4.2立方根学案

§4.2 立方根
学习目标：
1. 理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会求一些数的立方根；
学习过程
一、复习旧知
1． 7的平方根是 ，5的算术平方根是 ；
2．2的立方是 ；34 的立方是 ；0的立方是 ；(－3)3＝ ；(－25
)3＝ ． 观察上述结果，发现：正数的立方是 ；负数的立方是 ；0的立方是 ．
3.现有一只体积为8cm 3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
实践探索
1．如果某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，那么当它的体积增
大1倍时，这个正方体的棱长是多少？
2．做一个正方体纸盒，使它的容积为64 cm 3，正方体纸盒的棱长是多少？如果要使正方体纸盒容积为25 cm 3，它的棱长是多少？
3．类比平方根定义得到：
一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的 ，也称为 ．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的 ，数a 的立方根记作3a ，读作“三次根号a ”. 例如，4的立方是64，所以 是64的立方根，记作364 ＝4，又如x 3＝2，x 是2的立方根，记作x ＝32 ．
4．由开平方定义得到，求一个数的立方根的运算叫做开立方．
开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．
例 求下列各数的立方根． （1）64； （2）－
8125 ； （3）9．
交流：下列各数有立方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由.
8 27 ，0.001，9，－3，－64，－125216
，0． 1
1 1
三、课堂小结
立方根定义．1．立方根和平方根有何异同？2．立方根的性质及一个数的立方根的求法．
四、课堂练习 巩固新知
习题4.2．
五、达标反馈
一、判断题
1、任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.（ ）
2、负数没有立方根（ ）
3、若一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零. （ ）
二、.选择题
1、如果a 是(－3)2的平方根，那么3a 等于（ ）
A.－3
B.－33
C.±3
D.33或－33
2、若a =25-）（,b =335-）
（,则a +b 的值为（ ） A.0 B.±10 C.0或10 D.0或－10
3.下列说法中正确的是（ ）
A.－4没有立方根
B.1的立方根是±1
C.36
1的立方根是61 D.－5的立方根是35- 4、若m <0，则m 的立方根是（ ） A.3m B.－ 3m C.±3m D. 3m -
三、填空题
5、如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________. 6.327
1-=________， (38)3=________ 7.364的平方根是________.
64的立方根是________. 四、解答题
8.求下列各数的立方根（1）729 （2）－4
27
17 （3） （－5）3
9.求下列各式中的x . (1)125x 3=8 (2)(－2+x )3=－216
§4.3 实数（1）
学习目标：
1．知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，；
2．知道实数和数轴上的点一一对应；
学习过程
在研究边长为1的正方形的对角线的长是多少的问题中，我们发现了 2 ，说说你对 2 的认识．
一、实践探索 研习课本P101尝试 总结无理数和实数的概念，并对实数进行分类.
二、例题学习
例1：把下列各数填入相应的集合内：312 ，3－8 ，0，27 ，π3
，0.5，3.14159， －0.020020002，0.12121121112…
（1）有理数集合{ …}；（2）无理数集合{ …}；
（3）正实数集合{ …}；（4）负实数集合{ …}． 练习：课本P103练习．
三、课堂小结
1．怎样的数是无理数和实数？请举例说明．
2．说说你对数的认识（课后可以小论文的形式出现）．
四、课堂练习 巩固新知
1．判断正误．
（1）无理数都是无限小数． （2）带根号的数不一定是无理数．
（3）无限小数都是无理数． （4）数轴上的点表示有理数．
（5）不带根号的数一定是有理数．
2．数14 、 3 2 、π2
中，无理数有（ ）． （A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个．
3．（1）把下列各数填入相应的集合内：－7，0.32，13 ，8 ，3216 ，－π2
． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}；
实数集合：{ …}．
五、达标反馈
9的值等于（
） A ．3 B ． 3- C ．3± D 32. 在-1.414，2，π， 3.41 ，2+3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个
数为( ). A.5 B.2 C.3 D.4
3. 已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是( ). A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
4. 下列计算正确的是（ ）
A 、20=102
B 、632=⋅
C 、224=-
D 2(3)3-=-
5. 下列说法中，不正确的是（ ）．
A 3是2)3(-的算术平方根
B ±3是2)3(-的平方根
C －3是2)3(-的算术平方根 D.－3是3)3(-的立方根
6. 若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为（ ）
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．以上都不对 7. 若a a =-2)3(-3，则a 的取值范围是( ).
A. a ＞3
B. a ≥3
C. a ＜3
D. a ≤3
8. 若代数式2
1--x x 有意义，则x 的取值范围是 A ．21≠>x x 且 B ．1≥x C ．2≠x D ．21≠≥x x 且
9．若x 的立方根是－4
1，则x ＝___________． 10．已知1)12(2-++b a =0，则-20042b a +=_______.
