2022年陕西省中考数学试卷(a卷)(解析版)

2022年陕西省中考数学试卷（A卷）（真题）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（2022•陕西）﹣37的相反数是（）
A．﹣37 B．37 C．D．
2．（3分）（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）
A．120°B．122°C．132°D．148°
3．（3分）（2022•陕西）计算：2x•（﹣3x2y3）＝（）
A．6x3y3B．﹣6x2y3C．﹣6x3y3D．18x3y3
4．（3分）（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD 5．（3分）（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（）
A．3B．3C．3D．6
6．（3分）（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m 相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（）
A．B．C．D．
7．（3分）（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB
＝（）
A．44°B．45°C．54°D．67°
8．（3分）（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）（2022•陕西）计算：3﹣＝．
10．（3分）（2022•陕西）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a﹣b．（填“＞”“＝”或“＜”）
11．（3分）（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB 的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．
12．（3分）（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为．
13．（3分）（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别
是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）（2022•陕西）计算：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0．
15．（5分）（2022•陕西）解不等式组：．
16．（5分）（2022•陕西）化简：（+1）÷．
17．（5分）（2022•陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）（2022•陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．
19．（5分）（2022•陕西）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．
（1）点A、A'之间的距离是；
（2）请在图中画出△A'B'C'．
20．（5分）（2022•陕西）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
21．（6分）（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、
D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已
知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
22．（7分）（2022•陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x 的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输入x…﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …
输出y…﹣6 ﹣2 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为1时，输出的y值为；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．
23．（7分）（2022•陕西）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别“劳动时间”t/分钟频数组内学生的平均“劳动时间”/
分钟
A t＜60 8 50
B60≤t＜90 16 75
C90≤t＜120 40 105
D t≥120 36 150
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在组；
（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
24．（8分）（2022•陕西）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
25．（8分）（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O 垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
26．（10分）（2022•陕西）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
2022年陕西省中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）（2022•陕西）﹣37的相反数是（）
A．﹣37 B．37 C．D．
【分析】根据相反数的意义即可得到结论．
【解答】解：﹣37的相反数是﹣（﹣37）＝37，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相反数，熟记相反数的定义是解决问题的关键．2．（3分）（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）
A．120°B．122°C．132°D．148°
【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠C＝∠1＝58°，
∵BC∥EF，
∴∠CGF＝∠C＝58°，
∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（3分）（2022•陕西）计算：2x•（﹣3x2y3）＝（）
A．6x3y3B．﹣6x2y3C．﹣6x3y3D．18x3y3
【分析】单项式乘以单项式，首先系数乘以系数，然后相同字母相乘，最后只在一个单项式含有的字母照写．
【解答】解：原式＝2×（﹣3）x1+2y3＝﹣6x3y3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，解决本题的关键是掌握单项式乘单项式法则．
4．（3分）（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵▱ABCD中，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵▱ABCD中，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；
熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
5．（3分）（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则
边AB的长为（）
A．3B．3C．3D．6
【分析】利用三角函数求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．
【解答】解：∵2CD＝6，
∴CD＝3，
∵tan C＝2，
∴＝2，
∴AD＝6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
6．（3分）（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m 相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（）
A．B．C．D．
【分析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
7．（3分）（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB ＝（）
A．44°B．45°C．54°D．67°
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠C＝46°，
∴∠AOB＝2∠C＝92°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝＝44°．
故选：A．
【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
8．（3分）（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三
者之间的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，由于﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，于是根据二次函数的性质可判断y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，
而抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．确定x1，x2，x3离对称轴的远近是解决本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）（2022•陕西）计算：3﹣＝﹣2 ．
【分析】首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．
【解答】解：原式＝3﹣5
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的运算，主要利用算术平方根的定义．10．（3分）（2022•陕西）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a＜﹣b．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】根据正数大于0，0大于负数即可解答．
【解答】解：∵b与﹣b互为相反数
∴b与﹣b关于原点对称，即﹣b位于3和4之间
∵a位于﹣b左侧，
∴a＜﹣b，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数大小的比较，解决本题的关键是熟记正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
11．（3分）（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB 的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为﹣1+米．
【分析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．
【解答】解：∵BE2＝AE•AB，
设BE＝x，则AE＝（2﹣x），
∵AB＝2，
∴x2＝2（2﹣x），
即x2+2x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴线段BE的长为（﹣1+）米．
故答案为：﹣1+．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
12．（3分）（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为y＝﹣．
【分析】根据轴对称的性质得出点A'（2，m），代入y＝x求得m＝1，由点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，从而求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得A的坐标是解题的关键．
