安徽省滁州市九校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题含答案

滁州市2023~2024学年第二学期高二期中考试
数学试题（答案在最后）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章一第七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数
()
f x
在0
x x=
处的导数为2，则
()()
00
lim
x
f x x f x
x
∆→
-∆-
=
∆（）
A.2-
B.2
C.1
2- D.
1
2
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义，即可求解.
【详解】
()()()()
() 0000
0 00
lim lim2 x x
f x x f x f x x f x
f x
x x
∆→∆→
-∆--∆-
'
=-=-=-∆-∆
．
故选:A．
2.已知随机变量X的分布列为
X51015
P
25
6
p+2
52
6
p p
-
6
p
则p=（）
A.1
3 B.
1
3- C.
1
2
D.1
2
或
1
3-
【答案】C 【解析】
【分析】由分布列的性质有()()()510151P X P X P X =+=+==，可求p 的值.
【详解】由分布列的性质，得225521666
p p p p
+-++=，
即()()21310p p -+=，解得12p =或13p =-，当p =1
3-时，06
p <，不符合分布列的性质，所以12p =.
故选：C.
3.已知数列{}n a 满足11a =-，*
1(1)10(N )n n a a n +-+=∈，则数列{}n a 的前9项和为（
）
A.6
B.
92
C.3
D.
32
【答案】B 【解析】
【分析】利用数列递推公式对n 进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得9S .【详解】因11a =-，由*
1(1)10(N )n n a a n +-+=∈可推得，11
1n n
a a +=
-，则211112a a =
=-，32121a a ==-，43
1
11a a ==--，, 故数列{}n a 是周期为3的数列，
从而数列{}n a 的前9项和为912319
3()3(12)22
S a a a =++=-++=.故选:B .
4.已知随机变量()1,4X N ~，则()35P X <≤=（）
注：若()2
,X N μσ ，则()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈.
A.0.3413
B.0.4772
C.0.1359
D.0.06795
【答案】C 【解析】
【分析】根据正态曲线的性质求出(13)P X <<和(15)P X <≤即可求出(35)P X <≤.【详解】因为()1,4X N ~，即1μ=，2σ=，
所以()()
0.6826
130.34132
2
P X P X μσμσ-<≤+<<=
≈
=，()()
220.9544
150.4722
2
P X P X μσμσ-<≤+<≤=
≈
=，所以()()()3515130.4720.34130.1359P X P X P X <≤=<≤-<<≈-=.故选：C.
5.在递增的等比数列{}n a 中，1a ，5a 是方程234640x x -+=的两根，则23a a +=（）
A.4
B.12
C.24
D.12或24
【答案】B 【解析】
【分析】根据一元二次方程的根，结合等比数列的性质即可求解12a =，532a =，进而可得公比，由等比数列基本量的计算即可求解.
【详解】234640x x -+=的两个根为12x =，232x =，设数列{}n a 的公比为q ，由已知0q >，
由于1a ，5a 是方程234640x x -+=的两根，且等比数列{}n a 是递增数列，
所以12a =，532a =，所以4
5
1
16a q a =
=，所以2q =，所以24a =，38a =，2312a a +=．故选：B ．6.函数()3
21313
f x x x x =
+-+，则下列结论错误的是（）
A.()f x 在区间()0,2上不单调
B.()f x 有两个极值点
C.()f x 有两个零点
D.()f x 在(),0∞-上有最大值
【答案】C 【解析】
【分析】对()3
21313
f x x x x =
+-+求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可．【详解】定义域为(,)-∞+∞，求导即()()()2
2331f x x x x x '=+-=+-，
令()0f x '=，解得123,1x x =-=．
显然在(),3∞--和()1,∞+上()0f x '>，故()f x 在(),3∞--和()1,∞+上单调递增；在()3,1-上()0f x '<，故()f x 在()3,1-上单调递减．
所以3x =-为()f x 的极大值点，1x =为()f x 的极小值点，且()100f x =>极大值，()2
03
f x =-<极小值，草图如下.
