东北三省三校高三数学第一次联合模拟考试试题 文(扫描

东北三省三校2017届高三数学第一次联合模拟考试试题文（扫描版）
东北师大附中三省三校联考一模数学（文科）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：
1——6 ACAABD 7——12 BCADAB
13． 8 14． 1
4
15． 212- 16． 22n n n a +=
17．解：
（Ⅰ）sin()sin A B C A B C π++=∴+=Q sin sinB
sin a c A a b C
-+∴=- ——1分 由正弦定理得
a c a b
a b c
-+=-， ——2分 即222b a c ac =+- ——4分 结合余弦定理，有1cos ,(0,)2B B π=∈，3
B π
∴=． ——6分 （Ⅱ）法一：
223sin
3
b R b π
==
⇒= ——8分
所以，222
32cos
23
b a
c ac ac ac ac π
==+-≥-=（当且仅当a c =时取等）
——10分 所以133
sin 234
S ac π=
≤ ——12分 （Ⅱ）1332sin 2sin 2sin 3sin sin()2443
S ac B ac A C A A π
=
==⨯⨯=-， 2313
3sin (
cos sin )(3sin cos sin )222
A A A A A A =+=+ 331133
(sin 2cos 2)sin(2)2222264
A A A π=
-+=-+
．——10分 270,23666A A ππππ
<<
∴-<-<Q ， 2,6
2
A π
π
∴-
=
即3
A π
=
时，S 取到最大值
33
4
． ——12分 18．解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n 个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x 人．
由题意
n 30090019260120+=+，得60=n ．则454
3
==n x 人．
所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取． ——4分
（Ⅱ）设所选的人中，有m 人年龄在30岁以下．则
6
32140280280m
==+，4=∴m ．
1A
A
1C
1B
B
C
D
E 即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作214321,,,,,B B A A A A ．——6分 则从中任取2人的所有基本事件为
）（）（）（）（）（2111413121,,,,,,,,,B A B A A A A A A A ）（）（）（）（22124232,,,,,,,B A B A A A A A ),(,,,,,,,,,,212414231343B B B A B A B A B A A A ）（）（）（）（）（．共15个 ——8分
其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．
分别是）（）（2111,,,B A B A ）
（）（2212,,,B A B A ),(,,,,,,,,2124142313B B B A B A B A B A ）（）（）（）（． ——10分 所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为
5
3
159=．——12分 19．（Ⅰ）证明：ABC ∆Q 为正三角形，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥，BD ∴⊥面11ACC A ，从而BD DE ⊥． ——2分 连接1EC ，Q 14AA AE =，12AB AA ==，
2111595,,2,5242
EA ED EC C D ∴===+==，
则222111,EC ED C D ED C D
=+∴⊥， ——4分
又1C D BD D =I ∴DE ⊥平面1BDC . ——6
分 （
Ⅱ
）
Q
12AA AE
=，
∴
112,5
ED C D C E ===，
13
2
C DE S ∆∴=
，
——8分
由（Ⅰ）知BD ⊥面11ACC A ，所以BD 为三棱锥1B C DE -的高 ——10分 所以11
11133
33322
C EB
D B C D
E C DE V V S BD --∆==⋅=⨯⨯=
. ——12分
20．解：（Ⅰ）由题意，max 11
,()22322
PAB c e S ab ab a ∆=
==⨯==，且222a b c =+. 解得1,3,2==
=c b a .
∴椭圆的标准方程为13
42
2=+
y x . ——4分
（Ⅱ）假设存在定点)0,(m D ，使得向量DN DM ⋅为定值n .
①当直线l 的斜率不为0时，椭圆C 左焦点)0,1(1-F ，设直线l 的方程为1-=ty x .联立
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+1134
2
2ty x y x ，消去x ，得096)43(2
2=--+ty y t . 设),(),,(2211y x N y x M ，则4
39
,4362
21221+-=+=
+t y y t t y y . ——6分 ),(),,(2211y m x DN y m x DM -=-=.
