近年七年级数学下册 7.5 多边形的内角和与外角和例题精讲素材苏科版(2021年整理)

2017七年级数学下册7.5 多边形的内角和与外角和例题精讲素材（新版）苏科版
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《多边形的内角和与外角和》
【重点难点】
几何
重点:1．四边形的基本概念：
（1）四边形:平面内，四条线段首尾顺次相接，如果任何两条线段都不在同一直线上，所形成的图形叫做四边形．
（2)各部分名称：
边：组成四边形各边的线段
顶点：相邻两边的公共点
内角:从四边形内部看相邻两边所成的角,简称为角．
对角线:连结四边形不相邻的两个顶点的线段．
外角：四边形的一条边与相邻边延长线组成的角．
（3）凸、凹四边形：
考虑四边形经同一边所在的直线，四边形的其他各边都在这条直线同一侧时，这样的四边形叫做凸四边形，否则叫做凹四边形．
2．四边形的内角和与外角和定理，
四边形内角和与外角和都等于360°．
3．多边形的内角和与外角和定理:
（1)几边形：平面内n(n≥3）条线段首尾顺次相接，如果其中任何两条线段都不在同一直线上，所组成的图形叫做n边形．
（2）多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）·180°,（n≥3，n为自然数）
(3)多边形外角和定理:n边形外角和等于360°（n≥3，n为自然数)
难点：1．多边形内角和，外角和定理证明的方法，递推．
2．由已知角度求n边形边数的方法．
【讲一讲】
几何：
例1 求证：6边形的内角和为720°
分析：可以将6边形分割成几个三角形,求出三角形的内角和
证明:连AC 、AD 、AE
∵ △ABC ，△ADE ，△ACD 与△AE F 的内角和均为180°
∴ 六边形ABCDE F 的内角和为4×180°＝720°
例2 求证：n 边形的对角线有2
)3(-n n 条．
分析解答：先来看四边形，对角线如图2条，再看五边形，对角线有5条线如图，六边形对角线有9条,如图即从一个顶点,可以作（n －3）条对角线n －3是由于A 点与本身不能作对角线,与A 相邻的点即A 的边线为边不是对角线，因此只能作（n －3）条．
又一个多边形有n 个顶点，因此可作n （n －3）条． 但又如，AC 与CA 是同一条对有线，故每条都重复了两次所以一个n 边形有
2
)3(-n n 条对角线．
例3 一个正多边形，它的外角等于内角的32，求这个多边形的边数． 分析：利用多边形外角和与内角和定理，及一个外角与内角的关系，可求:由于此多边形为正多边形每个内角都相等，每个外角也都相等．
解：设它的一个内角为α，则外角为α3
2 ∴ ︒=+1803
2αα ∴ ︒=108α ∴ 它的外角为︒=︒⨯=721083
232α ∵ 多边形的外角和为360°这又是一个正多边形
572360=︒÷︒=∠n
∴ 这个多边形为5边形．
例4 如果凸多边形的边数增加一条，则它的内角和增加多少? 外角和呢?请你证明你的结论
分析及解答:由多边形内角和定理：n 边形的内角和为︒⨯-180)2(n
（n ＋1）边形的内角和为︒⨯-+180)21(n
∴ ︒⨯--︒⨯-+180)2(180)21(n n
︒=︒⨯+--+=180180)221(n n
∴ 它的内角和增加180°，而由于多边形外角和均为360°，所以当边数增加一条时外角和不变，仍为360°．
【同步达纲练习】
几何:
1．若一个多边形的内角和是外角和的5倍,则它是几边形？有几条对角线？
2．若一个多边形的每个外角都等于20°，则它是几边形？
3．若一个多边形的每个内角都等于120°,则它是几边形？
4．若一个多边形的内角都相等，它的一个内角与它相邻的外角的差为100°，求这个多边形的边数．
5．一个17边形除了一个内角之外，其余各内角之和为2570°，求这一个角．
6．若凸多边形的n 个内角与某一个外角之和是1125°，求n ．
7．有两个多边形，如果它们都是各边相等，各内角相等的多边形，且这两个多边形的边数之比为1∶2．内角之比是3∶4，则这两个多边形的边数各是多少?
8．如图，已知：四边形ABCD 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ．求证：AD ∥BC ．
参考答案
【同步达纲练习】
1．(n －2）180°＝5×360°，n ＝12
∴ 2)3(-n n ＝2)
312(12-⨯＝54条
2．n ＝360°÷20°＝18（边形）
3．每个外角均为60°，则n ＝360°÷60°＝6(边形）
4．设外角为 ,则内角为 ＋100 ∴ ＋＋100°＝180° ∴
＝40° ∴ n ＝360°÷40°＝9（边形）
5．17边形内角和为（n －2）×180°＝(17－2）×180°＝15×180°＝2700°
∴ 这一内角为2700°－2570°＝130°
6．设这个外角为 则（n －2）×180°＋ ＝1125°
∴ （n －2）×180°＝1125°－
∴ n －2＝︒-︒1801125α
∴ n ＝︒-︒1801125α
＋2＝21804562180451806+︒-︒+=+︒-︒+︒⨯α
α
∵ n 为整数 ∴ 为45° n ＝8
7．∵边数之比为1∶2 ∴ 1n ∶2n ＝1∶2 ∴ 2n ＝21n
∵ 各内角之比为3∶4 即43180)2(180)2(221
1=÷︒⨯-÷︒⨯-n n n n ，∴ 4
3)2()2(2112=--n n n n
∴ )2(3)2(42112-=-n n n n
∵ 122n n = ∴ )22(3)2(81111-=-n n n n
∴ 6616811-=-n n ∴ 510211==n n
∴ 102=n
8．∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°
又∠A ＝∠D ∠B ＝∠C
∴ ∠A ＋∠B ＝180° ∴
AD ∥BC ．。