绵阳南山2017年高中自主招生数学真卷

A
D
C
B
绵阳南山中学2017年高中自主招生数学真卷
(考试时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分）
1、如图是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了“南山自主测评”六个汉字中的一个汉字，则与标注汉字“南”相对的面所标注的汉字是 ( )
A.山
B.主
C.测
D.评 2、下列四个图形中，∠2＞∠1的是 ( ）
A. B. C. D.
3、南山中学博喻图书馆藏书籍(不含杂志期刊、报纸)约17万册，用科学记数法表示出17万是 （ ）
A.4107.1⨯
B.5107.1⨯
C.6107.1⨯
D.7107.1⨯ 4、已知()03212
=-+-++c b a ，则c a b +＝ ( )
A.1
B.2
C.4
D.5
5、如图，在四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝4，CD ＝8，连接BD ，若∠BAD ＝∠CDB ，BD ＝6，则BC ＝ ( ) A.9 B.11 C.12 D.16
6、如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB ⊥BC ，AB 的延长线与DC 的延长线相交于点E ，BC 的延长线与AD 的延长线相交于点F ，若BC ＝3，EB ＝4，则cos ∠AFB ＝ ( )
A.53
B.34
C.
4
3
D.54
E
B
A
C
F D
7、一个多边形的内角和与它的一个外角的和为99°，那么此多边形的边数为 ( ）
A.6
B.7
C.8
D.9 8、在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有 ( )
左视图 主视图 俯视图
A.9箱
B.10箱
C.11箱
D.12箱 9、普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的 ( )倍.
A.2
B.2.5
C.3
D.4 10、若A(a ，b)、B(a-3，c)两点均在函数x
y 1
=的图象上，且a ＜0，则b 与c 的大小关系为 ( )
A.b=c
B.b>c
C.b<c
D.无法判断大小 11、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相
等底角的度数大小是 （ ）
A.54°
B.63°
C.27°
D.54°或63° 12、如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在圆周上，∠AMN ＝30°，B 为弧AN
的中点，P 是直径MN 上一动点，则△PAB 的周长的最小值为 ( )
A.
226+ B.221
+ C.223+ D.2
2
6-
二、填空题(本大題共6小题，每小题4分)
13、等腰三角形其中两条边的边长分別是一元二次方程01072=+-x x 的两个实
数根，则这个等腰三角形的周长是 .
14、小明借助谐音用数字戏说爸爸舅舅喝酒:81979，87629，97829，8806，9905，
98819，54949.(大意是:爸邀舅吃酒，爸吃六两酒，舅吃八两酒，爸爸动怒，舅舅动武，舅把爸衣揪，误事就是酒)，请问这组数据中数字9出现的频率是 .(填最简分数)
15、如图，半圆的直径AB ＝12，P 为AB 上一点，点C 、D 为半圆弧AB 的两个三
等分点，则阴影部分的面积等于 .(用含π的式子表示)
16、甲同学在南山中学折桂楼六楼汽车模拟驾驶室15台电脑模拟驾驶器中的某
台模拟驾驶，去时行驶速度为40km/h ，而在经原路返回时，由于驾驶熟练程度提高，返回行驶速度为60km/h ，则甲同学这次模拟驾驶往返途中的平均速度是 km/h.
17、计算：90
1
72156142130120112161+++++++= .
18、甲、乙、丙三人相约进行一场田径比赛，在赛前约定三人都必须参加相同项
目的比赛并决出第一、二、三名(没有同名次)，每项比赛第一、二、三名的得分依次记为5、2、1分，谁累计得分最多，谁就是优胜，比赛一开始，甲获得了铅球第一名，但谁也不甘示弱，三个人你追我赶，100米、跳高、……比赛在热烈的气氛中一项接着一项进行下去，最后，乙经过强的努力获得了优胜，累计得分22分，而甲和丙都各得9分.下列四个结论: ①获得铅球第二名的是乙；
②甲获得第三名的次数与丙获得第二名的次数一样多; ③甲获得第一名1次，第二名1次，第三名2次; ④获得100米第二名的是甲.
其中正确结论的序号是 .(填所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共7小题，共90分)
19、(本题满分16分，共2小题，每小题8分)
（1）计算:()()2321330tan 120
2
2
---+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⨯︒-+--π
（2）设方程012=-+x x 的一个正实数根为a ，求a a a 3223-+的值.
20、(本题满分12分)阳光高考信息平台公示:数、理、化、生、信息五大学
科奥赛2015年四川省共有12人获得金牌并入围国家集训队，其中南山中学与成都七中均以4人上榜并列全省第一，另外4人出自绵阳中学等三所学校.南山中学的4名同学李诗懿(女)、李同良、陈宇、余欣健(1女3男)在比赛现场就被清华大学抢先录取.