13．（3分）（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．
【分析】连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD＝，OA ＝OC，根据勾股定理求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含AM的代数式表示ME、NF，计算即可．
【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，
由勾股定理得：OA＝＝＝，
∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME∥AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴＝，即＝，
解得：ME＝，
同理可得：NF＝，
∴ME+NF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）（2022•陕西）计算：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0．【分析】根据有理数混合运算法则计算即可．
【解答】解：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0
＝﹣15+﹣1
＝﹣16+．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，零指数幂，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．
15．（5分）（2022•陕西）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x+2＞﹣1，得：x＞﹣3，
由x﹣5≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为x≥﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（5分）（2022•陕西）化简：（+1）÷．
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（+1）÷
＝•
＝
＝a+1．
【点评】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．17．（5分）（2022•陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】利用尺规作图作出∠ACD的平分线，得到射线CP．
【解答】解：如图，射线CP即为所求．
【点评】本题考查的是尺规作图、平行线的判定，能够利用基本尺规作图作出已知角的角平分线是解题的关键．
18．（5分）（2022•陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．
【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴DE＝BC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（5分）（2022•陕西）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．
（1）点A、A'之间的距离是 4 ；
（2）请在图中画出△A'B'C'．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可得到结论；
（2）根据平移的性质作出图形即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），A'（2，3），
∴点A、A'之间的距离是2﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质．20．（5分）（2022•陕西）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，
∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、
D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已
知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【分析】先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB的长，最后由线段的差可得结论．
【解答】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO＝∠EGF，
∵∠AOD＝∠EFG＝90°，
∴△AOD∽△EFG，
∴＝，即＝，
∴AO＝15，
同理得△BOC∽△AOD，
∴＝，即＝，
∴BO＝12，
∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米），
答：旗杆的高AB是3米．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
22．（7分）（2022•陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x 的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输入x…﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …
输出y…﹣6 ﹣2 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为1时，输出的y值为8 ；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．
【分析】（1）把x＝1代入y＝8x，即可得到结论；
（2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b解方程即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8，故答案为：8；
（2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b得，
解得；
（3）令y＝0，
由y＝8x得0＝8x，
∴x＝0＜1（舍去），
由y＝2x+6，得0＝2x+6，
∴x＝﹣3＜1，
∴输出的y值为0时，输入的x值为﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
23．（7分）（2022•陕西）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别“劳动时间”t/分钟频数组内学生的平均“劳动时间”/
分钟
A t＜60 8 50
B60≤t＜90 16 75
C90≤t＜120 40 105
D t≥120 36 150
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组；
（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
【分析】（1）利用中位数的定义解答即可；
（2）根据平均数的定义解答即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）（2）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中
间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，故答案为：C；
（2）＝×（50×8+75×16+105×40+105×36）＝112（分钟），
答：这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；
（3）1200×＝912（人），
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为912人．
【点评】本题考查了频数（率）分布表．从频数（率）分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应百分比．
24．（8分）（2022•陕西）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
【分析】（1）根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
（2）通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴＝，
∴PB＝＝＝，
∴DP＝﹣6＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
25．（8分）（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O 垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、
B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，把（0，0）代入，可得a＝﹣，即可解决问题；
（2）把y＝6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，
解得x1＝+5，x2＝﹣+5，
∴A（5﹣，6），B（5+，6）．
【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
26．（10分）（2022•陕西）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为75°．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝60°，根据等腰三角形的三线合一得到∠PAC＝30°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；
（2）连接PB，证明四边形PBCA为菱形，求出PB，解直角三角形求出BE、PE、OE，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PF，根据等边三角形的性质得到∠PAF ＝60°，进而求出∠BAP＝15°，根据要求判断即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的中线，
∴∠PAC＝∠BAC＝30°，
∵AP＝AC，
∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75°；
（2）如图2，连接PB，
∵AP∥BC，AP＝BC，
∴四边形PBCA为平行四边形，
∵CA＝CB，
∴平行四边形PBCA为菱形，
∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，
∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，BE＝PB•sin∠PBC＝3，
∵CA＝CB，∠C＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴OE＝BE•tan∠ABC＝，
∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE
＝×6×3﹣×3×
＝；
（3）符合要求，
理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，
∵CA＝CD，∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形FDCA为正方形，
∵PE是CD的垂直平分线，
∴PE是AF的垂直平分线，
∴PF＝PA，
∵AP＝AC，
∴PF＝PA＝AF，
∴△PAF为等边三角形，
∴∠PAF＝60°，
∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，
∴裁得的△ABP型部件符合要求．
【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，得出△PAF为等边三角形是解题的关键．。