平行线的性质(分层作业)【解析版】

5.3.1平行线的性质分层作业基础训练1．如图，直线a b ∥，直线l 与a ，b 分别交于点A ，B ，过点A 作AC b 于点C ，若160 ，则2 的度数为（）
A ．120°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
【答案】D 【分析】根据垂直的定义可得90ACB ，再根据平行线的性质可得160ABC ，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵AC b 于点C ，
∴90ACB ，
∵a b ∥，
∴160ABC ，
∴2906030 ．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键．
2．如图，直尺一边BC 与量角器的零刻度线AD 平行，已知EOD 的读数为65 ，设OE 与BC 交于点F ，则BFE 的度数等于()
A ．135
B ．115
C ．105
D ．100
【答案】B 【分析】本题考查平行线性质和邻补角定义，根据平行线性质结合EOD ，推出BFO ，再结合邻补角即可解题．
【详解】解：如图，
BC AD ∵ ，
65BFO EOD ，
180115BFE BFO ．
故选：B ．
3．如图，将木条,a b 与c 钉在一起，且木条a 与木条c 交于点,180,260O ．要使木条a 与b 平行，则木条a 绕点O 顺时针旋转的度数至少为（）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．50
【答案】B
【详解】如图．
因为当260AOC 时，OA b ∥，
所以要使木条a 与b 平行，木条a 绕点O 顺时针旋转的度数至少为806020 ．
4．如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）
A ．∵AD BC ∥，180BAD D （两直线平行，同旁内角互补）
B ．∥∵AB CD ，180BCD AB
C （两直线平行，同旁内角互补）
C ．13 ∵，AB C
D ∥（内错角相等，两直线平行）
D ．DAM CBM ∵，AD BC ∥（同位角相等，两直线平行）
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，利用平行线的判定方法与性质逐一分析即可得到答案，熟记平行线的判定方法与平行线的性质是解本题的关键．
【详解】解：∵AD BC ∥，180BAD ABC （两直线平行，同旁内角互补），故A 符合题意；
∥∵AB CD ，180BCD ABC （两直线平行，同旁内角互补）
，故B 不符合题意；13 ∵，AB CD ∥（内错角相等，两直线平行），故C 不符合题意；
DAM CBM ∵，AD BC ∥（同位角相等，两直线平行）
，故D 不符合题意；故选A
5．如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线a 与出射光线b 平行．若入射光线a 与镜面AB 的夹角145 ，则4 的度数为（）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
【答案】B 【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．由题意知，21 ，3=4 ，由AB CD ，可得32 ，进而可求4 ．
【详解】解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即21 ，3=4 ，∵AB CD ，
∴3245 ，
∴445 ，
故选：B ．
6．
如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ，PM l 于点P ，若155 ，则2 的度数为（）
A ．35
B ．55
C ．125
D ．145
【答案】A
【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．
【详解】如图，∵a b ，155 ，
∴3155 ，
∵34180,4920 ，
∴180
35243 ，故选A ．
7．如图，,,ABF BFE E F 为直线CD 上两点，且BF 平分ABE ．若1108 ，则2 的度数为（）
A ．36
B ．54
C ．72
D ．80
【答案】A
【解析】略8．一块直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若155 ，则2 的度数是．
【答案】35°
【解析】略
9．如图，一艘船在海面上航行，到达B 处时，看到灯塔A 在它的北偏东45 方向，达到C 处时，看到灯塔A 在它的北偏西30 方向．则BAC ．
【答案】75 /75度
【分析】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．过A 作AD BE ，则AD CF ∥，由方向角的定义得到4530ABE ACF ，，然后由平行线的性质可得答案．
【详解】解：过A 作AD BE ，则AD CF ∥，
由题意得：4530ABE ACF ，，
∵AD BE ，AD CF ∥，
∴4530BAD ABE CAD ACF ，，
∴75BAC BAD CAD ，
故答案为：75 ．
10．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若131ADE ，则DBC 的度数为．
【答案】49 /49度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．先根据邻补角的性质求得ADF 的度数，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵131ADE ，