2
1221212121)())((y y m x x m x x y y m x m x DN DM +++-=+--=⋅2122121)2)(()1)(1(y y m y y t m ty ty ++-+---=
221212)1()()1()1(++++-+=m y y t m y y t
22
22
2222)1(4
39)156()1(43)1(643)1(9+++---=++++-++-=m t t m m t m t t t . ——8分 若DN DM ⋅为定值n ，则
493156-=
--m ，即811-=m ，此时64
135
-=n . ——10分 ②当直线l 的斜率为0时，64
135
82785),0,811(),02(),02(-
=⨯-=⋅--DN DM D B A ，，，亦符合题意； ——11分
∴存在点)0,811(-
D ，使得向量DN DM ⋅为定值64
135
-
=n . ——12分 21．解：（Ⅰ）)0(2
222)(2>+-=
-+='x x
ax x a x x x f ——1分 .令22)(2+-=ax x x h ，162
-=∆a
① 当0≤a 时，0≥-ax ，0)
()(>='∴x
x h x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；
——2分
② 当40≤<a 时，0162
≤-=∆a ，所以0)(≥x h ，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ——3分 ③ 当4>a 时，0162
>-=∆a ，
令0)(=x h ，得22121616
0,044
a a a a x x --+-=
>=>， '12'
12()0(0,)(,)
()0(,)
f x x x x f x x x x >⇒∈+∞<⇒∈U
所以，()f x 在()10,x 和()2x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减 综上，1o
当1a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
2o 当1>a 时，()f x 在()10,x 和()2x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减 ——6分
（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)0,2[-∈a 时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()
f x 的最大值是a f -=3)1(，对任意的)0,2[-∈a ，
都存在0(0,1]x ∈，使得不等式23)()1(22
0++>++a a x f a me a 成立， 即对任意的)0,2[-∈a ，23)()1(22
max 0++>++a a x f a me a 都成立.
即对任意的)0,2[-∈a ，不等式014)1(22
>+--+a a a me a 都成立.
记14)1(2)(2
+--+=a a a me a h a
，则)1)(2(242)2(2)(-+=--+='a
a
me a a a me a h . 8分
)1,1
[
),0,2[2e e a a ∈∴-∈Θ，且20a +≥. ①当1≤m 时，10,()0a
me h a '-<∴≤，即)0,2[-∈a 时，)(a h 单调递减.
0)(>∴a h ，只需0)0(≥h ，解得21
-≥m ，1[,1]2
m ∴∈-. ——9分
②当1>m 时，令0)(='a h 得2-=a 或m a ln -=，因为)0,2[-∈a ，所以0)2(2≥+a .
（ⅰ）当2
1m e <<时，)0,2[ln -∈-m ，当(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <； 当(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，03ln 2ln )ln ()(2
min >++-=-=∴m m m h a h ，
解得),1(3
e e
m ∈ ，2
(1,)m e ∴∈. ——10分
（ⅱ）当2
m e ≥时，因为20a -≤<，所以21
1a e e
≤<，所以1a me ≥，所以'()0h a ≥，则)(a h 在[2,0)-上单调递增，得025)2(2
>-=--me h ，即252e m <.2
25[,
)2
e m e ∴∈.——11分 综上，m 的取值范围是)2
5,21[2
e -. ——12分 22．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）直线1C ： 2sin 3cos ()3
R π
ρθρθθρ=-⇒=
∈ ——3分 曲线2C 的普通方程为2
2
(3)(2)1x y +++=. ——5分 （Ⅱ）3C : )(3
R ∈=ρπ
θ，即3y x =. ——6分
圆2C 的圆心到直线3C 的距离321
22
d -+=
=. ——9分 所以2
1
2134
AB =-
=. ——10分 23．选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）因为()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ——3分
当且仅当b x a ≤≤-时，等号成立，所以()f x 的最小值为4=+b a . ——5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知4=+b a ，由柯西不等式得22211()(49)(23)164923
a b
a b +
+≥⨯+⨯=. ——7分
即221116()4913a b +≥，当且仅当3
31221
b a
=
，即1336,1316==b a 时，等号成立. 所以，2291
41b a +的最小值为1613
． ——10分
另法：因为4=+b a ，所以4b a =-，则
2222211(4)133264(04)494936a a a a a b a --++=+=<< ——7分
当1613a =时，2291
41b a +取最小值，最小值为1613
． ——10分。