【精品】2017学年四川省成都七中实验学校高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（上）期中数学试
卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分．）
1．（5分）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）
A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）
2．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2
3．（5分）直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10
4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值
为（）
A．12 B．10 C．8 D．2
5．（5分）设A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）
A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x
6．（5分）直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
7．（5分）已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB 相交，则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
9．（5分）过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（）
A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对
10．（5分）已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）
A．B．C．D．0
11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
12．（5分）如图所示，已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M
与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，
D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）
A．10 B．5 C．6 D．3
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=．
14．（5分）椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=．
15．（5分）若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=．
16．（5分）已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：
①x+y的最小值为；
②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；
③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；
④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．
以上结论正确的有（用序号表示）
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x﹣2y﹣6=0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．
18．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点；
（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．
19．（12分）（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；
（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．
20．（12分）已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．
（1）求C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B 两点，求AB的长．
21．（12分）已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1
x2，求直线L的方程．
22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．
2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（上）期中
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分．）
1．（5分）已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）
A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）
【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，
则其焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，
则c2=a2﹣b2=9，即c=3，
故其焦点的坐标为（0，3），（0，﹣3）；
故选：B．
2．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2
【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，
所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．
故选：C．
3．（5分）直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10
【解答】解：直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，
∵直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，
∴=，
∴a=0或﹣20．
故选：C．
4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值
为（）
A．12 B．10 C．8 D．2
【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．
5．（5分）设A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）
A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x
【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，
所以P在以（1，0）为圆心，
以为半径的圆上，
其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2．
故选：B．
6．（5分）直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【解答】解：直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），∵，∴点P（2，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位
置关系为相交．
故选：A．
7．（5分）已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，
y2）
线段AB中点为（1，1），∴x1+x2=2，y1+y2=2
，⇒+=0，
⇒，l的斜率是．
故选：C．
8．（5分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB 相交，则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由kx+y﹣k﹣1=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，
∴直线过定点C（1，1），
又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），
讨论临界点：
当直线l经过B点（﹣3，﹣2）时，
k BC=﹣k==，
结合图形知﹣k∈[，+∞）成立，∴k∈（﹣∞，﹣]；
当直线l经过A点（2，﹣3）时，
k AC=﹣k==﹣4，
结合图形知﹣k∈（﹣∞，﹣4]，∴k∈[4，+∞）．
综上k∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）．
故选：C．
9．（5分）过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（）
A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=16﹣k2，
所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，
又点（1，2）应在已知圆的外部，
把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，
解得：k＞2或k＜﹣3，
则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．
故选：D．
10．（5分）已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）
A．B．C．D．0
【解答】解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．
根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，
不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，
S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•y P=y P．
所以y p=．
则
=（﹣1﹣x p，﹣y P）•（1﹣x P，﹣y P）
=x p2﹣1+y p2
=4（1﹣）﹣1+y p2
=3﹣
=
故选：B．
11．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d==1，
整理得：m+n+1=mn≤，
设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，
解得：x≥2+2或x≤2﹣2，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．
故选：D．
12．（5分）如图所示，已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M
与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，
D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）
A．10 B．5 C．6 D．3
【解答】解：∵，即，
∴，∴，
又，，∴，，
∴，
∴DF2∥NQ，DF1∥NP，
∴，，∴，
根据椭圆的定义，得|DF1|+|DF2|=2a=4，
∴，
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=﹣8．
【解答】解：由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，
∴=，解得a=﹣8
故答案为：﹣8
14．（5分）椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=8．
【解答】解：∵椭圆方程：圆，
∴a2=9，b2=4，可得c2=a2﹣b2=5，
设|PF1|=m，|PF2|=n，∵∠F1PF2=90°，可得PF1⊥PF2，
m+n=6，m2+n2=20
∴36=20+2mn
得2mn=16，即mn=8，
∴|PF1|•|PF2|=8．
故答案为：8
15．（5分）若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=23或13．
【解答】解：圆x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），半径r=1，
直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后解析式为：
3（x﹣2）+4（y﹣3）+m=0，即3x+4y+m﹣18=0，
由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d==1，
解得：m=23或13．
故答案为23或13．
16．（5分）已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：
①x+y的最小值为；
②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；
③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；
④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．
以上结论正确的有①③④（用序号表示）
【解答】解：方程x2+y2+4y﹣96=0 即x2+（y+2）2=100，表示以（0，﹣2）为圆心，以10为半径的圆．
令x=10cosθ，y=﹣2+10sinθ，有x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，故①正确；
方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）即m（x﹣2y+16）﹣（2x+y﹣8）=0，
表示过x﹣2y+16=0 与2x+y﹣8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确；
过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，
A，B关于y轴对称．而切线MA=，MA 与y轴的夹角为30°，点M到AB的距离为MA•cos30°=15，故AB的方程为y=18﹣15=3，故③正确；圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，则xy的值为36或32，故④正确．
综上，①③④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x﹣2y﹣6=0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．
【解答】解：（1）联立两直线l 1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0，得交点（1，6），∵与直线x﹣2y﹣6=0垂直，
∴直线l的方程为2x+y﹣8=0；
（2）∵点P（a，1）到直线l的距离为，
∴=，
∴a=6或1．
18．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点；
（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．
【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵椭圆经过点，
∴，
解得m=，n=，
∴所求的椭圆方程为；
（2）∵椭圆的焦点为F（±，0），
∴设所求椭圆的方程为，（a2＞5），
把点（﹣3，2）代入，得，
整理，得a4﹣18a2+45=0，
解得a2=15，或a2=3（舍）．
∴所求的椭圆方程为．
19．（12分）（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；
（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．
【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，①
因为A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程①，
于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，
所以△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．
（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），
∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，
∴△ABC内切圆的半径r==2，圆心（2，2），
∴△ABC内切圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．
20．（12分）已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．
（1）求C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B 两点，求AB的长．
【解答】解：（1）∵椭圆的短轴长为4，焦距为2．∴b=2，c=1，a=，
椭圆的方程为：．
（2）由（1）得椭圆C的左焦点F1（﹣1，0），过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．
把y=x+1．代入圆的方程为：．得9x2+10x﹣15=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
AB=
21．（12分）已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1
x2，求直线L的方程．
【解答】解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），
∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切
∴=3．
解得a=2，或a=﹣8（舍去），
所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），
此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，
由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，
整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）
所以
由已知得：
整理得：7k2﹣24k+17=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，
判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，
即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0
综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，…1分
所以．即a2=2b2．…2分
又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，
∴，…3分，
则a2=2．…4分
故椭圆C的方程为．…6分
（2）由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．
△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分
且，．
∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．
当t=0时，不满足；
当t≠0时，解得x==，
y===，
∵点P在椭圆上，∴，化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分
∵＜，∴，
化简得，
∴，
∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分
∴或，
∴实数取值范围为…12分
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
O D
A
B C
E
A
O
D C
B
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
P
B
C
O
A
D
H
M
N E
G
P B
C O A
D
图1 图2
4. 如图，在⊙O 中，弦AB 丄弦CD 与E ，弦AG 丄弦BC 与F 点，CD 与AG 相交于M 点．
(1)求证：︵BD ＝︵
BG ；(2)如果AB =12，CM =4，求⊙O 的半径．
5.（1）如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA 、PB
组成⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
B
A
O
E
E
F
D
C
B
O
P
E
D
B
O
P
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

图1 图2
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