一元二次方程的概念及解法

一元二次方程的概念及解法
一、考点突破
1. 理解一元二次方程的定义、解，0
2=
ax
bx
+
+c （0≠a），a、b、c均为常数，尤其a不为零要切记。

2. 熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。

二、重难点提示
熟练掌握一元二次方程的几种解法。

一、知识结构
二、解题策略与方法
解一元二次方程的基本策略是：降次。

降次的主要方法是因式分解法和开平方法。

1. 一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一般形式：0
2=
bx
ax（c b a,,是常数，且0≠a）．
+c
+
2. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
形如r
()0
+2)
n
mx=
r的方程，两边开平方，即可转
(≥
化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法． （2）配方法
把一元二次方程通过配方化成r n mx =+2
)()
0(≥r 的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．
用配方法解一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数a ；② 移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③ 配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④ 化原方程为n m x =+2
)(的形式；⑤ 如果n ≥0就可通过两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解． （3）公式法
通过配方法可求得一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式：a ac b b x 242
-±-=，用求根公式解一元二
次方程的方法叫做公式法．
一元二次方程02
=++c bx ax （c b a ,,是常数，且0≠a ）的根的判别式是ac b 42
-．利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式，求方程中的参数的值或取值范围；通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。

用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①
化方程为一元二次方程的一般形式；② 确定c b a ,,的值；③ 求出ac b 42
-的值；④若042
≥-ac b ，则代入求根公式求方程的解；若042
<-ac b ，则方程无解． （4）因式分解法
如果一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于0，这两个因式至少有一个为0，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．
因式分解法的步骤是：① 将方程右边化为0；② 将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根．
能力提升类
例1 方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（ ）
A. m ≠1 B . m ≠0 C. |m |≠1 D. m ＝±1
一点通：该方程为关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程的定义中0≠a 的条件可求。

答案：C 评析：根据一元二次方程中二次项的系数不为0这一条件可确定二次项系数中所含字母的
取值范围.
例2 解关于x 的方程：)0(02
≠=+a c ax ．
一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行分类讨论．
解：因为0≠a ，所以a c
x -=2。

当c ＝0时，x 1＝x 2＝0；
当),(0异号时即c a ac <，a c
x -±=2
,1；
当),(0同号时即c a ac >，方程无实数根． 评析：本题主要考查分类讨论思想。

例3 解关于x 的方程： 03)12()1(2
=-+-+-m x m x m ．
一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行讨论．讨论m ，由于二次项系数含有m ，所以首先要分01=-m 与01≠-m 两种情况（不能认为方程一定是一元二次方程）；当01≠-m 时，再分0>∆，0=∆，0<∆三种情况讨论． 解：分类讨论． （1）当1=m 时，原方程变为一元一次方程02=-x ，所以2=x ．
（2）当1≠m 时，原方程为一元二次方程． 1112)3)(1(4)12(2
-=----=∆m m m m ．
当1211
>m ，且1≠m 时，0>∆，方程有两个不相等的
实数根，
)
1(211
12212,1--±-=
m m m x ；
当1211
=m 时，0=∆，方程有两个相等的实数根， 5
)
1(22121=--=
=m m
x x ；
当1211
<m 时，0<∆，方程没有实数根。

评析：本题主要考查分类讨论，一元二次方程的概念，根的判别式及一元二次方程的解法等知识，并强化分类讨论的思想方法。

综合运用类
例4 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2
12350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14
B. 12
C. 12或14
D. 以上都不对
一点通：解这个方程得15x =，2
7x =。

结合三角形三边关系，第三边的范围是17x <<，所以2
7x =不合题意，舍去。

这个三角形的三边分别为3、4、5，故周长为12．
答案：B 评析：这道题将构成三角形的条件与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想。

例5 解方程：2
340x x --= 一点通：本题含绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．
解法1：显然0x ≠．当0x >时，2
340x x --=，所以14x =,2
1x =-（舍去）．
当0x <时，2
340x x +-=，所以34x =-,4
1x =（舍去）． 所以原方程的根为4-、4．
解法2：由于22
x x =，所以2
340x x --= 所以(4)(1)0x x -+=
所以4x =,1x =-（舍去）． 所以14x =,2
4x =-． 评析：本题主要考查含绝对值符号的方程的解法。

例6 解方程：04)1(5)1(2
22=+---x x
一点通：本题为四次方程，教材上没出现过，该怎么解呢？无论题目如何变化，解决高次方程问题的策略是不变的，那就是降次，因此观察式子的结构特点，根据特点找关系进行降次是解决问题的关键。

解：为解方程04)1(5)1(222=+---x x ，我们可将12
-x 视为一个整体，然后设y x =-12，则2
22)1(y x =-，原方程化为0452
=+-y y ，解得11=y ，42
=y ．
当1=y 时，112
=-x ，得2±=x ； 当4=y 时，412
=-x ，得5±=x 。

故原方程的解为21-=x ；22=x ；53-=x ；54
=x 。

评析：本题主要考查通过换元进行降次，进而解高次方程的解法。

在解方程的过程中，我们将12
-x 用y 替换，先解出关于y 的方程，达到了降低
方程次数的目的，这种方法叫作“换元法”，和解二元一次方程组时的消元、解一元二次方程时的降次一样，都体现了转化的数学思想。

有些与一元二次方程相关的问题，常常不是去解这个方程，而是通过变形降次、整体代入等技巧方法，促使问题得以解决。

思维拓展类
例7 解方程(2)(1)(4)(7)19x x x x -+++=。

一点通：本题也是四次方程，但其式子中隐含的结构特点更加隐蔽，不管特点有多么隐蔽，只要紧紧抓住解高次方程的基本策略——降次，认真观察探寻式子中的结构特点，问题均可迎刃而解。

