【高斯数学思维训练】第01讲 分数数列计算.吴昊.初稿

新概念数学思维训练导引详解
第1讲：分数数列计算
兴趣篇
1. 计算：
++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111223344556677889910。

【分析】
11111111()()()....()122334910
11111111()()....()223399101110
910
=-+-+-++-=+-+-++--=-= 2. 计算：
++++⨯⨯⨯⨯22221335579799L 。

【分析】
11111111()()()....()1335579799
11111111()()....()33559797991199
9899
=-+-+-++-=+-+-++--=-= 3. 1111 (24466898100)
++++⨯⨯⨯⨯ 【分析】
[()()()....()]224466898100
111111111[()()....()]2244669898100111()22100
49200
=⨯-+-+-++-=⨯+-+-++--=⨯-= 4. 11111111612203042567290
+++++++ 【分析】
1111111123344556677889910
11111111()()()....()233445910
11111111()()....()233449910
11210
25=
+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-+-+-++-=+-+-++--=-= 5. 11111 (428701309700)
+++++ 【分析】
11111 (1447710101397100)
111111111[()()()....()]3144771097100
11111111[1()()....()]344779797100
11(1)3100
33100=
+++++⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-+-+-++-=⨯+-+-++--=⨯-= 6. 5667788991056677889910
+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】
()()()()()56677889910
1111111111()()()()5667788991011510
310
=+-+++-+++=+---+---+=+= 7.原式=12233445566778899101223344556677889910
+++++++++-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】 111111111(1)()().....()()2233489910
1111111111()()....()()22338899101110
1110
=+-+++--+++=+---++---+=+= 8. 2222 (1232343459899100)
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】 11111111()()()....()122323343445989999100
11111111()()....()12232334349899989999100111299100
49499900
=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+-+-++--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯= 9. 151119219239 (261220210240)
++++++ 【分析】
11111(1)(1)(1)....(1)(1)2612210240
1111115(....)2612210240
115(1)16
151516
11416
=-+-+-++-+-=-++++=--=-= 10. 111111(1)(1)(1)(1)....(1)(1)223399
-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+ 【分析】
1324359810 (223344899)
11029
59
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 拓展篇
1、计算：
++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111122334455620072008L 。

【分析】
11111111()()()....()12233420072008
11111111()()....()2233200720072008112008
20072008
=-+-+-++-=+-+-++--=-=
2、计算：
+++++⨯⨯⨯⨯⨯333332558811111498101
L 。

【分析】
11111111()()()....()255881198101
11111111()()....()255889898101112101
99202
=-+-+-++-=+-+-++--=-=
3、计算：
-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯4812162024133557799111113。

【分析】 111111111111()()()()()()133557799111113
111111111111()()()()()335577991111131113
1213
=+-+++-+++-+=+---+---+--=-=
4、计算：（1）++++++++11111111113579111315172612203042567290。

（2）
+--++--++++--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯46810121416182076788082132435465768798109113739384039414042
L 【分析】 （1）111111111(135....17)()2612203042567290
=+++++++++++++原式 199(1)1098110=⨯+-
=
（2）
133537393941244638404042(....)(....)133537393941244638404042
++++++++=-++-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式
1111111111111111[()()....()()][()()....()()]133537393941244638404042111141242
3891861
=+-++++-+++-++++-+=+++=
5、计算：()()()+
+⨯++⨯++23111212123()()+++++⨯+++41231234L ()()
+++⨯++++1012912910L L 【分析】 111111(1)()....()121212312....912. (10)
11(1)12 (10)
54155=+-
+-++-++++++++++=+-+++=
6、计算：++++++3112339759839261220380420
L 。

【分析】11111(2)(2)(2)....(2)(2)12233419202021
=-+-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯原式 11111220(....)12123419202021
1140()121204021
13921
=⨯-++++⨯⨯⨯⨯⨯=--=-= 7、计算：
⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯2356899899144771097100
L 。