11．(1)16461)21(3=-
+x (2) 126942-=x
§4.3 实数（2）
学习目标：
1．了解有理数的运算在实数范围内仍然适用；能用有理数估计一个无理数的大致范围；2．能利用计算器比较实数的大小，进行实数的四则运算；
学习过程
一、回顾旧知
1．在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么？
2．比较两个有理数的大小有哪些方法？
3．你能借用有理数范围内的规定举例说明无理数的绝对值、无理数的倒数、两个无理数互为相反数吗？
二、探求新知
问题1 比较 3 与7 的大小，说说你的方法．
问题2 你还会比较－7 与－1.5的大小吗？
问题3 你认为5 －1
2
与0.5哪个大？你是怎么想的？与同学交流．
问题4 通过估算，你能比较5 －1
2
与
3
4
的大小吗？
三、例题教学
例题1 利用计算器比较－39 与－4.3265 的大小（见课本P103例1）．例题2 用计算器计算．
（1） 5 ＋π；（2）3× 2 －32 ；（3）35 ＋3－( 5 ＋35 )．
课堂练习：完成课本P104练习1、2、3．
四、课堂小结
五、达标反馈
1．已知2x =，则x 等于 （ ）
A ．2
B ．414.1
C ．2±
D ．414.1±
2．化简π-3的结果为 （ ）
A ．π-3
B ．)3(π-±
C ．3-π
D ．14.0
4．下列说法中正确的是 （ ）
A ．实数的绝对值都是正数
B ．没有绝对值最大的数，也没有绝对值最小的数
C ．无理数与无理数的积一定是有理数
D ．无理数的相反数还是无理数
5．若两个实数的和为负数，积为正数，则这两个实数 （ ）
A ．同为正实数
B ．同为负实数
C ．两数异号且正实数的绝对值较大
D ．两数异号且负实数的绝对值较大
6．化简：=-32 ；
=-73.13 ；=-0)12( ． 7．比较大小：
（1）-π -3.14 ；（2）12+- 13+-；（3）3 2
8．52-的相反数是 ，21+的相反数是 ． 10．已知实数b ,a 满足03b 2a =++-，则=a b ． 11．求下列各式中的x 的值：
（1）5=x ； （2）21=
-x ； （3）52x =-
12．设7的小数部分为b,则b b ）（+4的值是
（ ） A 、1 B 、是一个无理数 C 、3 D 、无法确定
13．实数a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值为6，
求32)(cd b a x cd b a x ++++++的值
14． 已知：0172=+-a a ，求2
21a a +的值
§4.4 近似数
教学目标：
1．了解近似数的概念，体会近似数的意义及其在生活中的作用；
2．能说出一个近似数的精确度，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数． 教学重点：用四舍五入法取一个数的近似数．
教学难点：用四舍五入法取一个数的近似数．
教学过程
情境创设
（1）班级中的人数是否是精确数？北京奥运会开幕式全球收看电视的人数达40亿，这里40亿是精确数吗？
（2）生活中，有些数据是准确的，有些是近似的，你能举例说明吗？
给出近似数
实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度、时间、速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同.在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子. 探讨如何确定近似数
取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法.用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
例如，圆周率＝3.1415926…
取π≈3，就是精确到个位（或精确到1），
取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1），
取π≈3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01），
取π≈3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）．
例题教学
例1 小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg ，按下列要求取近似值．
（1）精确到0.01kg ；（2）精确到0.1kg ；（3）精确到1kg ．
答：（1） （2） （3）
例2 用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示．
（1）地球上七大洲的面积约为149 480 000 （km ）2（精确到10 000 000（km ）2）；
（2）某人一天饮水1 890mL （精确到1 000mL ）；
（3）人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000 077cm （精确到0.000 01 cm ）．
达标反馈
一、判断题
1、如果b 是a 的三次幂，那么b 的立方根是a .（ ）
2、任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.（ ）
3、负数没有立方根（ ）
4、如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0.（ ）
5、3a 一定是a 的三次算术根. （ ）
6若一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零. （
） 二、.选择题
1、如果a 是(－3)2的平方根，那么3a 等于（ ）
A.－3
B.－33
C.±3
D.33或－33
2、若a =25-）（,b =335-）（,则a +b 的值为（ ）
A.0
B.±10
C.0或10
D.0或－10
3.下列说法中正确的是（ ）
A.－4没有立方根
B.1的立方根是±1
C.361的立方根是61
D.－5的立方根是35-
4、若m <0，则m 的立方根是（ ） A.3m B.－ 3m C.±3m D. 3m -
三、填空题
5、如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________. 6.3271
-=________， (38)3=________
7.求下列各式中的x . (1)125x 3=8 (2)(－2+x )3=－216
第四章 实数小结与复习
学习目标
1. 进一步巩固实数的定义性质及其运算规律。

