索洛增长模型

由于K / AL k , L/ L n, A/ A g , K sY (t ) K (t ),则， sY (t ) K (t ) Y (t ) k (t ) k (t )n k (t ) g s k (t ) nk(t ) gk(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) 应用Y / AL f (k ), 有 k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )
储蓄率增加与经济增长
y
s1y1
(n+g+δ)k
s1f(k) sf(k)
C1
sy0
C0
0
k0
k1
k
•上图显示，由于人们增加了储蓄，体现 为储蓄倾向的增大，经济从最初的稳定 状态转变为新的稳定状态，使得人均资 本和人均产量都增加了。
•但是需要说明的是，上图两个均衡点都 是稳态中的均衡点，而这个稳态的均衡 点，从长期来看，只不过是受人口增长 率(有效劳动增长率)水平的决定。因此 最终来看，储蓄率的提高有水平效应， 但是没有增长效应，它改变了经济的平 衡增长路径，因而改变了任一时点上每 工人的平均产量水平，但是并不影响处 于平衡增长路径时每工人平均产量的增 长率。
K (t ) K (t ) k (t ) ( A(t ) L(t ) L(t ) A(t )) 2 A(t ) L(t ) ( A(t ) L(t ))

K (t ) K (t ) L(t ) K (t ) A(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) L(t ) A(t ) L(t ) A(t )
储蓄率变动对消费的影响 若将家庭引入模型，其福利将取决于消费而非产量， 因此在许多情况下，我们可能只关心消费变动而非产 量变动。 每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的平均产 量乘以该产量中用于消费的部分1-s，当s增加时，消 费会有猛烈下降，然后随着k的上升，在s的更高值不 变的情况下，消费会逐渐上升。
索罗模型的定量含义
前面我们对储蓄率变动 对增长产生的水平影响 的解释如果成立，取决 于经济体系从前一个均 衡增长向后一个均衡增 长路径收敛的速度，如 果 需要上百年的时间才能 最终收敛，那么这种水 平 效应的认识就毫无意义 。下面我们将对这一过 程 作定量化分析。
储蓄率上升对产量的影 响
y k ( s, n, g , ) f (k ) s s
c
t0
t
但是消费是否会超过s上升之前的原来水平是
不确定的，存在一个实现消费最大化最优增长 路径，即黄金分割率问题。 我们有下面有关消费的表达式：每单位有效劳 动的平均消费等于每单位有效劳动的平均产量 减去每单位有效劳动的平均投资，在平衡增长 路径上，实际投资等于持平投资，因此
c f (k ) (n g )k
o
k
生产投入品的变动
劳动和知识以不变速度增长，劳动增长
率为n，知识增长率为g。 产量分为投资和消费，产量中用于投资 的比例为s，是外生不变的。资本的折旧 率为δ，由此，资本存量的增长率就是 储蓄额减去折旧得到的。
K (t ) sY (t ) K (t )

2、索洛模型的动态学 在索洛模型中，劳动和知识的变动是外生的，因此人 均资本量的变动是我们要考虑的主要变量。 k的动态学 由于有 k K / AL 用链式法则，我们可以得到下面的推 导过程：
k 是由k 0定义的，因此 k 满足 sf (k ( s, n, g , )) (n g )k ( s, n, g , ) 对上述方程求关于 s的导数，得
k k sf (k ) f (k ) (n g ) s s k f (k ) s (n g ) sf (k )

