2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期第三次月考数学(文)试题 解析版

安徽省定远重点中学2018-2019学年度上学期第三次月考
高二文科数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I卷选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）
1.已知命题p：∃x0∈R，＋1<2x0，命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m≤0，那么( ) A．“¬p”是假命题 B．“¬q”是真命题 C．“p∧q”为真命题D．“p∨q”为真命题
2.已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是( ) A． [6，＋∞) B． (－∞，2＋] C． [2，＋∞) D． (2＋，＋∞)
3.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为( )
A． B．－ C． D．－
4.已知f＝，则f′(x)等于( )
A． B．－ C． D．－
5.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与直线x＝分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A． (1，) B． (，2) C． (1,2) D． (，＋∞)
6.函数y＝x－2sin x的图象大致是( )
7.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线G：－y2＝
1(a＞0)的左顶点为A，若双曲线G的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )
A． B． C． D．
8.函数y＝x2－ln x的单调减区间是( )
A． (0，1) B． (0，1)∪(－∞，－1) C． (－∞，1) D． (－∞，＋∞)
9.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t
的值为( )
A． 1 B．C．
D．
10.设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上
的是( )
A．(a，b) B．(a，c) C．(b，c) D． (a＋b，c)
11.已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原
点)，则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是( )
A．2 B．3 C．
D．
12.做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
15.已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°.延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．
16.已知函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)．
若f(6－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(共6小题,共70分)
17. （10分）命题p：已知“a－1<x<a＋1”是“x2－6x<0”的充分不必要条件，命题q：∀x ∈(－1，＋∞)，x＋>a恒成立，如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
18. （12分）设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数)．
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；
(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；
(3)是否存在a，使得x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?
19. （12分）设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
20. （12分）已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
21. （12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
22. （12分）已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1.椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝，且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.
(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；
(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．
答案解析
1.D
【解析】对于命题p：＋1－2x0＝(x0－1)2≥0，
即对任意的x∈R，都有x2＋1≥2x，
因此命题p是假命题．
对于命题q，若mx2－mx－1<0恒成立，
则当m＝0时，mx2－mx－1<0恒成立；
当m≠0时，由mx2－mx－1<0恒成立，
得
即－4<m<0.故－4<m≤0，
故命题q是真命题．
因此，“¬p”是真命题，“¬q”是假命题，
“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，故选D.
2.A
【解析】由≤0，得0<x≤1，即p：0<x≤1.
由4x＋2x－m≤0，得4x＋2x≤m.
因为4x＋2x＝(2x)2＋2x＝2－，
要使p是q的充分条件，
则当0<x≤1时，m大于等于4x＋2x的最大值，
又当x＝1时，4x＋2x有最大值6，所以m≥6.故选A.
3.D
【解析】设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－，＝b2－，
所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，
即k1·k2的值为－.
4.D
【解析】令＝t，则f(t)＝＝，∴f(x)＝，f′(x)＝′＝－
.
5.B
【解析】双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，当x＝时，y＝±，∴A(，)，B(，－)．
∵60°＜∠AFB＜90°，
∴＜kFB＜1，
∴＜＜1，
∴＜＜1，
∴＜＜1，
∴1＜e2－1＜3，
∴＜e＜2.
故选B.
6.C
【解析】因为y′＝－2cos x，所以令y′＝－2cos x>0，得cos x<，此时原函数是增函数；令y′＝－2cos x<0，得cos x>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项C正确．
7.A
【解析】∵M(1，m)到抛物线y2＝2px(p＞0)的准线x＝－的距离等于M到其焦点的距离5，∴－＝－4，∴p＝8，
∴抛物线方程为y2＝16x，
A(－a,0)，∵m＞0，∴M(1,4)，
∵AM与渐近线y＝x平行，∴kAM＝＝，解得a＝，
故选A.
8. A
【解析】∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0<x<1或x<－1.
