-，所以直线方程为y x =-； 当直线不过坐标原点时，设()1010y k x -=+，所以横截距为10
10k
-
-，纵截距为1010k +，
所以()101041010k k --=+，解得1
4k =-或1k =-（舍），所以直线方程为11542
y x =-+，
故答案为：y x =-或115
42
y x =-+
. 【点睛】
本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.
17．或【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点
解析：370x y +-=或310x y -+= 【分析】
在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ，利用点M 到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点P 且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程. 【详解】
在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ， 则点M 到直线20x y +-=与740x y -+=的距离相等，
=
7452x y x y -+=+-.
所以，()7452x y x y -+=+-或()7452x y x y -+=-+-，
所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为370x y -+=或6230x y +-=. 由于底边与顶角角平分线垂直.
当底边与直线370x y -+=垂直时，且直线370x y -+=的斜率为13
， 此时底边所在直线方程为()132y x -=--，即370x y +-=；
当底边与直线6230x y +-=垂直时，且直线6230x y +-=的斜率为3-，
此时底边所在直线方程为()1
123
y x -=-，即310x y -+=. 故答案为：370x y +-=或310x y -+=.
【点睛】
本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．【分析】利用是过点B(02)且关于y 轴对称的两条射线将C1与C2有且仅有三个公共点等价转化为l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点验证即可
解析：4
3
-
【分析】
利用1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线,将C 1与C 2有且仅有三个公共点等价转化为l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点，验证，即可得出答案. 【详解】
易知2C 是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.
由题设知,1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2，由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,
2=,
故4
3
k =-或k =0.经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点； 当4
3
k =-
时，l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点 当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2
2=,
故k =0或43k =,经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点，当4
3
k =时，l 2与C 2没有公共点. 故答案为：43
- 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
19．x2＋y2－4x ＋4y －17＝0【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减得到公共弦方程再联立直线和圆的方程求出公共点坐标进而求出圆的半径和圆心写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减得到公共弦方程再
解析：x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0
【解析】
试题分析：解法一：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再联立直线和圆的方程求出公共点坐标，进而求出圆的半径和圆心，写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再利用圆系方程进行求解. 试题
解法一：联立两圆方程2222
122130
1216250x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩
， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0. 再由221221304320
x y x y x y ⎧+---=⎨+-=⎩，
联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，
∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)5=， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.
解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)． 可求得圆心1212162
(,)2(1)2(1)
C λλλλ---
-++．
∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴1212162
43202(1)2(1)
λλλλ---⨯
+⨯-=++，
解得λ＝
12
. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.
20．1【分析】设点的坐标分别为求出可知当时命题①②③均不正确当时在直线的两边可以判断命题④正确【详解】设点的坐标分别为则若则即所以若即则点都在直线l 上此时直线与直线l 重合故命题①②③均不正确当时在直线的
解析：1 【分析】
设点12,P P 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，求出12,d d ，可知当120d d ==时，命题①②③均不正确，当120<d d 时，12,P P 在直线的两边，可以判断命题④正确. 【详解】
设点
12,P P 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则1
d =，
2d =
，
若
120-=d d ，则12d d ==
，
所以1122Ax By C Ax By C ++=++，若120d d ==，
即11220Ax By C Ax By C ++=++=，则点12,P P 都在直线l 上， 此时直线12PP 与直线l 重合，故命题①②③均不正确，
当120<d d 时，12,P P 在直线的两边，则直线12PP 与直线l 相交，故命题④正确. 故答案为：1. 【点睛】
本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键，综合性较强.
三、解答题
21．（1）13k =；PE =2）()3,2N -，3）最大值为2+，最小
值为2. 【分析】
（1）通过点(,1)P m m +在圆C 上，求出4m =，推出P 的坐标，求出直线PQ 的斜率，得到直线PQ 的方程，利用圆心(2,7)到直线的距离d ，求解即可；
（2）判断当NC 最小时，NA 最小，结合当NC l ⊥时，NC 最小，求出NC 的最小值，然后求解直线方程；
（3）利用3
2
MQ y k x -=+，题目所求即为直线MQ 的斜率k 的最值，且当直线MQ 为圆的切线时，斜率取最值.设直线MQ 的方程为3(2)y k x -=+，利用圆心到直线的距离求解即可.
【详解】 （1）
点(,1)P m m +在圆C 上，代入圆C 的方程，解得4m =，(4,5)P ∴，
故直线PQ 的斜率5314(2)3k -=
=--.因此直线PQ 的方程为1
5(4)3
y x -=-.
即3110x y -+=，而圆心(2,7)到直线的距离
d =
=
=
所以||PE ====
.
（2）
NA ==
∴当NC 最小时，NA 最小，又知当NC l ⊥时，NC 最小，
∴NC d ==由题得过C 且与直线10x y ++=垂直的直线方程为50x y -+=，
(3,2)N ∴-
（3）
3
2
MQ y k x -=
+， ∴题目所求即为直线MQ 的斜率k 的最值，且当直线MQ 为圆的切线时，斜率取最值.
