1.3 并集和交集课件ppt

[知识点拨]
文字语言
符号语言
由所有属于集合A或属于集合B
的元素组成的集合,称为集合A与
A∪B=
{x|x∈A,或x∈B}
B的并集
图形语言
名师点析 对并集概念的理解
(1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其
延伸探究 将例4条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取
值范围.
解 由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,需
2- < 2 + 1,
解得 t≥4.
2- ≤ -2,
2 + 1 ≥ 5,
所以t的取值范围为{t|t≥4}.
例5设A={x|x2-2x=0},B={xຫໍສະໝຸດ x2-2ax+a2-a=0}.
“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,
不能说集合A与集合B没有交集,而是A∩B=⌀.
(4)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立.
(5)交集的运算性质
性质
A∩B=B∩A
答案 5或-3
解析 ∵9∈A∩B,∴9∈A且9∈B,
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;
当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.
(2)若集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},A∩B存在吗?
提示 A与B没有公共元素,但A∩B存在,为空集⌀.
微思考2
(1)集合A∩B是把集合A与集合B的部分元素组合在一起吗?
提示 是把公共元素组合在一起,而不是部分.
(2)两个集合交集中的元素一定在两个集合中吗?
提示 当两个集合有公共元素时,两个集合交集中的元素一定在两个集合中;
系?
提示 根据两集合并集的定义,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有以下三种
关系:①x∈A且x∉B;②x∈B且x∉A;③x∈A且x∈B.
(3)若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征?
提示 两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集.
知识点二:交集
文字语言
符号语言
由所有属于集合A且属于
集合B的元素组成的集合,
及A∪B.
解 ∵A∩B={9},∴9∈A.
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},
由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;
当a=3时,A={-4,5,9},B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.
2
,把集合 A 与 B 都表示在数轴上,
如图.
5
∴A∩B= x -1<x≤0,或2≤x≤3 ,A∪B=R.
反思感悟 求两个集合交集、并集的方法
若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn
图表示出集合运算的结果,要注意若集合不是最简形式,需要先化简集合,
求并集时,不是单纯的合并元素,相同的元素只能写一次;若是用描述法表
3
立.
2- < 2 + 1,
1
当 N≠⌀时,由数轴可得 2 + 1 ≤ 5, 解得 <t≤2.
3
2- ≥ -2,
综上可知,实数 t 的取值范围是{t|t≤2}.
要点笔记 求解与集合的交集或并集有关的性质问题,首先应该根据性质特
征将性质转化为集合之间的关系.常见的等价性质有
A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔B⊆A.
一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”
包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形
象地表示.
(3)并集的运算性质
性质
说明
A∪B=B∪A
满足交换律
A∪⌀=A
任何集合与空集的并集仍为集合本身
A∪A=A
集合与集合本身的并集仍为集合本身
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.
解 由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.
(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,B=⌀,{0},{2},{0,2}.
当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;
2 - = 0,
当 B={0}时,
∴a=0;
[激趣诱思]
某单位食堂第一天买的菜的品种构成的集合记为A={黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,
茄子};第二天买的菜的品种构成的集合记为B={黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,
土豆}.
问题:(1)两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?
(2)两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?
列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素
离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检
验是否符合题意.
延伸探究 例3(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.
解 利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a
图1
∴{a|a≤-1}.
(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},
且A∪B={x|x<1},如图2所示,
图2
∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.
∴{a|-1<a≤1}.
反思感悟 已知集合运算求参数的取值范围的思路
此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴
综上可得a的值为5或-3.
反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法
对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得
到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的
集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特
性,尤其是互异性.
延伸探究 例2中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值
∴P∪Q={x|-1<x<3}.故选B.
探究二
已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
例2已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,则实数a的值
为
.
分析9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的
值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.
= 4 = 0,
4-4 + 2 - = 0,
A∩⌀=⌀
A∩A=A
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)
若A∩B=A,则A⊆B
(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B
说明
满足交换律
空集与任何集合的交集都为空集
集合与集合本身的交集仍为集合本身
多个集合的交集满足结合律
多个集合的综合运算
满足分配律
会的女运动员},C={x|x是参加2018平昌冬奥会的运动员};
③集合A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},C={x|x是整数}.
