联合熵与条件熵

第6讲 联合熵与条件熵
信息熵H(X)反映了随机变量X 的取值不确定性。

当X 是常量时，其信息熵最小，等于0；当X 有n 个取值时，当且仅当这些取值的机会均等时，信息熵H(X)最大，等于log n 比特。

我们拓展信息熵H(X)的概念，考虑两个随机变量X 和Y 的联合熵H(XY)和条件熵H(Y|X)。

1. 联合熵
设X ，Y 是两个随机变量， 则(X,Y)是二维随机变量，简写为XY 。

二维随机变量XY 的联合概率分布记为p (xy )，即
根据信息熵的定义可知，XY 的信息熵为
定义1.1 二维随机变量XY 的信息熵H(XY)称为X 与Y 的联合熵（joint entropy ）。

它反映了二维随机变量XY 的取值不确定性。

我们把它理解为X 和Y 取值的总的不确定性。

练习：
假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。

甲里面有红蓝色球各50个，乙里面红、蓝色的球分别为99个和1个。

试计算H(XY)
我们将联合熵概念推广到任意多离散型随机变量上。

定义1.2 一组随机变量12,,,N X X X 的联合熵定义为
注：为了简化记号，我们有时把12
N X X X 记为X N ，把12N x x x 记为x N 。

物理意义：
（1）12
()N X H X X 是这一组随机变量平均每一批取值 所传递的信息量。

（2）若N-维随机变量12N X X X 表示某信源产生的任意一条长度为N 的消息，则12()N X H X X 是平均每条长度为N 的消息的信息量。

因此，若该信源产生一个长度为N 的消息，则在不知道其它条件的情况下，对该消息所含信息量的最优估计为N-维信息熵12
()N X H X X 。

联合熵的性质：
联合熵熵函数的一种特殊形式，所以熵函数的任何数学性质都适用于联合熵，包括：非负性、可加性、严格上凸性和最大离散熵原理，等等。

当然，联合熵还有自己的特殊性质。

定理1.4（联合熵的独立界）2121()()()()N N H X X H X H X H X X ≤+++
其中等号成立的充要条件是所有随机变量相互独立。

证明：这里仅证明()()()H Y X X H H Y ≤+，一般情形可类似证明。

设对于XY 的联合分布为p (xy )，X 和Y 的概率分布简记为p (x )，p (y )。

由于
我们有
注意，()()p x p y 构成一个概率分布。

应用信息不等式可得
其中等号成立的充要条件是()()()p xy p x p y =，即X 与Y 相互独立。

证毕
2. 条件熵
条件自信息：1(|)log
(|)
I y x p y x = 对于任何取值x ，|Y X x =是一个带条件的随机变量，其信息熵为 再对所有x 求熵的平均值可得如下条件熵：
定义2.1 设X ,Y 是两个离散型随机变量，联合分布为p (xy )。

X 相对于Y 的条件熵H (X|Y )
定义为条件自信息I (X|Y )的期望，即
物理意义：H (X|Y )表示在已知Y 取值的前提下，X 取值的不确定性，亦即X 的每个取值平均所提供的与Y 无关的信息量。

定理2.2（条件熵非负性）对于任何离散型随机变量X 与Y ，都有H(Y|X) ≥0，其中等号成立当且仅当Y 是X 的函数，即X 的取值可确定Y 的取值。

证明 根据定义
由于上述加式中各加项都≤0，所以该加式=0的充要条件是各加项=0，即对于任何x 和y ，p (y |x )=1或者p (y |x )=0，亦即对于任何x ，P (Y |x )是退化分布。

这表明当X 的取值确定时，Y 的取值随即确定，即Y 是X 的函数。

证毕
定理2.3（熵的链法则）对于随机变量序列X 1,X 2,…和任何N ≥1
简记为
其中H 1=H (X 1)，H 2=H ( X 2|X 1)，…，H N =H (X N |X 1X 2 …X N-1)。