设直线MQ 的方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=.
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d r =
==
两边平方，即2
2
(44)8(1)k k -=
+，解得2k =
2k =+
所以
3
2y x
-+的最大值和最小值分别为2
+2. 【点睛】
方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法（利用函数的单调性求解最值）；（2）导数法（利用导数求函数的单调性即得最值）；（3）数形结合法（通过“数”和“形”的有机结合求解最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式求解最值）.要根据数学情景灵活选择方法解答.本题的最值就利用了数形结合的方法. 22．（1）()()2
2235x y -++=；（2
. 【分析】
（1）求出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，与直线270x y --=的方程联立，可求得圆心C 的坐标，并求出该圆的半径，由此可得出圆C 的标准方程； （2）求出圆心C 到直线210x y --=的距离，由此可求得圆C 上的点到直线
210x y --=的距离最大值.
【详解】
（1）由题意可知，圆心C 在线段AB 的垂直平分线3y =-上， 联立2703x y y --=⎧⎨
=-⎩，解得2
3
x y =⎧⎨=-⎩，即圆心()2,3C -，
圆C 的半径为
AC =
=
因此，求圆C 的标准方程为()()2
2235x y -++=； （2）圆心C 到直线210x y --=
的距离为
5
d =
=
， 因此，圆C 上的点到直线210x y
--=
. 【点睛】
结论点睛：当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离为d ，圆C 的半径为r ，则圆外一点到圆上一点距离的最小值为d r -，最大值为d r +.
23．（1）()()2
2
611x y -+-=；（2）250x y -+=或2150x y --=. 【分析】
（1）设()06,N y ，由圆与x 轴相切、与圆M 外切可得0075y y -=+，进而可得
01y =，即可得解；
（2）由直线平行的性质可设直线l 的方程为20x y m -+=，利用垂径定理、点到直线的距离公式即可得解. 【详解】
圆M 的标准方程为()()2
2
6725x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5，
（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，
所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =， 因此，圆N 的标准方程为()()2
2
611x y -+-=；
（2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为40
220
-=-， 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，
则圆心M 到直线l 的距离d =
=
，
因为BC OA ===，而2
2
22BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
所以()2
52555
m +=
+，解得5m =或15m =-，
故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化直线与圆、圆与圆的位置关系及垂径定理的应用. 24．（1）22(3)(6)40x y ++-=；（2）24. 【分析】
（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；
（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】
（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．
AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，
AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．
由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36
x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -． ∴
半径r ==．
故所求圆C 的标准方程为()()2
2
3640x y ++-=． （2）
点()()1,0Q m m ->在圆C 上，
12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，
12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，
点B 到直线AQ 的距离为4，
QAB ∴的面积11
41242422
S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．
【点睛】
利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上. 25．（1）0a =或1a =-（2）10x y -+= 【分析】
（1）根据两条直线平行的条件列式解得结果即可得解；
（2）设圆心(0,3)C 到直线2l 的距离为d ，利用弦长求出d ，根据圆心到直线的距离求出
d ，由此可求出a ，再根据圆心C 在直线2l 的左上方，舍去一个值，从而可得直线2l 的方
程. 【详解】
（1）由直线1l 与2l 垂直得20a a +=，解得0a =或1a =-； （2）圆22:650C x y y +-+=的圆心(0,3)C ，半径为2，
设圆心(0,3)C 到直线2l 的距离为d ，则d ==
又
d ==，所以27610a a +-=，所以17
a =或1a =-，
当1
7a =
时，21:107
l x y ++=，由0x =得73y =-<，此时圆心C 在直线2l 的右上方，不符合题意；
当1a =-时，2:10l x y -+=，由0x =得1y =3<，此时圆心C 在直线2l 的左上方； 故直线2l 的方程为：10x y -+= 【点睛】
结论点睛：根据两条直线的位置关系求参数的结论：若1111:0l A x B y C ++=，
2222:0l A x B y C ++=，11,A B 不同为0，22,A B 不同为0，
①若12l l //，则12210A B A B -=且12
210AC A C -≠或12210B C B C -≠；
②若12l l ⊥，则12120A A B B +=. 26．（1）圆心(1,2)-；半径2；（2）2x =或3460x y --=.
【分析】
（1）将圆的方程化为标准方程，直接求圆心和半径；（2）利用弦长公式，得到圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在两种情况，求直线方程.
【详解】
（1）()()22
222410124x y x y x y +-++=⇔-++=圆心(1,2)- 半径2；
（2）圆222410x y x y +-++=可化为22(1)(2)4x y -++=. 所以圆心到直线的距离为
1d ==
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，
此时直线l
被圆C 截得的弦长为
当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=
1= 解得34k = ∴直线的方程为3460x y --=
综上所述，直线l 的方程为2x =或3460x y --=.
【点睛】 易错点睛：本题第二问，根据弦长求直线方程时，不要忽略过定点直线，其中包含斜率存在和不存在两种情况，否则容易丢根.。