上述各组中,集合C与集合A,B之间有什么关系?
提示 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
(2)思考(1)①中,集合A中有4个元素,集合B中也有4个元素,集合C中却有6个元素,
在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以{a|a>-1}.
探究三
集合的交集、并集性质的应用
例4设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,则实数t的
取值范围为
答案 {t|t≤2}
.
1
解析 由 M∪N=M 得 N⊆M,当 N=⌀时,2t+1≤2-t,即 t≤ ,此时 M∪N=M 成
为什么?
提示 集合中元素的互异性,相同的元素只出现一次.
微思考2
(1)A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗?
提示 不一定,当两集合没有公共元素时,A∪B中的元素就是由集合A和集合B的
所有元素组成,当两集合有公共元素时,由集合中元素的互异性可知,两集合的公
共元素只出现一次.
(2)根据两集合并集的定义可知,集合A∪B中的元素与集合A,B的元素有什么关
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 多个集合的并集满足结合律
若A∪B=B,则A⊆B
并集关系与子集关系的转化
A⊆(A∪B),B⊆(A∪B)
任何集合都是该集合与另一集合并集的子集
微思考1
(1)观察下列几组集合:
①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6};
②集合A={x|x是参加2018平昌冬奥会的男运动员},B={x|x是参加2018平昌冬奥
称为集合A与B的交集
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
图形语言
名师点析 对交集概念的理解
(1)A∩B仍是一个集合,A∩B由所有属于集合A且属于集合B的元素组成.
(2)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素
都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中
①集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4};
②集合A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三
角形};
③集合A={x|x>0},B={x|x<2},C={x|0<x<2}.
上述各组中,集合C与集合A,B之间有什么关系?
提示 集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.
2023
第一章
第1课时 并集和交集
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.理解两个集合的并集与交集的含义.(数学抽象)
2.能求两个集合的并集与交集.(数学运算)
3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概
念的作用.(直观想象)
思维脉络
课前篇 自主预习
综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.
例3集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.
(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;
(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.
解 (1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,
如图1所示.
∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,
若两个集合没有公共元素,则两个集合的交集是空集.
(3)若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合有什么特征?
提示 若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合中至少有一个集合是空集
或者两个集合不是空集,但是两个集合没有公共元素.
课堂篇 探究学习
探究一
集合的并集与交集运算
例1(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},集合B={x|(x-3)(x+1)=0},求A∩B,A∪B.
交集关系与子集关系的转化
两个集合的交集是其中任一集合的子集
名师点析 求两集合交集的注意点
(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合元素的性质特征尽量明显
化,然后根据交集的含义写出结果.
(2)在求与不等式有关的集合的交集运算时,数轴分析法直观清晰,因此,应
重点考虑.
微思考1
(1)观察下列几组集合:
5
(2)已知 A={x|-1<x≤3},B= x x≤0,或 x≥ ,求 A∩B,A∪B.
2
解 (1)∵集合A={x|x2-4x+3=0},∴A={1,3}.
∵集合B={x|(x-3)(x+1)=0},∴B={-1,3}.
∴A∩B={3},A∪B={-1,1,3}.
5
(2)∵A={x|-1<x≤3},B= x x≤0,或 x≥
P∪Q=(
)
A.{x|0<x<1}
B.{x|-1<x<3}
C.{x|-1<x<0,或1<x<3}
D.⌀
答案 (1)B
(2)B
解析 (1)由题得,M={m∈Z|-3<m<2}={-2,-1,0,1},N={n∈Z|-1≤n≤3}
={-1,0,1,2,3},所以M∩N={-1,0,1},故选B.
(2)∵P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},
示的数集,可借助数轴分析写出结果,利用数轴时,要注意端点的取舍及表
示.
变式训练1(1)(2021江西南昌高一期末)设集合M={m∈Z|3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则M∩N=(
A.{0,1}
B.{-1,0,1}
C.{0,1,2}
D.{-1,0,1,2}
)
(2)(2021陕西西安高一期末)已知集合P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},则