【分析】 2222(1)(1)(1)....(1)144771097100
1111322(....)14477109710011322(1)3100
333250=+
+++++++⨯⨯⨯⨯=+⨯++++⨯⨯⨯⨯=+⨯-=
8、计算：++++++++++++++11111224246246824620
L L 。

【分析】.
1111....1223341011=
++++⨯⨯⨯⨯原式 111110
11=-
=
9、计算：
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111123234345484950
L 。

【分析】 111111111[()()()....()]212232334344548494950
111111111[()()....()]21223233434484948494950111()2124950
3061225
=⨯-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+-+-++--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯⨯=
10、计算：++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯456111232343458910
L 。

【分析】131415110 (1232343458910)
++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式 11111111()()()....()123122342334534891089
11111111(....)(....)123234345891012233489
1111()(1)2129109
118459
1715
=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-+-⨯⨯=+=
11、计算：⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2221111112399L 。

【分析】132******** (2233449999)
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式 123344 (989899100)
223344 (98989999)
100299
5099⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=
12、计算：⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111111113243520072009L 。

【分析】22334420082008 (13243520072009)
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式 223344 (2007200720082008)
123344 (2007200720082009)
220082009
200712009⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 超越篇
1、计算：++++++++⨯⨯⨯⨯22222222
122318191920122318191920
L 。

【分析】22222(1)[(1)2(1)]2(1)(1)111222()(1)(1)(1)(1)1
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ++++-++++-==+=+=+-+++++ 111219(....)12231920
∴=⨯++++⨯⨯⨯原式 138(1)201938
20=+-
=
2、计算：++++++++----2222222221411812012141181201
L 。

【分析】222(1)(1)....(1)13351921
=++++++⨯⨯⨯原式
110(1)212010
21=+-
=
3、已知算式()()()()+⨯+⨯⨯+⨯+2416181289351719
L 的结果是一个整数，那么它的末两位数字式多少？ 【分析】第n 个数的分子是(21)2(23)n n n n n ++=+，是第n+1个数分母的n 被，因此，
1123....8(91918)3
638!2540160
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯=原式
末两位是60
4、计算：++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯35737123234345181920
L 。

【分析】1223341819 (123234345181920)
++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式 11111111(
)()()....()23133424453519201820
1111111111(....)(....)(....)233445192013351719244618201111111()(1)()2202192220
999201940
873760=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-+⨯-+⨯-=++=
5、计算：!!!!
++++12399234100L （最后结果可以用阶乘表示）。

【分析】11(1)!!(1)!
n n n n =-++ 11111(1)()....()2!2!3!99!100!1
1100!∴=-
+-++-=-原式
6、已知,A B ==++++2222111118891064
L ，请比较A 和B 的大小。

【分析】
11111 (7981091162646365)
11111()2765864
111111()287865864
11111()82566564
18B A <
+++++⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-+-=⨯+-+-⨯=+⨯--<=
7、计算：
!!!!⨯⨯⨯⨯++++10003142531021003333L （结果可以用阶乘和乘方表示）。

【分析】1(2)!(2)!(3)(2)!3(3)!(2)!33333
n n n n n n n n n n n n -+⨯+⨯++⨯++=-=- 1021100990112299991001000
100(13)!(12)!(23)!(22)!(1003)!(1002)!()()....()333333
(12)!(13)!(22)!(23)!(32)!(993)!(1002)!(1003)!()()....()33333333(1003)!(12)!33103!3
++++++∴=-+-++-++++++++=-+-+-++-+++=-=-原式6
8、计算：⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯10010099100999810099985497979697969597969521
L L L 。

【分析】10010099100999810099981009998....979796979695969594321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式 100100991111009998(....)979796979695969594321
100100991111009998()9797962129796
100110099110099981009998()974979629796
1005099259998()9797
2599985024250⨯=
++⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯=⨯⨯+-=⨯⨯-=0。