南山中学在本学期期末考试前计划在李诗懿(女)、李同良、陈宇、余欣健4名金牌得主中随机邀请2名同学先后给学弟学妹作经验交流发言，为学弟学妹备考加油鼓劲.
本题为方便书写解答，4名金牌同学分别用甲(女)、乙、丙、丁表示，比如李同良先发言；李诗懿(女)后发言记作乙甲(女);李诗懿(女)先发言，余欣健后发言记作甲(女)丁. 利用表格或树状图解答:
(1)邀请2名同学先后发言，有几种可能?请用甲(女)、乙、丙、丁一一
列举出来.
(2)邀请2名同学先后发言，其中必有一名发言人是甲(女)的概率是多少?
21、(本题满分12分)如图，在Rt△ABC中，AC⊥CB，以点A为圆心，AC为半
径的圆交AB于点D，CE⊥AB交AB于点E，∠CAB的角平分线AG交CE于点F、交CB于点G，连接FD、DC.
(1)证明:CF＝CG.
(2)证明:四边形CFDG是菱形.
22、(本题满分12分)南山中学成功夺得2016年全国青少年信息学NOI奥林匹克
比赛举办权、2016年第四届全国中学生健美操锦标赛举办权、比赛组委会准备赛后组织全国来南山中学参赛的300名参赛学生及110名领队老师去北川地震博物馆参观负责300名参赛学生的领队老师共有110人，组委会计划租用A、B两种不同型号的大巴车共11辆接送使用.已知每辆A型号大巴车至多可以坐领队10人与学生30人，每辆B型号大巴车至多可以坐领队20人与学生15人.
(1)假设租用A型号大巴车x辆，请你设计出比赛组委会所有可能的租车方
案.
(2)如果租用每辆A型号大巴车的租费是1500元，租用每辆B型号大巴车的
租费是1200元，请你帮助比赛组委会选出最省钱的租车方案.
A
H C
B
O
D
D
A
B
F
C P
E
23、(本题满分12分)如图，正方形ABCD 的边长为6，截去一角成五边形ABFED ，
其中EC ＝3，CF ＝
2
3
，动点P 在线段EF(包含端点E 、F)上移动.以AP 为对角线的矩形是矩形AHPC.
(1)设PG ＝x ，矩形AHPG 的面积为y ，求出y 与x 之间的函数关系式，并写
出自变量x 的取值范围.
(2)当动点P 移动至何处时，矩形AHPG 的面积最大?并求出最大面积.
24、(本题满分12分)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是与AB 垂直的非直径的弦，
AB 与CD 相交于点H. (1)证明:HB AH CH ⋅=2.
(2)若直径AB 的长度是一个两位整数，把它的个、十位互换后正好等于弦CD 的长度，若OH 的长度是一个有理数，求线段OH 的长度以及直径AB 的长度.
25、(本题满分14分)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝8，BC＝16，
CD＝24.现有两动点E、F分别从C、A两点同时出发，点E以每秒3个单位的速度沿线段CD向终点D移动，点F以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B移动，线段AC、EF相交于点G，过点G作GH∥CD，交AD于点∥H，射线FH交CD的延长线于点P.设动点E、F移动的时间为t(单位:秒).
（1）当t为何值时，四边形ADEF为平行四边形?请写出解答过程.
（2）当0＜t＜8时，△EFP的面积是否总为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
（3）当t为何值时，△EFP为等腰三角形?请写出解答过程.
答案
一、选择题
1、A
2、B
3、B
4、C
5、C
6、D
7、B
8、A
9、A 10、C 11、D 12、A
二、填空题
13、12 14、31 15、π6 16、48 17、5
2
18、①②
三、解答题
19、（1）232- （2）-1 20、（1）根据题意列表如下： 一共有12种可能。

（2）P=
2
21、（1）略 （2）略
22、（1）有三种租车方案：①租A 型车9辆，B 型车2辆. ②租A 型车10辆，B 型车1辆. ③租A 型车11辆.
（2）租A 型车9辆，B 型车2辆最省钱，租车费用为15900元.
23、（1）x x y 2
15
212+-=（63≤≤x ）
（2）当P 运动到点F 时，矩形AHPG 的面积最大，最大面积为27. 24、（1）略 （2）AB=65,OH=
2
33
25、（1）t=6 (2)是定值，192=∆EFP S (3)252+=t 或452-=t。