不等式放缩
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数学不等式之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑
=-n
k k 12
1
42的值; (2)求证:3511
2
<∑
=n
k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21
42
2+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<121121
2144
4
11222
n n n n n ,所以3532112112151
31211
12
=
+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k
奇巧积累:(1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=-<=
121121
2144441
222
n n n n n
(2)
)
1(1)1(1)1()1(212
11
+--=-+=+n n n n n n n C C n n
(3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r
r r n r
(4)2
5
)1(123112111)11(<-++⨯+⨯+
+<+n n n n
(5)
n
n n
n
2
1
121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(
2--<<
-+n n n
n n
(8)
n n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221
⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-
(9)
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10)
!
)1(1
!1!)1(+-
=+n n n n
(11)
2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
(11) )2(121
121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211
12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n
(12) 1
11)1(1)1(1)1)(1(1112
3
--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
-=+-<
⋅=
n n n n n n n n n n
n n
1
1
112111111
+--<-++⋅
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n
(13) 3
212132122)12(332)13(2221n
n n n n n n n n <-⇒>
-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+
(14)
!
)2(1
!)1(1)!2()!1(!2+-
+=+++++k k k k k k
(15)
)2(1)
1(1
≥--<+n n n n n
(15)
1
1
1)
11)((112
2
2
22
222<++
++=
++
+--=
-+-+j i j i j i j i j i j i j i
例2.(1)求证:)2()12(21
67)
12(1513112
22≥-->-++++
n n n (2)求证:n n 41
21413611614
12-<++++
(3)求证:1122642)12(5316
425314
2312
1-+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
(4) 求证：)
112(213
12
11)11(
2-+<+
++
+
<-+n n
n
解析:(1)因为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以
)
1
2131(211)12131(211)
12(1
1
2
--+>+-+>-∑=n n i n
i
(2))1
11(41)1211(41413611614
1222n n
n -+<+++=++++
(3)先运用分式放缩法证明出1
212642)12(531+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n
n ,再结合
n
n n -+<+22
1进行
裂项,最后就可以得到答案 (4)首先
n
n n n n
++=
-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到
n
n 13
1211)11(2+
+++
<-+
再证2
1
2121
21222)1212(21-++
=
-++=--+<n n n n n n n
而由均值不等式知道这是显然成
立的，所以)112(213
12
11-+<+
++
+n n
例3.求证:
3
5
191411)12)(1(62<++++≤++n n n n
解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=
-
<
121121
2144
41
11
2
22
n n n n n ,所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k
另一方面:1
111)1(143132111914
112
+=+-=+++⨯+⨯+>+
+++n n n n n n 当3≥n 时,
)
12)(1(61++>
+n n n
n n ,当1=n 时,
2
1
91411)12)(1(6n
n n n ++++=++ ,