∴49ADF ，
∵AD BC ∥，
∴49DBC ADF ．
故答案为：49 ．
11．生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则ABC BCD °．
【答案】270
【分析】过点B 作BF AE ，如图，由于CD AE ∥，则BF CD ∥，根据两直线平行，同旁内角互补得180BCD CBF ，由AB AE 得AB BF ，即90ABF ，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B 作BF AE ，如图，
∵CD AE ∥，
∴BF CD ∥，
∴180BCD CBF ，
∵AB AE ，
∴AB BF ，
∴90ABF ，
90180270ABC BCD ABF CBF BCD ．
故答案为：270．
12．如图，直线12l l ∥，AB 交1l 于点D ，BC 交2l 于点E ，若132 ，2120 ，则3 度．
【答案】92
【分析】本题考查了平行线的性质，过点B 作1BF l ∥，得出22188DBF FBE ，进而318092DBF 根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点B 作1BF l ∥，则3180DBF ，
∵12l l ∥，
∴2BF l ∥，
∴1FBE ，
∴22188DBF FBE ，
∴318092DBF ，
故答案为：92．
13．如图，已知AB CD ∥，100ABE ，40BEC ，则ECD 的度数为．
【答案】120 /120度
【分析】此题考查了平行线的判定和性质．过E 作EF AB ∥，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：过E 作EF AB ∥，
∵AB CD ∥，
∴AB CD EF ∥∥，
B BEF ，180
C CEF ，
100ABE ∵，
100BEF ，
40BEC ∵，
1004060CEF BEF BEC ，
180120C CEF ，
故答案为：120 ．
14．一副三角板按如图所示方式叠放，两三角板的斜边互相平行，则∠ 等于．
【答案】105 /105度
【分析】本题考查三角板中角度的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【详解】过点E 作EF AD ，
如图，由题可知45A ，60C ，
又∵两三角板的斜边互相平行，BC AD
∴EF AD BC ，
∴45AEF A ，45CEF C
∴6045105AEF CEF C A ，
度答案为：105 ．
15．如图，点F 在AC 上，FG AB 于点G ，FB 与CD 相交于点H ，且180BHC GFB ．
(1)求证：CD AB ．在下列解答中，填空：
证明：∵180BHC GFB （已知）
___①___（对顶角相等）
∴___②___180GFB （等量代换）
∴CD FG ∥（③）
∴AGF ___④___（两直线平行，同位角相等）
又∵FG AB （已知）
∴90AGF （垂直的定义．）
∴ADC ___⑤___（等量代换）
∴CD AB （垂直的定义）
(2)若CD 平分ACB ，且40ACB ，求AFG 的度数．
【答案】(1)BHC DHF ；DHF ；同旁内角互补，两直线平行；ADC ；90
(2)20
【分析】（1）证明180DHF GFB 得CD FG ∥，从而AGF ADC ，然后再证明90ADC 即可；（2）由角平分线的定义得20ACD ，然后利用平行线的性质可求出AFG 的度数．
【详解】（1）证明：∵180BHC GFB （已知）
BHC DHF （对顶角相等）
∴180DHF GFB （等量代换）
∴CD FG ∥（同旁内角互补，两直线平行）
∴AGF ADC （两直线平行，同位角相等）
又∵FG AB （已知）
∴90AGF （垂直的定义．）
∴90ADC （等量代换）
∴CD AB （垂直的定义）
故答案为：BHC DHF ；DHF ；同旁内角互补，两直线平行；ADC ；90 ；
（2）∵CD 平分ACB ，且40ACB ，
∴1202
ACD ACB ．∵CD FG ∥，
∴20AFG ACD
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
16．如图所示，有两艘油轮在海面上，油轮N 在油轮M 的正东方向，并且在M 、N 两处分别测得小岛P 在北偏东65 和北偏西45 的方向，那么在P 处测得M 、N 的张角MPN 的度数为多少？
【答案】110
【分析】本题考查了方位角的计算，平行线的性质与判定；过点P 作PC AM ∥于点C ，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点P 作PC AM ∥于点C ，
∵AM BN ∥，
PC BN ∥，
AMP MPC ，BNP NPC ，
65AMP ∵，45BNP ，
65MPC AMP ，45NPC BNP ，
110MPN MPC NPC ．
17．如图，CD AB 于D ，点F 是BC 上任意一点，FE AB 于E ，且12 ，=60B ．试求ADG 的度数．
【答案】60
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．由,CD AB FE AB ，则CD EF ∥，则2BCD ，从而证得BC DG ，即可得到B ADG ．
【详解】解：CD AB FE AB ∵，，
,
CD EF ∥24,
又12,
∵14,
,
BC DG ∥60.
