抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程之欧阳道创编

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有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线px y 22=(p>0)的焦点
F 作一条直线L 和此抛物
线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点
结论1:p x x AB ++=21
结论2:若直线L 的倾斜角为θ,则弦长θ2sin 2p
AB =
证: (1)若
2
π
θ=
时,直线L 的斜率不存在,此时AB 为抛
物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若
2
π
θ≠
时,设直线L 的方程为:
θtan )2
(p
x y -
=即
2
cot p y x +
⋅=θ 代入抛物线方程得
0cot 222=-⋅-p py y θ由韦
达定理
θcot 2,212
21p y y p y y =+-= 由弦长公式

θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p
p y y AB =
+=-+=
结论3: 过焦点的弦中通径长最小
p p
2sin 21sin 22≥∴
≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的
弦长中通径长最短.
结论4:
)(8
32为定值p AB S oAB =∆
结论
5: (1) 2
21p y y -= (2) x
1x 2=
42
p

44)(,2,22
2
221212
22211P P y y x x p y x p y x ==∴== 结论6:以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证:设M 为AB 的中点,过A 点作准线的垂线AA 1,
过M 点作准线的垂线MM 1,由梯形的中位线性质和抛
物线的定义知
2
2
2
1
11AB BF
AF BB AA MM =
+=
+=
故结论得证
结论7:连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F
同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F
结论8:(1)AM 1⊥BM 1 (2)M 1F ⊥AB (3)
BF
AF F M ⋅=2
1
(4)设AM 1 与A 1F 相交于H ,M 1B 与FB 1相
交于Q 则M 1,Q ,F ,H 四点共圆
(5)
2
12
12
14M
M B M AM =+
证:由结论(6)知M 1 在以AB 为直径的圆上∴
AM 1⊥BM 1
11FB A ∆为直角三角形, M 1 是斜边
A 1
B 1 的中

∴M 1F ⊥AB
BF
AF F M ⋅=∴2
1
AM 1

BM 1
F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM

=∠∴90FB A 11 所以M 1,Q ,F,H 四点共圆,
2
2121AB
B M AM =+
结论9:(1)、A O 、B 1 三点共线 (2)B ,O ,A 1 三点共线
(3)设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1,则BB 1平行于X 轴
(4)设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1,则AA 1平行于X 轴
证:因为
p y p y k y p p
y y x y k oB oA 2
2121
11122,221-=-====
,而
221p y y -=
所以
122
2
22oB oA k p y y p
p
k =-=-=
所以三点共线。

同理
可征(2)(3)(4) 结论10:
p
FB FA 211=+
证:过A 点作AR 垂直X 轴于点R ,过B 点作BS 垂直
X 轴于点
S ,设准线与
x
轴交点为
E,θ的倾斜角为因为直线L 则
θ
θcos 1cos -=∴=+=+=P
AF AF AF P FR EF ER P
AF θcos 11-=∴
同理可得
P BF θcos 11+=∴p FB FA 211=+
结论11:

:
AE BE AF AE (1)PEQ (2) (3) K K 0
BF
BE
(4) AE BE , AE BE
2
2
EF π
π
θθ∠=+==
⊥≠
线段平分角当时当时不垂直于
A
A B B EA E B A A FA B B BF FA
BF EA E B AA EF BB 111
1111
111,////=

===

(4)
90AEB FB EF AF 2
︒∠∴=
===时,当π
θ
x 1x 2=
4
p 2
假设
1
2
2y 1K K BE AE 22
11
BE AE -=+

+∴
⋅⊥p x y p x =-则
结论12:过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ,则 推广与深化:
深化 1:性质5中,把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴
上一点E (a,0),则有pa 2y y 21-=.
证:设AB 方程为my=x-a ,代入px 2y
2
=.得:
0ap 2pmy 2y 2=--,∴pa 2y y 21-=.
深化2:性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴,AB 的中垂线交x 轴于点
R ,则
21
|AB ||FR |= 证明:设AB 的倾斜角为a ,直线AB 的方程为:
)
2p
x (tga y -=,
代入px 2y 2
=得:px 2)4p px x (a tg 2
2
2
=+-,
即:0
4p )a pctg 2p (x x 2
2
2
=++-.
由性质1得
a
sin p 2a pctg 2p 2p x x |AB |2221=
+=++=,
又设AB 的中点为
M ,则|
a cos a pctg ||a cos 2p
2x x ||FM |221=-
+=,

a sin p |a cos a pctg ||a cos ||
FM ||FE |222=
==,

21|AB ||FR |=. 深化3:过抛物线的焦点F 作n 条弦
n n 2211B A B A B A ⋯、、,且它们等分周角
2π,则有
(1)

=⋅n
1
i i i |FB ||F A |1
为定值;(2)

=n
1
i i i |B A |1
为定值.
证明:(1)设抛物线方程为a
Fx A ,cos 1p
1=∠θ-=

由题意π-+=∠⋯π+=∠π+
=∠n 1
n a Fx A n 2a Fx A ,n a Fx A n 32,
所以2
22
211p a sin p a cos 1p )a cos(1p a cos 1|
FB ||F A |1=-=+π-⋅-=⋅,
同理2
2n n 2222p )
n 1
n a (sin |FB ||F A |1,,p )n a (sin |FB ||F A |1π-+=⋅⋯π+=⋅
易知
2n
)n 1n a (sin )n 2a (sin )n a (sin a sin 2222=
π-++⋯+π+π++,
∴2
22n
1
i 2222
i i p 2n p )
n 1n a (sin p )n a (sin p a sin |FB ||F A |1=π-++⋯+π++=⋅∑
=. (2)∵
a
sin p
2a cos 1p 2)a cos(1p a cos 1p |B A |2211=
-=+π-+-=

∴p 2)n 1
n a (sin |
B A |1
,,p 2a sin |
B A |12n n 2
11π-+
=⋯=

∴p 4n p 2)
n 1
n a (sin p 2)n a (sin p 2a sin |B A |12n
1
i 22
i i =π-++⋯+π++=∑
=.。

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