2. 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。

知识梳理
一．数的开方主要知识点：
【1】平方根：
1.如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当
)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：
（1）当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
（2）当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记 做： a x ±=。

当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.填空
（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；
（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是
（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？
【算术平方根】：
1.如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根， 记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同 构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而 平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.
（1）下列说法正确的是（ ）
A ．1的立方根是1±
B ．24±= C.81的平方根是3± D.0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A.981±=
B.14.314.3-=-ππ
C.3927-=-
D.235=
- （3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

【立方根】
1. 如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

记做：3a ，读作， 3次根号a 。

注意：这里的3表示的是开根的次数。

一般的，平方根可以省写根的次数， 但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个 数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3.
（1）64的立方根是
（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）
A. 1000000
B. 1000
C. 10
D. 10000
（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2， ④()4832
±=±。

其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
【无理数】
1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是 无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、 ⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、
其中是有理数的有 ；是无理数的有 。

（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个
A 2
B 3
C 4
D 5
【实数】
1.有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值 最小的实数是0，最大的负整数是-1。

2.实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a
1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)
0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大 于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大 的反而小。

（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们 可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法 则和运算顺序与有理数的一致。

例5.
（1）下列说法正确的是（ ）；
A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；
B 、数轴上的点与有理数一一对应
C 、1和2之间的无理数只有2 ；
D 、不带根号的数都是有理数。

（2）比较大小(填“>”或“<”). 3 10 3-
320， 76______67， 2
15- 21，
第四章实数测试题
一、选择题
1.下列四个数中，是负数的是 （ ）
A ．2-
B ．()22-
C 2
D ()22-
2．下列语句正确的是（ ）
A.无尽小数都是无理数
B.无理数都是无尽小数
C.带拫号的数都是无理数
D.不带拫号的数一定不是无理数。

3．和数轴上的点一一对应的数是（ ）
A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数
4．在3，0，﹣2，﹣
四个数中，最小的数是（ ）
A ．3
B ．0
C ．﹣2
D ．﹣
5．下列各式成立的是（ ）
A ．
=±5 B ．± =4 C ． =5 D ． =±1
6．﹣2的绝对值是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．1 7．估计的值在（ ）之间．
A ．1与2之间
B ．2与3之间
C ．3与4之间
D ．4与5之间
8．在3.14，227
，3364，π这五个数中，无理数的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
9．一个数的平方是4，这个数的立方是 （ ）
A ．8
B ．-8
C ．8或-8
D ．4或-1
10．一个数的算术平方根的相反数是123
-，则这个数是 （ ） A ．97 B ．493 C ．949 D ．499
11．下列运算中，错误的有 （ ） 5112
=251144； ±4=2（-4）2==-22-22； 11134424+=+=116
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
12． 9的平方根是 ，9的算术平方根是 ．
135a 与a ＋1之间，则a ＝_______．
14x 4y 10-+=2，则x= ；y=
1532之间的所有整数是
16．若5x+17的立方根是3，则2x+12的平方根是
17．某数的两个不同平方根为2a －1与－a+2，则这个数为
18．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰 到地面，经测量AB ＝2米，则树高为 米。

三、解答题
19．计算： （136
2714（2）233-8-16.0）（+
20．求下式中x 的值：
（1）9x 2=64 （2）()22116x += （3）1x -24
=3 （4）()02713=--x
21．已知2x －1的平方根是±6，2x+y －1的算术平方根是5，求2x －3y+11的平方根.
22．如图，一个长为5m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m ．
（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；
（2）若将梯子的底端向墙推进1m ，求梯子的顶端升高了多少米；
（3）若使梯子的顶端距地面4.8m ，此时应将梯子再向墙推进多少米？
23.有两根电线杆AB，CD，AB＝5m，CD＝3m，它们的底部相距8m．现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE，CE．
(1)要使AE＝CE，那么点E应该选在何处？作出E点位置，并求出BE的长；
(2) 要使AE+CE最小，那么点E应该选在何处？作出E点位置，并求出AE+CE的最小值；（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，第2小题结果保留根号）。