所以ABD 正确，C 错误．故选：C ．
7.某机构拟对其所管辖的6个部门中的4个部门的负责人进行调整，被调整的4人将到其余部门任负责人（不在原部门），每个部门只有一个负责人，调整方案的种数为（）
A.360种
B.270种
C.200种
D.135种
【答案】D 【解析】
【分析】先由2
615C =选出不调整的两个部分，进而根据分步计数原理即可求解.【详解】先从6人中选出不作调整的两个，有2
615C =种，
再把余下的4部门负责人调整到其他部门，假设4个部门为A ，B ，C ，D ，对应的4位原负责人分别为a ，b ，c ，d ，
则a 可以调整到B ，C ，D 中的任一部门，有3种情况，假设a 分到B 部门，则b 也有3种情况，剩下的两人有1种情况，故有339⨯=种情况，所以调整方案共有159135⨯=种．故选：D ．
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用m x ∣表示整数x 被m 整除，设
*,,a b m ∈∈Z N 且1m >，若()m
a b -∣，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡.已知01611514215
16161616C 5C 5C 5C 5a =⨯-⨯++⨯-⨯ ，则（
）
A.()2030mod7a ≡
B.()2031mod7a ≡
C.()2032mod7a ≡
D.()
2033mod7a ≡【答案】D 【解析】
【分析】根据新定义，结合二项式定理可知()3mod7a ≡，再确定2030,2031,2032,2033中被7整除余3的数，即可得解.
【详解】由二项式定理，得
0160115115151601616161616
C 5(1)C 5(1)C 5(1)C 5(1)1a =⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯-- 16168(51)141(142)1
=--=-=+-0801717178088888C 142C 142C 142C 1421=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯- ，
因为080171717
888C 142C 142C 142⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 能够被7整除，
8088C 1421255⨯⨯-=被7除余3，则()3mod7a ≡，
又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，所以()2033mod7a ≡.故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.若1n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（
）
A.第4项
B.第5项
C.第6项
D.第7项
【答案】CD 【解析】
【分析】根据二项式系数的性质即可求解.
【详解】因为1n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以38
C C n n =；所以11n =，
由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．故选：CD ．
10.2024年3月，
中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A ，B ，C ，D ，E 站成一排合影留念，则下列说法正确的是（）
A.若A 与B 相邻，则有48种不同站法
B.若C 与D 不相邻，则有24种不同站法
C.若B 在E 的左边（可以不相邻）
，则有60种不同站法D.若A 不在最左边，D 不在最中间，则有78种不同站法【答案】ACD 【解析】
【分析】利用捆绑法求A 与B 相邻的排法数，判断选项A ；利用插空法求C 与D 不相邻的排法数，判断选项B ；根据倍缩法求B 在E 的左边的排法数，判断选项C ；优先考虑A 的位置，结合排列知识和两大计数原理求A 不在最左边，D 不在最中间的排法，判断选项D.【详解】若A 与B 相邻，则有2
4
24A A 48=种不同站法，A 正确；若C 与D 不相邻，则有32
34A A 72=种不同站法，B 错误；若B 在E 的左边（可以不相邻），则有5
51A 602
=种不同站法，C 正确；若A 不在最左边，D 不在最中间，
当A 排在最中间时，满足条件的排法有4
4A 24=种，当A 不排在最中间时，满足条件的排法有1
1
3
333C C A 54=种，故共有245478+=种不同排法，D 正确.故选：ACD.
11.已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且对任意的x ∈R ，都有()()20f x f x '+>，则下列正确的是（）
A.()()ln 20f <
B.
()()
ln 21<
C.
()()
21f f < D.()()
2e 4f f <【答案】BD 【解析】
【分析】令()()2
e x
g x f x =，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()()()()0ln 2124g g g g g <<<<，
从而得解.