又∵x>0，∴0<x<1，故选A.
9.D
【解析】由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．
y′＝2t－＝＝.
当0<t<时，y′<0，可知y在此区间内单调递减；
当t>时，y′>0，可知y在此区间内单调递增．
故当t＝时，|MN|有最小值．
10.A
【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知－1，1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系知1－1＝－，所以b＝0，故选A.
11.B
【解析】如图，可设A(m2，m)，
B(n2，n)，其中m>0，n<0，
则＝(m2，m)，＝(n2，n)，
·＝m2n2＋mn＝2，
解得mn＝1(舍)或mn＝－2.
∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，
即(m＋n)(y－n)＝x－n2，
令y＝0，
解得x＝－mn＝2，
∴C(2,0)，点C为直线AB与x轴的交点．
S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n ＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO 的面积之和的最小值为3.
12.C
【解析】如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.
设造价为y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，∴y′＝4πaR－. 令y′＝0，得＝.
13.[－8,0]
【解析】当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知解得－8≤a＜0.综上，实数a的取值范围是[－8,0]．
14.
【解析】由可得B，C.
又由F(c,0)，得＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，
故e＝.
15.4
【解析】由题意知a＝1，根据双曲线定义|AF1|－|AF2|＝2a，
所以|AF1|＝4，|BF1|－|BF2|＝2，所以|BF1|＝2＋|BF2|.
由图知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，
所以|BA|＝|BF1|，△ABF1为等腰三角形，又因为∠F1AF2＝45°，所以∠ABF1＝90°，则△ABF1为等腰直角三角形，
所以|AB|＝|BF1|＝2.所以＝×2×2＝4.
16.(－3,2)
【解析】∵f′(x)＝当x≤e时，f′(x)＝6－2x＝2(3－x)>0，当x>e时，
f′(x)＝1－＝>0，∴f(x)在R上单调递增．又f(6－a2)>f(a)，∴6－a2>a，解之得－3<a<2.
17.解由不等式x2－6x<0，得0<x<6，
∵命题p为真，
即“a－1<x<a＋1”是“x2－6x<0”的充分不必要条件，
∴(等号不同时取得)，即1≤a≤5.
若命题q为真，∵x>－1，∴x＋1>0，
∴x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝
3，
∀x∈(－1，＋∞)，x＋>a恒成立⇔3>a，
∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
当p真q假时，得3≤a≤5，
当p假q真时得a<1，
∴实数a的取值范围是(－∞，1)∪[3,5]．
18.(1)f(x)＝－x3＋ax．
(2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明见解析.(3)存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1 【解析】(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)．
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，
即x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax.
(2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下：
f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，
∴－3x2∈[－3,0)．
又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上单调递增．
(3)当a>3时，f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1.
∴a＝2与a>3矛盾．
当0≤a≤3时，令f′(x)＝a－3x2＝0，
得x＝或x＝－(舍去)．
x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)在上单调递增．
x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递减．
又函数f(x)在x＝处连续，
∴f(x)max＝f＝－3＋a＝1.
解得a＝，
当a<0时，f′(x)＝a－3x2<0，
∴f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)在(0,1]上无最大值．
综上，存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1.
19.(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
20.解(1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为(，)．
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－＝－(x－)，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或．
21.(1)解因为e＝，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
所以c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，
所以＝，＝，
所以·＝＝－.
因为点M(3，m)在双曲线上，
所以9－m2＝6，得m2＝3.
故·＝－1，所以MF1⊥MF2，
所以·＝0.
(3)解△F1MF2的底边|F1F2|＝4，底边F1F2上的高h＝|m|＝，
所以＝6.
22.(1)＋＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，
∴|AB|＝4，又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.
∴直线l的斜率必存在．
②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，
∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则可得x1＋x2＝，x1x2＝1，
于是|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝，
∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，∴由＝6，解得k＝±.
故所求直线l的方程为y＝±(x－1)．。