【小初高学习]2018年高考数学一轮复习 专题21 简单的三角恒等变换教学案 文

专题21 简单的三角恒等变换

1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2

α2

； 1－cos α＝2sin

2

α2

； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2

；

1－sin α＝(sin α2－cos α2)2

.

(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos α

sin α.

2．辅助角公式

a sin x ＋

b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，

其中sin φ＝

b a 2＋b

2

，cos φ＝a a 2＋b 2

.

高频考点一 三角函数式的化简与求值

例1、(1)化简：2cos 4x －2cos 2

x ＋

12

2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭

⎪

⎫π

4＋x ＝________.

(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2

α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝

______________________________________________________________.

答案 (1)12cos2x (2)26

8

解析 (1)原式＝

1

2

4

x －

4cos 2x ＋

2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪

⎫π4－

x

又sin 2

α＋cos 2

α＝1， ∴cos α＝

213

，sin α＝

313，

∴sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1

＝

2

2α＋cos α

α＋cos α

2

＋

2

α－sin 2

α

＝

268

. 【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－

23π9等于( )

A ．－1

8

B ．－116

C.116

D.18

(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )

A.5

4

B ．－54

C.43

D ．－4

3

答案 (1)A (2)D

解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos(－3π＋4

9π)

＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sin

π

9

sin

π9

＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsin

π9

＝－18sin 89πsin

π9

＝－18

.

(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2

α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，

∴tan α＝2，∴tan2α＝

2tan α1－tan 2

α＝41－4＝－4

3

. 高频考点二 三角函数的求角问题 例2、(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010

，则α＋β等于( ) A.3π4

B.

π4或3π4

C.π

4 D ．2k π＋π

4

(k ∈Z )

(2)已知方程x 2

＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，

则α＋β等于( ) A.π8 B ．－3π

4

C.π8或－3π8

D.

π4或－3π4

答案 (1)C (2)B

【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．

(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆

可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．

【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π

12

B.π

3

C.π4

D.

π6

(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π

3 C.π6

D.π4

答案 (1)C (2)A

解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π

2.

又sin(α－β)＝－

1010，∴cos(α－β)＝310

10

. 又sin α＝

55，∴cos α＝255

， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝

55×31010－255×(－1010)＝22

. ∴β＝π4

.

(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B

1－tan A tan B ＝－3，

又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π

3.

高频考点三 三角恒等变换的应用

例3、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2.

(1)当a ＝2，θ＝π

4

时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；

(2)若f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．