【详解】令()()2
e x
g x f x =，所以()()()()()222
11e e e 222x x x g x f x f x f x f x '''⎡⎤=+=+⎣
⎦，因为()()20f x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在R 上单调递增，所以()()()()()0ln 2124g g g g g <<<<，即(
)(
)()()()20ln 21e 2e 4f f f <
<<<，
()()21f >，()()2e 4f f <，故AC 错误，BD 正确．故选：BD ．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.函数()2
ln 21f x x x x =++的图象在点()()
1,1f 处的切线方程是______.
【答案】30x y -=【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程化简求解即可.【详解】由()2
ln 21f x x x x =++知()13f =，()2ln 2f x x x x =++'，所以()13f '=，
故所求切线方程为()331y x -=-，即30x y -=.故答案为：30
x y -=13.一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X ，则32X +的方差为______．【答案】185
【解析】
【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得()D X ，由方差性质即可求解.【详解】由题意，X 满足超几何分布，且X 的取值为0，1，2，
则()023326C C 10C 5P X ===，()1133
26C C 1C P X ==35=，()20332
6
C C 12C 5P X ===，()1310121555
E X =⨯+⨯+⨯=，()()()2213011155D X =⨯-+⨯-+()2
122155⨯-=，
所以()()2
218323955
D X D X +==⨯=．
故答案为：
185
14.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为*
1
,,2n n n n
S n a S a ∀∈=
-N 恒成立，则数列{}n a 的通项公
式为____________;数列()111n n n n S S S S ++⎧⎫⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
的前n 项和等于____________．
【答案】①
.
②
.11
n -
+【解析】
【分析】当1n =时，求出1a ，当2n ≥时，11
1n n n n S S S S ---=+，求出{}2
n S 为等差数列，得到n S ，当2
n ≥时，1n
n n a S S -=-，求出n a ，检验1n =是否满足，写出表达式;
根据n S ，利用分母有理化和裂项相消法，求解前n 项和.【详解】当1n =时，1111
11
2a S a a =
=-，又10a >,所以11a =；
当2n ≥时，11
1n n n n S S S S ---=
+，所以22
11n n S S --=，
所以数列{}
2
n S 为等差数列，所以2
2
1(1)1n S S n n =+-⨯=,又0n a >,
所以=
n S ,
所以当2n ≥
时，=
n a 显然1n =
时上式成立，故=
n a (
)111n n n n S S S S ++===+故数列()111n n n n S S S S ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
的前n
项和
111n T n =
==-+ ．
11
n -
+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知2
n
x ⎛
- ⎝
的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46．（1）求展开式中所有项的系数的和：（2）求展开式中的常数项．【答案】（1）1-（2）2304【解析】
【分析】（1）根据二项式系数的概念，结合组合数的计算可得9n =，即可利用赋值法求解系数和，（2）利用通项特征即可求解8r =，代入即可求解.【小问1详解】
因为2
n
x ⎛ ⎝
的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46，所以012
C C C 46n n n ++=，即()11462
n n n -++
=，2900n n +-=，解得9n =或10n =-（舍）
．令1x =，则()9
9
2
11x ⎛-=-=- ⎝
，所以展开式中所有项的系数的和为1-．【小问2详解】
由（1）知二项式为9
2
x ⎛
⎝
，所以二项展开式的通项为()
()9
91824199
C C 2,0,1,2,,9r
r
r r r
r
r T r x
x --+==⎛=⋅-- ⎝
，
令9
1804
r -
=，得8r =，所以展开式中的常数项为()8
8
99C 22304T =⋅-=．
16.在等差数列{}n a 中，*
115,,1,n n n a a a a +∀∈>=N 是2a 和910a +的等比中项．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若2n
n n
a b =
，求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-（2）23
32n n
n S +=-【解析】
【分析】（1）根据等比中项的性质得到方程解出公差则得到通项；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】
设数列{}n a 的公差为d ,由*1,n n n a a +∀∈>N ，得0d >,因为151,a a =是2a 和910a +的等比中项，
所以2(14)(1)(1810)d d d +=+++,化简，得2811100d d --=,解得2d =,或5
8
d =-（舍），所以21n a n =-．【小问2详解】
由（1）得21
2n n
n b -=
，所以12313521
2222n n
n S -=++++ ，
两边同乘以1
2，得234111352122222n n n S +-=++++ ，
两式相减，得231
1122221
222222
n n n n S +-=++++- 21111
1111211
121222112222212n n n n n n -+-+⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+⨯-=+---132322
n n ++=
-，所以23
32n n n S +=-．
17.某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．
（1）用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产
品中来自甲生产线的产品个数有X 个，求X 的分布列与数学期望；（2）消费者对该公司产品的满意率为
3
4，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有Y 人，求至少有3人满意的概率及Y 的数学期望与方差．【答案】（1）分布列见解析；()43
E X =（2）()4593512P Y ≥=，()154E Y =，()15
16
D Y =【解析】
【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到X 的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望.