ADG B 能力提升
18．如图，123l l l ∥∥，则下列各式中，正确的是（）
A.312
B ．23190
C ．123180
D ．231180
【答案】C
【解析】略19．如图所示，,CD AB OE ∥平分,60AOD D ，80EOF ，则BOF 为（）
A ．35
B ．40
C ．25
D ．20
【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系．由平行线的性质和角平分线的定义求得120,60AOD AOE ，即可求出BOF 的度数．
【详解】解：∵CD AB ∥，
∴180AOD D ，
∵60D ，
∴180********AOD D ，
∵OE 平分AOD ，
∴60AOE AOD ，
∵80EOF ，
∴180180608040BOF AOE EOF ．
故选：B ．
20．如图，AB ∥CD ，F 为AB 上一点，FD ∥EH ，且FE 平分AFG ，过点F 作FG EH 于点G ，且2AFG D ，则下列结论：
①40D ；
②290D EHC ；
③FD 平分HFB ；
④FH 平分GFD ．
其中正确结论的个数是（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG ，交CH 于I ，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答．
【详解】解：延长FG ，交CH 于I ．
∥∵AB CD ，
BFD D ，AFI FIH ，
FD EH ∵∥，
EHC D ，
FE ∵平分AFG ，
22FIH AFE EHC ，
390EHC ，
30EHC ，
30D ，
22303090D EHC ，
40D ①错误；290D EHC ②正确，
FE ∵平分AFG ，
30260AFI ，
30BFD ∵，
90GFD ，
90GFH HFD ，
可见，HFD 的值未必为30 ，GFH 未必为45 ，只要和为90 即可，
FD ③平分HFB ，FH ④平分GFD 不一定正确．
故选：A ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．
21．已知直线m n ∥，将一块含30 角的直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，使A ，B 两点分别落在直线m ，n 上．若165 ，则2 的度数是．
【答案】35 /35度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的属性，根据题意，得到123 ，代入计算即可．
【详解】如图，∵m n ∥，
∴123 ，
∵165 ，330 ，
∴21335 ，
故答案为：35 ．
22．如图，ABCD 为一长条形纸带，AD CB ∥，将ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点分别与C D 、对应，
若122 ，则AEF 的度数为．
【答案】108 /108度
【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意122 ，设2x ，则12DEF FED x ¢Ð=Ð=Ð=，构建方程即可解决问题．
【详解】解：由翻折的性质可知：DEF FED ，
∵AD CB ∥，
1DEF ，
∵122 ，
∴设2x ，则12DEF FED x ¢Ð=Ð=Ð=，
2180DEF D EF ∵，
5180x ，
36x ，
223108AEF D EF x x x ¢\Ð=Ð+Ð=+==°，
故答案为：108 ．
23．已知直线MN PQ ∥，现将一副直角三角板作如图摆放，且60,45CAB DEF ．下列结论：①AB DF ∥；②150ACE ；③65MAC ；④NAB DFE ，其中正确结论的序号为．
【答案】①②④
【分析】本题考查平行线的判断和性质，三角板中角度的计算．内错角相等，两直线平行，判断①，邻补角求出ACE 的度数，判断②，过点B 作BG MN ∥，利用平行线的判定和性质，判断③和④．掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：90,90ABC EDF ，
∴90FDB ABC ，
∴AB DF ∥，故①正确；
∵60,45CAB DEF ，
∴30ACB ，45DFE ，
∴180150ACE ACB ；故②正确；
过点B 作BG MN ∥，
∵MN PQ ∥，
∴BG MN PQ ∥∥，
∴45GBE DEF ，
∴45NAB ABG ABC GBE ，
∴45NAB DFE ，180135MAB ABG ，
∴13575MAC BAC ；
故③错误，④正确；
故答案为：①②④．
24．如图，已知点E 、F 在直线AB 上，点N 在线段CD 上，ED 与FN 交于点M ，C 1 ，23 ，
(1)求证：AB CD ；
(2)若40D ，80EMF ，求AEP 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质：
（1）根据23 ，可得CP FN ∥，从而得到C FND ，继而得到1FND ，即可求证；（2）根据CP FN ∥，可得280EMF ，再由AB CD ，可得40FED D ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵23 ，
∴CP FN ∥，
∴C FND ，
又∵C 1 ，
∴1FND ，
∴AB CD ；
（2）解：∵CP FN ∥，
∴280EMF ，
又∵AB CD ，
∴40FED D ，
∴28040120AEP FED ．
拔高拓展
25．在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB ，CD 和一块含60 角的直角三角尺EFG （90EFG ，60EGF ）”为主题开展数学活动．
(1)如图①，若直角三角尺的60 角的顶点G 放在CD 上，21 ，求1 的度数；
(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E ，G 分别放在AB 和CD 上，
请你探索并说明AEF 与FGC 之间的数量关系；
(3)如图③，
小亮把直角三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30 角的顶点E 放在AB 上．若AEG ，CFG ，则AEG 与CFG 的数量关系是什么（用含 ， 的式子表示）？请说明理由．
【答案】(1)160
(2)90AEF FGC ，理由见解析
(3)300 ．理由见解析
【详解】解：（1）因为AB CD ∥，
所以1EGD ．
因为2180EGF EGD ，21 ，
所以1601180 ，解得160 ．
（2）如图，过点F 作∥FP AB ．
因为CD AB ∥，
所以FP AB CD ∥∥，
所以AEF EFP ，FGC GFP ，
所以AEF FGC EFP GFP EFG ．
因为90EFG ，
所以90AEF FGC ．
（3）300 ．理由如下：
因为AB CD ∥，
所以180AEF CFE ，
即30930900180AEG CFG ，整理可得180120300 ．。