上述方程式表明，每单位劳动拥有的平
均资本量的变动率是两项之差：第一项 sf（k）是每单位有效劳动的平均实际投 资，f(k)是每单位有效劳动的平均产量， s是投资的比例。第二项是持平投资，即 使得k保持在现有水平上所必需的投资量。 其中包括弥补折旧部分带来的影响δk， 有效劳动增长带来的对人均资本占有量 的稀释作用(n+g)k。
会快于人口的增长，人均产出水平会不断 提高。因此对于资本贫乏的国家，其产出 增长率会高于资本充裕的国家，但是随着 资本深化的提高，他将日益接近于稳定增 长的人均资本水平，经济增长率最终会慢 下来。因此当经济偏离稳定状态时，无论 人均资本过多还是过少，都存在着某种力 量使其恢复到长期增长的均衡状态。这是 新古典经济增长理论对哈罗的模型的改进。
y
经济增长的黄金分割率 f(k) (n+g+δ)k
s 1f(k)
s 3f(k) s 2f(k) 0 k2
*
k3
*
k1
*
k
储蓄率增加降低增加或者维持消费
人口增长与经济增长
y
(n1+δ)k
(n+δ)0
kA1
kA
k
虽然新古典增长理论把人口增长看作
是外在给定的不变的量，但是人口增 长率的变动会对人均资本量和人均产 出量水平有直接影响。 如果人口增长率从原来的n提高到n1， 结果只能是人均资本量和人均产出水 平的下降。
k

0 k*
k
索洛模型中的k的相图
平衡增长路径 当k向k 收敛时，劳动和知识分 别以n和g的速度 增长，资本存量 K ALk，由于k在k 处不变，因此 K以n g的速度增长，规模报酬 不变的假设意味着 总产出Y也以n g的速度增长。因此人均 资本K / L 和每工人的平均产量 Y / L以g的速度增长。 这样，索罗模型意味着 不管经济的最初状态如 何， 经济向一平衡增长路径 收敛，在平衡增长路径 上 该模型中的每一个变量 的增长率都是一个常数 （外生），每工人平均 产量的增长率仅仅决定 于 技术进步率g。


y f (k ) f (k ) s (n g ) sf (k )
对上式两边同时乘以 s / y ，从而转化为弹性形式 ， 同时应用sf (k ) (n g )k 以替换s，可得下面的过程： s y s f (k ) f (k ) y s f (k ) (n g ) sf (k ) (n g )k f (k ) f (k )[(n g ) (n g )k f (k ) / f (k )] k f (k ) / f (k ) 1 [k f (k ) / f (k )] k f (k ) / f (k )为k k 处的资本的产出弹性， 用 K (k )表示，则 s y K (k ) y s 1 K (k ) 假如市场是竞争性的， 则资本收入占总收入的 份额因该是 K (k )。 大多数国家这一数字为 1 / 3，因此储蓄率的产出弹 性大体上是 1 / 2， 因此储蓄率的显著变化 对人均产量的变化只有 较小的影响。


k k ( s, n, g , )

c k ( s, n, g , ) ( f (k ( s, n, g , )) (n g )) s s

从上面的表达式我么们可以看出，储蓄率的增
加，是否会在长期提高消费，取决于资本的边 际产品f‘(k*)是大于还是小于n+g+δ。直观的， 如果k上升，要使k的这种上升得以维持，投资 必须上升n+g+δ乘以k的变化量。如果f‘(k*)小 于n+g+δ，那么从增加的资本上获得的增加的 产量不足以将资本存量维持在较高的水平上， 消费必须下降；如果f‘(k*)大于n+g+δ，增加 的产量大于将k维持在较高水平上需要的产量 增加，因此消费可以增加。我们用下面的图形 反映这种关系。
在A点的左边，sy曲线比（n+g+δ）k
线高，这表明储蓄高于资本广化的需 要，会导致人均资本k的提高，从而使 产出增加，k会不断向kA靠近，直到最 终用于资本广化的储蓄等于全部储蓄， 而人均占有的资本数量保持不变，经 济增长达到稳定状态。 在A点的右边，情况完全相反。
当经济处于资本深化阶段时，产出的增长
( k 直观地说，资本的产出弹性 k )
较小时， 储蓄s对产出的影响之所以较小，有两个 原因：一是表明实际投资曲线sf(k)弯曲 得相当厉害，该曲线上移使其与持平投 资线的交点上移微小，因而储蓄率的变 化对人均投资的影响较小；二是资本产 出弹性较小本身意味着人均资本增加导 致的人均产出增加较少。
稳态分析的图形
y
(n+g+δ)k
f(k)
yA
sf(k) syA A
0
kA
k
图中，sf(k)为人均储蓄曲线，它与
人均生产函数有相同形状但是位于生 产函数的下方。另外一条直线表示资 本的广化。 根据稳态分析，sy= （n+g+δ）k， 此时（n+g+δ）k线和sy曲线相交， 交点A所对应的人均资本为kA，人均 产量为yA，这时人均储蓄恰好等于资 本广化的需要，即 sy= （n+g+δ）k
在以资本的差异为基础解释收入的较大差异时，会遇