解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 2
2
(514)(54)19x x x x +-++=
设22
2
(514)(54)
552
x x x x y x x +-+++==+- ※ 则(9)(9)19y y -+=，
即2
8119y -=。

解得1,2
10y =±。

将1y ，2y 的值代入※式得1,2
585
x
-±=
，
3,4552
x -±=
评析：在解此题时，要仔细观察方程中系数之间的特殊关系，用换元法解之．
例8 解方程：012568956122
3
4
=+-+-x x x x
一点通：观察该方程中的系数，可发现系数有以下特点：4
x 的系数与常数项相同，3
x 的系数与x 的系数相同，像这样的方程我们称之为倒数方程．利用倒数之积等于1进行恒等变形是解这类题的主要方法。

解：由于0≠x ，方程两边同乘以2
1x 得
0125689561222=+-
+-x
x x x
89)1
(56)1(1222=++-+x x x x
65)1
(56)1(122=++-+x x x x
设y
x
x =+1
，则06556122=+-y y ，
所以
251=y ，
6132=
y 。

由251=y ，得2
51=+x x ，所以21=x ，21
2=
x 。

由6132=y ，得6131=+x x ，所以323=x ，2
34=
x 。

因此，原方程的根为21=x ，212=x ，
32
3=
x ，2
3
4
=
x。

例9 解方程：5)2
2(
2
2
=++x x x。

一点通：方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．
解：5222)22(2222
2
=+⋅⋅++++⋅⋅-x x x x x x x x x
5
2
4)22(2
2=+⋅++-x x x x x ， 所以
0524)2(2
22=-+⋅++x x x x ，
0)12
)(52(22=-+++x x x x
052
2
=++x x 或
122=-+x x
当0522
=++x x 时，得
01052=++x x ，这个方程无实数解；
当012
2
=-+x x 时，得
022=--x x ，所以1
1
-=x
，2
2
=x
；
经检验，1
1
-=x
，2
2
=x
是原方程的根．
1. 正确理解一元二次方程的意义，对于方程
各项及其系数的确立必须将方程化为一般形式，另外，不要忽略各项及其系数的符号。

2. 运用公式法解一元二次方程时，常常忽略将方程化为一般形式或没有注意各项系数的符号。

3. 在已知根的情况下求方程中字母系数的取值时，常忽略一元二次方程二次项系数必须不为零0条件。

问题：解方程：x x x x =-+-1
11 一点通：高次方程求解需降次，根式方程求
解需要通过平方去掉根号。

解：由题意可知 1>x
原式即x
x x x 1
11--=- 平方，整理得0
1)1(2
)1(=+---x x x x
配方得0]1)1([2
=--x x 开方01)1(=--x x
移项1)1(=-x x
再平方1)1(=-x x
整理012
=--x x 解之，得251±
=x 取不小于1的根，得251+
=x 经检验，251+
=x 是原方程的解。

点评：无论是高次方程还是根式方程，我们看到主要的解题策略都是通过适当的转化手段，变成我们常见的一元一次方程或者一元二次方程来求解。

（答题时间：45分钟）
1. 若方程3x 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为__________。

2. 已知：关于x 的方程2x 2＋2（a －c ）x ＋（a －b ）2＋（b －c ）2＝0有两相等实数根．
求证：a ＋c ＝2b ．（a ，b ，c 是实数）
3. 解方程：(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-
4. 解方程：82)1()3(44=+++x x
5. 已知二次方程23(25)310x a x a ----=有一个根为2，求另一个根，并确定a 的值．
6. 设a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与22
2x cx b +-有一次公因式，求证：ABC ∆一定是直角三角形．
1. )3)(1(3+-x x
2. 证明：
∵一元二次方程有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即[2（a －c ）]2－4×2·[（a －b ）2＋（b －c ）2]＝0
（a －c ）2－2（a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2）＝0
a 2＋4
b 2＋
c 2＋2ac －4ab －4bc ＝0
（a ＋c ）2－4b （a ＋c ）＋4b 2＝0
（a ＋c －2b ）2＝0
∴a ＋c －2b ＝0 即a ＋c ＝2b ．
3. 解：0)1)(14()1)(13(=-+---x x x x
(1)[(31)(41)]0x x x ---+= (1)(2)0x x -+= 所以11x =,2
2x =-
4. 解：设 22)1()3(+=+++=x x x y ，
于是原方程变为
82)1()1(44=-++y y ，
整理得
040624=-+y y 解这个方程，得2±=y ，即
22±=+x 解得原方程的根为41-=x ，02=x 。

5. 解：由方程根的定义知，当2x =时方程成立，所以
2
32(25)2310a a ⨯--⨯--=
故3a =．原方程为23100x x --=，即(2)(35)0x x -+=， 所以另一个根为53x =-。

6. 证明：因为题目中的两个二次三项式有一个公因式，所以二次方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=必有公共根，设公共根为0x ，则
220020x ax b ++=， ①
220020x cx b +-=。

②
两式相加得
20022()0x a c x ++=，
00[()]0x x a c ++= 若00x =，代入①式得0b =，这与b 为ABC ∆的边不符，所以公共根0()x a c =-+。

把0()x a c =-+代入①式得22()2()0a c a a c b +-++=， 整理得222a b c =+
所以ABC ∆一定是直角三角形．。