人教版八年级数学上册《最短路径问题》轴对称PPT精品课件

巩固练习
牧马人从A地出发，先到 草地边某一处牧马，再 到河边饮马，然后回到B 处，请画出最短路径.
A´ .
P.
Q.
. B´
链接中考
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为
对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值
的是（ D ）
A．AB
B．DE
C．BD
D．AF
解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°， DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE， ∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长， 此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE， 可得△ABF≌△CDE， ∴AF=CE， ∴AP+EP最小值等于线段AF的长．
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
探究新知
问题1： 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上 找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
解：连接AB,与直线l相交于一点C.
A
C
根据“两点之间，线段最
l
短”，可知这个交点即为所求.
A
A
M
N
B
B
探究新知
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路
径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使A到B的
路径最ຫໍສະໝຸດ Baidu呢？
A
●
M
M
N
N
?
●
B
探究新知
【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化 到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边.
巩固练习
如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图
中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
P
Q
Q
P
M A. Q l P
B. M l Q
P
M C.
l
M
l
D.
巩固练习 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌 溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问 该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确 定该点（保留作图痕迹）.
巩固练习 如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河 边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人 设计出最短的放牧路线.
解：如图AP+AB即为最 短的放牧路线.
探究新知
知识点 2 利用平移知识解决造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？
说明理由．
D C
A 图① B
A
P
O 图②
BO
A
M
N B
图③
课堂检测
D C
AP
P' A
C' 图①
E
P
O
F
B
图② P''
B
A M'
E
M
N
O
B
F
图③ N'
课堂小结 原 理 线段公理和垂线段最短
最短路径 问题
最短路 径问题
解题方法
轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
解题方法
关键是将固定线段“桥” 平移
人教版 数学 八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新知
1.如图，连接A，B两点的所有线中，哪条最短？为什么？
①
②
②最短，因为两点之间，线段最短.
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短.
A BC
Dl
导入新知 3.在以前学习过哪些有关线段大小的结论？
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 .
课堂检测
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA
上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是
（A）
A．10
B．15
C．20
D．30
课堂检测
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是1000米.
课堂检测
基础巩固题
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关
于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确
的是（ A ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，
Q是m上到A、B距离相等的点.
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，
P是m上到A、B距离相等的点.
.
探究新知
如图，平移A到A1，使AA1等于 A 河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， A1
M Ｍ１
此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
N
Ｎ１
B
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋ A1N1+BN1.
在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
探究新知
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
①
P
②
A ③B
A BC
Dl
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识 探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
探究新知
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到
B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l A′
素养目标
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作 用，感悟转化思想．
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
探究新知
知识点 1 利用对称知识解决最短路径问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各
A．7.5 C．4
B．5 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF 的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.
探究新知 方法点拨
此类求线段和的最小值问题，找准对称 点是关键，而后将求线段长的和转化为求某 一线段的长，再根据已知条件求解.
C
D 河
A
B
课堂检测
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点 上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上， 当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
y
解析：作出点B关 于x轴的对称点B′， 连接AB′交x轴于 点P，点P就是所
B
A
P
O
x
求的点.
B'
课堂检测
能力提升题
如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处， 须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都 是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
C
D
C′ D ′
E E′
B
课堂检测
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连 A
A
Ｍ
3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连.
Ｎ
B
探究新知 1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了.
A Ｍ
A' Ｎ B' B
2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了.
探究新知
3.把桥平移到和A相连.
A Ｍ
Ｎ B
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN 长度有没有 改变呢？
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. C
DF
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形，
C′ D ′
于是AD=FD′, 同理，BE=GE′，
E E′
由两点之间线段最短可知，GF最小.
BG
课堂检测
拓广探索题
（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点
组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，
使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、
F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并
C
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
l
则点C 即为所求．
B′
探究新知
问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′
E
的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等
腰直角三角形即可．
探究新知 方法点拨
求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和 固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点， 而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交 点即为三角形周长最小时动点的位置.
为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
A· M C
∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
ND E
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
B
探究新知
方法点拨
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题， 从而作出最短路径的选择.
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
C C′
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B′
探究新知
素养考点 最短路径问题的应用
例1 如图，已知点D,点E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的 中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 （B ）
B
探究新知
问题2：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解
决所走路径最短的问题？
B
【思考】对于问题2，如何将
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
满足直线l 上的任意一点C，
l
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
探究新知
作法：
B
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； A