高考数学B版真题及模拟：导数与积分

即A
1 k
,
ln
k
2
,B
1 k
1,
ln
k
,
∵A、B在直线y=kx+b上,∴
2
ln ln k
k
k
k 1 b, k
1 k
1
b
⇒
b k
1 2.
ln
2,
评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.
7.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 .
b=
.
答案 1-ln 2
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得
y'= 1 ,由y=ln(x+1)得y'= 1 ,
x
x 1
∴k=
1 x1
=
1 x2 1
,∴x1=
1 k
,x2=
1 k
-1,
∴y1=-ln k+2,y2=-ln k.
则y0=2 x03 -3x0,且切线斜率为k=6 x02 -3,所以切线方程为y-y0=(6 x02 -3)(x-x0), 因此t-y0=(6 x02 -3)(1-x0).整理得4x03 -6x02 +t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3, 则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.
令h(x)=x(x-1)-ln x,则g(x)= h(x) ,并且h(1)=0,
x
h'(x)=2x-1- 1 = (2x 1)(x 1) .
x
x
当0<x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x>1时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以,h(x)>h(1)=0(∀x>0,x≠1).
因此g(x)>0(∀x>0,x≠1).
e
所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=- 1 .
e
综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.
评析 本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查等价转
2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D y'=a- 1 ,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.
x 1
3.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为
x
e
设函数g(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x.
所以当x∈
0,
1 e
时,g'(x)<0;当x∈
1 e
,
时,
g'(x)>0.
故g(x)在
0,
1 e
上单调递减,在
1 e
,
上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g
1 e
=-
1 e
.
设函数h(x)=xe-x- 2 ,则h'(x)=e-x(1-x).
g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f
'(x)=
x2
1 x2
ln
x
.
当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;
当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
.
答案 y=2x
解析 本题主要考查导数的几何意义.
因为y'= 2 ,
x 1
所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.
4.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=
.
答案 -3
解析 设f(x)=(ax+1)ex,则f '(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2, 解得a=-3.
x
∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1.
思路分析 根据函数f(x)是偶函数,求出x>0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜 式求出切线方程.
评析 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义,求出x>0时f(x)的解析式是解题关键.
6.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则
答案 D 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. ∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴a-1=0,解得a=1, ∴f(x)=x3+x,∴f ‘(x)=3x2+1,∴f '(0)=1, 故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D. 解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切点. (2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点代入两者的解析式建 立方程组. (3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.
解析 (1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3.
令f '(x)=0,得x=- 2 或x= 2 .
2
2
因为f(-2)=-10,
f
2 2
=
2, f
2 2
=-
2 , f(1)=-1,
所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f
2 2
=
2.
(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),
导数与积分
A组 自主命题·北京卷题组
1.(2013北京,7,5分,0.72)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面
积等于 ( )
4
A. 3
B.2
C. 8
3
16 2
D. 3
答案 C 由抛物线方程可知抛物线的焦点为F(0,1),所以直线l的方程为y=1.设直线l与抛物线
思路分析 (1)先求导,再求切线的斜率,进而得出切线方程; (2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1),再利用函数的单调性和最值解决问题.e2
一题多解 (2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).
化思想及逻辑推理能力.
考点二 积分的运算及应用
1.(2014陕西,3,5分)定积分
1
0
(2x+ex)dx的值为
(
)
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
答案
C
1 (2x+ex)dx=(x2+ex) 0
1 0
=1+e1-1=e,故选C.
2.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A.2 2 B.4 2 C.2 D.4
评析 本题主要考查导数的几何意义、导数的应用及函数方程问题,考查学生运用导数研究 函数性质的能力,考查了函数与方程、等价转化等思想方法.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 导数的概念及其几何意义
1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
2.(2013北京,18,13分,0.52)设L为曲线C:y= ln x 在点(1,0)处的切线.
x
(1)求L的方程;
(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.
解析
(1)设f(x)=
ln x x
,则f
'(x)=

1
ln x2
x
.
所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.
(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).
x
=e(x-1)+2. (1)求a,b; (2)证明:f(x)>1.
解析
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f
'(x)=aexln
x+
a x
ex-
b x2
ex-1+
b x
ex-1.
由题意可得f(1)=2, f '(1)=e.
故a=1,b=2.
(2)由(1)知, f(x)=exln x+ 2 ex-1,从而f(x)>1等价于xln x>xe-x- 2 .
g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).
g(x)与g'(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
t+3
↘
t+1
↗
所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值. 当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多 有2个零点. 当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多 有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和 [1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+ ∞)上恰有1个零点. 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1). (3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切; 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切; 过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.
8.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= 1 (x>0)上点P处的切线垂直,则P的
x
坐标为
.
答案 (1,1)
解析 ∵函数y=ex的导函数为y'=ex,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.
设P(x0,y0)(x0>0),
∵函数y=
1 x
的导函数为y'=-
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
3.(2014北京文,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x. (1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围; (3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)
答案 (-ln 2,2) 解析 令f(x)=e-x,则f '(x)=-e-x. 设P(x0,y0),则f '(x0)=-ex0 =-2, 解得x0=-ln 2, 所以y0=ex0 =eln 2=2, 所以点P的坐标为(-ln 2,2).
评析 本题主要考查导数的几何意义及导数的运算,把复合函数y=e-x的导数求错是失分的主 要原因.
答案
D
由
y y
4x, x3
得x=0或x=2或x=-2(舍).
∴S=
2 0
(4x-x3)dx=
2x2
1 4
x4
2 0
=4.
评析 本题考查利用定积分求平面图形面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.
C组 教师专用题组
考点一 导数的概念及其几何意义
1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( )
的交点为M、N,分别过M、N作x轴的垂线MM'和NN',交x轴于点M'、N',如图.故所求图形的面
积等于阴影部分的面积,即S=4-2
2
0
x2 4
dx=
8 3
.故选C.
思路分析 先画出大致图象,确定积分上下限,最后利用定积分求面积. 评析 本题主要考查抛物线的性质及定积分的应用.考查学生对知识的理解及应用能力,正确 求解定积分是解本题的关键.
5.(2016课标全国Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处
的切线方程是
.
答案 y=-2x-1
解析 令x>0,则-x<0, f(-x)=ln x-3x, 又f(-x)=f(x), ∴f(x)=ln x-3x(x>0), 则f '(x)= 1 -3(x>0),∴f '(1)=-2,
1 x2
,
∴曲线y=
1 x
(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-
1 x02
,
则有k1k2=-1,即1·
1 x02
=-1,
解得 x02 =1,又x0>0,
∴x0=1.又∵点P在曲线y= 1 (x>0)上,
x
∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).
9.(2014课标全国Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=aexln x+ bex1 ,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y