证明：首先根据定义直接可得
H (XY )= H (X )+H (Y|X )
应用上述等式，对N 用归纳法可证明熵的链法则。

细节略。

证毕
意义：将多个随机变量的联合熵转化为这些随机变量的条件熵之和，可简化计算。

注：链法则与熵的可加性是等价的。

思考：
下列不等式是否成立，其中各等号成立的充要条件是什么？
这个性质说明什么？请读者尝试命名该性质。

定理2.4（条件熵递减性）对于任何随机变量X 和Y ，有
H (Y |X )≤ H (Y )
其中等号成立的充要条件是Y 与X 相互独立。

证明一：根据链法则，
H (XY )=H (X )+H (Y |X )
再根据联合熵的独立界定理，立刻可得
H (Y |X )≤ H (Y )
其中等号成立的充要条件是X 与Y 统计独立。

证毕
在条件熵中，条件越少，熵值越大。

相反，条件越多，熵值越小。

这可理解为，我们知道的越多，则事物的不确定性越小。

证明二：应用Jessen 不等式证明。

证毕
3. 计算公式
令X ，Y 为离散的随机变量。

公式1. (|)()()H Y X H XY H X =-
公式2. (|)()((|))H Y X P X H P Y X =
其中P (X )是X 的概率分布，为行向量，P (Y |X )是X 到Y 的条件概率矩阵，((|))H P Y X 是条件概率矩阵中各个行分布(|)P Y x 的熵(|)H Y x 所组成的列向量。

证明：
证毕
例3.1 设()(0.4,0.6)P X =且
则
记号：以后对于任何N ，我们将N 维随机向量X 1,X 2,…X N 简记为X N 。

注：上述条件熵概念可以推广到多个随机变量熵，例如
H (Y|X 1X 2 …X N )
是在已知随机向量X 1,X 2,…X N 取值的前提下，随机变量Y 的不确定性，亦即Y 的每个取值可以提供的与X 1,X 2,…X N 取值无关的新信息量。

练习3.2设p(xy)如下表所示。

试计算
(1) H(XY)
(2) H(X), H(Y)
(3) H(X|Y), H(Y|X)
练习3.3 已知平均100人中有2人患有某种疾病，为了查明病情，必须进行某项指标的化验。

这种化验的结果对于有病的人总是阳性的，对于健康的人来说有一半可能为阳性、一半可能为阴性。

若X 表示一个人是否罹患这种疾病，Y 表示其化验结果是否为阳性，试计算H(XY)。

作业5
1. 范九伦等所着教材第38页习题（三）
设X 和Y 的联合分布(,)u x y 由下表给出：
.
试计算(),()H X H Y H X Y H Y X
2. 设一个信源有6种信号，先后输出的信号是独立同分布的，其概率分布为
(1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32) （1）该信源输出1个符号所提供的平均信息量。

（2）该信源输出100个符号所提供的平均信息量。

3. 在一段时间内，某城市交通的忙闲天数按天气阴晴和气温冷暖进行分类统计如下：
晴阴 暖 8天 忙 冷 27天
暖 16天
晴阴 暖 15天 闲 冷 4天 暖 12天 冷 12天 冷 8天 X
（1）计算交通忙闲状态的无条件熵。

（2）计算天气和气温状态下的条件熵。

（3）计算从天气和气温状态所获得的关于交通状态的信息。

4.世界职业棒球锦标赛为7场赛制，只要其中一队赢得4场，比赛就结束。

设随机变量X代表在比赛中A队
和B队较量的可能结果。

X的可能取值为AAAA，BABABAB和BBBAAAA，其中A,B分别表示A队和B 对获胜。

设Y代表比赛的场数，取值范围为4到7。

假设A队和B队是同等水平的，且每场比赛相互独立。

试计算H(X)，H(Y), H(Y|X)和H(X|Y)。