应力和应变分析、强度理论

0 15.5 ,
代入 表达式可知
0 15.5 90 105.5
主应力 1 方向： 0 15.5 主应力析法
（3）主应力单元体：
y xy
x
3 1
15.5
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
纯剪切应力状态
tg 20
2 xy x y
z
zx zy
x
1 E
[ x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x )]
x
xz yz
xy
yx
y
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
目录
7-11 四种常用强度理论
杆件基本变形下的强度条件
（拉压）
max
FN ,max A
[
]
（弯曲）
max
Mmax W
[ ]
0
即α＝α0 时，切应力为零
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
tan 2 0
2 xy x
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别
为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
max
x
2
y
1 2
x y
2
4
2 xy
min
x
y
2
1 2
x y
2
4
2 xy
x
x
D/
(y ,yx)
H ( a , a )
2 D (x ,xy)
c
x y
2
目录
7-4 二向应力状态分析-图解法
3.应力圆的应用：
1）确定主应力和主方向：
max min
x
y
2
x
2
y
2
xy2
tan 2 0
2 xy x
y
2）确定最大切应力：
max
(
x
2
y
)2
2 xy
目录
7-5 三向应力状态
断裂条件
1 E
[
1
(
2
3
)]
b
E
即
1 ( 2 3) b
强度条件
1
( 2
3)
b
n
[ ]
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论
更接近实际情况。
目录
7-11 四种常用强度理论
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。
2）纯剪切胡克定律
G
x
x
目录
7-8 广义胡克定律
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
3
1
3
1 =
(1 ) + ( 2 ) + ( 3 )
E
E
E
1
1 E
1
2
3
目录
7-8 广义胡克定律
2
1
1 E
1
2
3
1
2
1 E
2
3
1
3
3
1 E
3
1
2
目录
7-8 广义胡克定律
3、广义胡克定律的一般形式
v
0 sf
sf －构件危险点的形状改变比能
0 sf
－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得
目录
7-11 四种常用强度理论
形状改变比能理论（第四强度理论） 屈服条件 强度条件
实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
目录
7-11 四种常用强度理论
强度理论的统一表达式： r [ ]
定义
2
1
3
三个主应力都不为零的应力状态
目录
7-5 三向应力状态
2
1
0 3
2
3
由三向应力圆可以看出：
max
1 3
2
结论： 1 代表单元体任意斜
截面上应力的点，
必定在三个应力圆
圆周上或圆内。
目录
7-8 广义胡克定律
1. 基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
y
x E x
横向变形
y
x
x
E
（弯曲）
max
Fs
S
* z
bI z
[ ]
（扭转）
max
T Wp
[ ]
（正应力强度条件）
max [ ]
（切应力强度条件）
max [ ]
目录
7-11 四种常用强度理论
max max
满足
max [ ] max [ ]
是否强度就没有问题了？
目录
7-11 四种常用强度理论
强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概
第七章
应力和应变分析 强度理论
第七章 应力和应变分析 强度理论
7-1 应力状态的概念 7-3 二向应力状态分析-解析法 7-4 二向应力状态分析-图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-11 四种常用强度理论
7—1 应力状态的概念
问题的提出
铸铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
(
x
y )2
2
2
( x
y )2 2 xy
2
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
目录
7-4 二向应力状态分析-图解法
1.应力圆：
(
x
y
)2
2
2
(
x
y
)2
2 xy
2
R
(
x
y
)2
2 xy
R
2
C
x y
2
目录
7-4 二向应力状态分析-图解法
2.应力圆的画法
y y yx
D xy
A x
都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破 坏拉应力数值。
1 0 1 －构件危险点的最大拉应力 0－极限拉应力，由单拉实验测得 0 b
目录
7-11 四种常用强度理论
最大拉应力理论（第一强度理论）
断裂条件 强度条件
1 b
1
b
n
铸铁拉伸
铸铁扭转
目录
7-11 四种常用强度理论
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）
确定正应力极值
1 2
(
x
y)
1 2
( x
y ) cos2
xy sin 2
d d
( x y ) sin 2 2 xy cos2
设α＝α0 时，上式值为零，即
( x y ) sin 20 2 xy cos 20 0
2(
σx
σy 2
)s
i
n
2
α0 τx
yc
o
s
2
α0
2τα0
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos2
xy
sin 2
1 2
(
x
y ) sin 2
xy
目录
7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
目录
7—1 应力状态的概念
横力弯曲
FN Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应
力各不相同，此即应力的点的概念。
7—1 应力状态的概念
直杆拉伸
k
F
k
F
k p
k
{ p cos cos2
0 45 或 135
3
max min
x
y
2
x
y
2
2
xy2
xy
max 1 xy min 3 xy
45
1
此现象称为纯剪切
7-4 二向应力状态分析-图解法
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos2
xy sin 2
1 2
(
x
y ) sin 2
xy cos2
塑性变形或断裂的事实。( max 0)
局限性：
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。
目录
7-11 四种常用强度理论
4. 形状改变比能理论（第四强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是
由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。
vsf
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
2 3
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
称为主应力，分别用 1, 2 , 3 表示，并且 1 2 3
该单元体称为主应力单元体。
目录
7—1 应力状态的概念
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 （2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零 （3）空间应力状态：三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
2
y
(
x
y
)
2
2
xy
2
68.3MPa
x
m in
x
2
y
(
x
y
)2
2
xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
y xy
主平面的方位：
tg20
2 xy x
y
x
60 0.6 60 40
x D/
(y ,yx)
R
(
x
y
)2
2 xy
2
R
D (x ,xy)
c
x y
2
目录
7-4 二向应力状态分析-图解法
3、几种对应关系
点转转截面向角面对一成上应致 双的———正应既外应力有法力圆转线和上向转切某问过应一题力点，的角又坐，有标应转值力角对圆加应转倍着过的微2问元题某角。一。
y
y
n
yx
H
xy
max 0
max －构件危险点的最大切应力 max (1 3) / 2
0 －极限切应力，由单向拉伸实验测得
0 s /2
目录
7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论（第三强度理论）
屈服条件 强度条件
1
3
s
ns
低碳钢拉伸
低碳钢扭转
目录
7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论（第三强度理论） 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
x αa
n
a
xy
dA
dA xy(dAcos )sin x (dAcos ) cos yx
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性 变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面 上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。
关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论
目录
7-11 四种常用强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
x
9.02MPa
x
y
2
sin
2
xy
cos
2
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa , 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y xy
x
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破 坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定 范围与实际相符合，上升为理论。
为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
目录
7-11 四种常用强度理论
构件由于强度不足将引发两种失效形式
(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂， 断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上， 如铸铁受拉、扭，低温脆断等。
F
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
7—1 应力状态的概念
l
y
S平面
SF
a
1
T
4
z
x
2
T
Fa
M
Fl
1
T
Wt
σ
Mz Wz
3 Mz 3
T
Wt
σ
M W
z z
目录
7—1 应力状态的概念
x x
z
相当应力
r ,1 1 [ ] r,2 1 ( 2 3 ) [ ]
r,3 1 3 [ ]
目录
7-11 四种常用强度理论
例题
r3 1 3
已知： 和。试写出最大切应力 准则和形状改变比能准则的表达式。
解：首先确定主应力
{1
2
1 2
2 4 2
2 0
cos2
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α n x
a a
xy
x
t yx y
正应力：拉为正；压为负
切应力：使微元体顺时针方 向转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。