不等式与线性规划附解析2018年高考理科数学易错点

不等式与线性规划（附解析2018年高考
理科数学易错点）
1.【2017北京，理4】若x，y满足则x+2y的最大值为（A）1（B）3
（C）5（D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是A．[0，6]B．[0，4]C．[6，D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（A）（B）
（C）（D）
【答案】B
4.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A(−6,−3)，
则z=2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
（A）0（B）2（C）5（D）6
【答案】C
【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为，选C.
6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A）（B）1（C）（D）3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.
7.【2016高考新课标1卷】若,则()
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
8.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）
（A）（B）6（C）10（D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
9.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（）
（A）4（B）9（C）10（D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以
A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
10.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（）
A．2B．4C．3D．
【答案】C
易错起源1、不等式的解法
例1、(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为
[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为__________．
(2)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x－1或x12，则f(10x)0的解集为()
A．{x|x－1或x－lg2}
B．{x|－1x－lg2}
C．{x|x－lg2}
D．{x|x－lg2}
答案(1)9(2)D
解析(1)由值域为[0，＋∞)，可知当x2＋ax＋b＝0时有Δ＝a2－4b＝0，即b＝a24，
∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋a24＝x＋a22.
∴f(x)＝x＋a22c，
解得－cx＋a2c，－c－a2xc－a2.
∵不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，
∴c－a2－(－c－a2)＝2c＝6，解得c＝9.
(2)由已知条件010x12，
解得xlg12＝－lg2.
【变式探究】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的
解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________. (2)不等式2＜4的解集为________．
答案(1)52(2)(－1,2)
【名师点睛】
(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)fxgx0(0)&#8660 ;f(x)g(x)0(0)；
(2)fxgx≥0(≤0)&# 8660;f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．
易错起源2、基本不等式的应用
例2、(1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，
则2m＋4n的最小值为()
A．2B．22
C．4D．8
(2)设实数m，n满足m0，n0，且1m＋1n＝1，则4m＋n() A．有最小值9B．有最大值9
C．有最大值1D．有最小值1
答案(1)C(2)C
解析(1)因为向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，
所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.
所以2m＋4n≥22m4n＝22m＋2n＝222＝4(当且仅当2m＝
4n，m＋2n＝2，即m＝1，n＝0.5时，等号成立)，
所以2m＋4n的最小值为4，故选C.
(2)因为1m＋1n＝1，
所以4m＋n＝(4m＋n)1m＋1n＝5＋4mn＋nm，
又m0，n0，所以－4mn－nm≥4，当且仅当n＝－2m时取等号，
故5＋4mn＋nm≤5－4＝1，
当且仅当m＝12，n＝－1时取等号，故选C.
【变式探究】(1)若正数a，b满足a＋b＝1，则aa＋1＋bb＋1的最大值为________．
(2)若圆(x－2)2＋(y－2)2＝9上存在两点关于直线ax＋by－2＝0(a0，b0)对称，则1a＋9b的最小值为
__________．
答案(1)23(2)16
解析(1)∵正数a，b满足a＋b＝1，
∴aa＋1＋bb＋1＝ab＋1＋ba ＋1a＋1b＋
1
＝2ab＋a＋bab＋a＋b＋1
＝2ab＋1ab＋2＝2ab＋2－3ab＋2＝2
－3ab＋2
≤2－3a＋b22＋2＝2－314＋2＝23，
当且仅当a＝b＝12时取等号，
∴aa＋1＋bb＋1的最大值为23.
(2)圆(x－2)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，
由已知得直线ax＋by－2＝0必经过圆心(2,2)，即a＋b
＝1.
所以1a＋9b＝(1a＋9b)(a＋b)＝10＋ba＋9ab≥10＋
2ba9ab＝16(当且仅当ba＝9ab，即a＝14，b＝34时等号成立)，所以1a＋9b的最小值为16.
【名师点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
【锦囊妙计，战胜自我】
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值14s2(简记为：和定，积有最大值)．
易错起源3、简单的线性规划问题
例3、(1)已知实数x，y满足约束条件y≥x3－2，y≤2x ＋4，2x＋3y－12≤0，则z＝x＋2y的最大值与最小值之和为()
A．－2B．14
C．－6D．2
(2)若变量x，y满足约束条件y≤2，y≥x－2，y≥－12x ＋52，且目标函数z＝－kx＋y当且仅当x＝3，y＝1时取得最小值，则实数k的取值范围是________．
答案(1)A(2)－12，1
解析(1)根据x，y的约束条件画出可行域，如图阴影部分所示，其中A－185，－165，B(6,0)，C(0,4)．
由z＝x＋2y可知，当直线y＝－12x＋z2过点A时，z取最小值，即zmin＝－185＋2×－165＝－10；当直线y＝
－12x＋z2过点C时，z取最大值，即zmax＝0＋2×4＝8，∴zmin＋zmax＝－2.故选A.
(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的
△ABC及其内部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．将目
标函数变形得y＝kx＋z，当z取得最小值时，直线的纵
截距最小．由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y＝kx＋z绕定点A旋转进行分析，知－12k1，故所求实数k的取值范围是－12，1.
【变式探究】(1)已知实数x，y满足x≥0，y≥0，x＋
y≤2，则z＝4x＋y的取值范围是()
A．[0,2]B．[0,8]
C．[2,8]D．[2,10]
(2)已知变量x，y满足约束条件x＋y≤1，x－y≤1，
x≥a，若x＋2y≥－5恒成立，则实数a的取值范围为() A．(－∞，－1]B．[－1，＋∞)
C．[－1,1]D．[－1,1)
答案(1)B(2)C
(2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
则x＋2y≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x
＋2y＝－5的上方，
由x－y＝1，x＋2y＝－5，
得x＝－1，y＝－2，
由x－y＝1，x＋y＝1，得x＝1，y＝0，
则实数a的取值范围为[－1,1]．
【名师点睛】
(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
【锦囊妙计，战胜自我】
解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数
表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可
行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．。