到两个问题： 首先所需要的资本差别实在太大，而没有证据表明各 国的资本差别会如此之大。 第二个困难是，如果不考虑劳动有效性的差别，而将 产量差别归因于资本差别，那就意味着资本的报酬率 应该有巨大差异，同样也没有证据表明资本报酬率有 如此大的差别。 工人平均产量的差别如果归因于劳动的有效性，可是 在索洛模型中，对劳动的有效性的处理是不完美的， 劳动被看作是外生的变量，是通过假定增长来解释增 长的。 劳动的有效性在模型中并没有被具体说明，它只是劳 动和资本以外的影响产量的其他因素的总称。在其他 的内生增长模型中，试图说明这些因素是什么，并将 他们内化到模型中。
y
人均产出和增长率随时间变化的轨迹
y0
0 g
t0
t1
t
0
t
上图的上半部分显示了人均产出水平
的时间路径。储蓄率的提高增加了人 均资本占有量从而人均产量提高，直 到达到新的稳定状态。 下半部分则显示了人均产量增长率的 时间路径。储蓄率的增加会导致资本 积累，实现人均产量水平的暂时性较 高增长，但是随着资本积累，人均产 量的增长率最终会回落到人口增长率 水平。
3、对索洛模型的评价 索洛模型确定了每工人平均产量变动的两个可
能来源：每工人平均资本的变动和劳动的有效 性的变动。然而只有劳动的有效性的增长才能 导致每工人平均产量的永久性增长，而且在合 理的情形下，每工人平均资本的变动对每工人 平均产量的影响不大。其结果，只有劳动的有 效性的差异才有希望解释财富在不同时期不同 地域的巨大差异。具体而言，索洛模型的基本 结论是如果资本取得的市场收益大体体现了其 对产量的贡献，那么实物资本积累的变动既不 能解释世界经济的增长，也不能很好的解释国 家间的收入差别。
假定密集形式的生产函数满足
f (0) 0, f (k ) 0, f (k ) 0 limk 0 f (k ) , limk f (k ) 0
y
Y=f(k)
随着每个工人拥有的资本 量的增加，每个工人的产 量也增加，但是由于报酬 递减规律的存在人均产量 的增加速度是递减的
索洛增长模型
1、索洛模型的基本假定 投入与产出 索洛模型包括四个变量，产量Y，资本K，劳动
L和知识或者劳动的有效性A，资本劳动和知识 结合起来生产产品，生产函数形式为：
Y (t ) F ( K (t ), A(t ) L(t )) (1.1)
两点解释：时间并不直接进入生产函数，只是通过 K、L、A进入。仅在生产投入变化时，产量才会随 时间变化。A和L以相乘形式进入，AL被称为有效 劳动，以此种形式进入技术进步为劳动增进型或者 哈罗德中性。
生产函数假定：规模报酬不变
规模报酬不变的假定使我们可以使用密集形式
的生产函数：
K 1 F( ,1) F ( K , AL) AL AL K 是每单位有效劳动的平 均资本数量， AL F ( K , AL) / AL就是每单位有效劳动的 平均产量 定义k K / AL，y Y / AL，则 y f (k )