（2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得.【小问1详解】
1000.220⨯=，1000.110⨯=，
20642010⨯=+，10
622010
⨯=+，
故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线，则X 的所有可能取值为0、1、2，
()6402
22C C 1
0C 15P X ===，
()1142
2
6C C 81C 15
P X ===，()242
6C 62
2C 155
P X ====，则其分布列为：
X
12P
115
815
25
则()1824012151553
E X =⨯
+⨯+⨯=；【小问2详解】由题意可得35,
4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝
⎭
，
则()3
24
15
3455553333333C 1C 1C 1444444P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
≥=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
270405243918459
1024102410241024512
=
++==，()315
544
E Y =⨯
=，()3315514416D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.
18.已知函数()()1
1ln f x a x ax x =-++
，a ∈R ．（1）当2a =时，求函数()y f x =在1
,e e ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上的值域（e 2.718≈）；
（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）13,2e 1e ⎡⎤+-⎢⎥⎣
⎦
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得()1
ln 2f x x x x
=-++，再求导后分别求出单调性，从而可求解.（2）对函数()f x 求导得()()()2
11ax x f x x +-'=，然后分情况讨论a 的情况，再结合导数求出相关单调性，
从而可求解.【小问1详解】
当2a =时，()1
ln 2f x x x x
=-++
，定义域为()0,+∞，则()()()2222222111121212x x x x x x f x x x x x x
+-----=-+-=='=，令()0f x '=，得1x =或1
2
x =-
(舍去)，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增，所以当1x =时，()f x 取到极小值也是最小值，所以当1,e e
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，12e 1e e f ⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭，()1
e 2e 1e
f =+-，又因为()13f =，因为()1121
e 2e 1e 1e 20e e e e
f f ⎛⎫-=+
----=--> ⎪⎝⎭
，
此时()()max e f x f =，()()min 1f x f =，故()f x 在1
,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1
3,2e 1e ⎡
⎤
+-⎢⎥⎣⎦.
【小问2详解】
()()11ln f x a x ax x =-++，()()()()2
222111111ax a x ax x a f x a x x x x
+--+--=+-='=，当0a =时，()1ln f x x x =+
，()21x f x x
='-，当()0,1x ∈，()0f x '<，当()1,x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当0a ≠时，令()0f x '=，得1
x a
=-
或1x =，当0a >时，()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当10a -<<时，当()10,1,x a ⎛⎫∈⋃-
+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭，()0f x '>，
所以()f x 在区间()10,1,,a ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当1a =-时，()()()
()2
2
2
1110
x x x f x x
x
-+--='-=
≤所以()f x 在区间()0,+∞单调递减；当1a <-时，当()10,1,x a ⎛
⎫∈-
⋃+∞ ⎪⎝
⎭时，()0f x '<，当1,1x a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，
所以()f x 在区间()10,,1,a ⎛
⎫-
+∞ ⎪⎝
⎭单调递减，在区间1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
单调递增；综上所述：当0a ≥时，()f x 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增；当10a -<<时，()f x 在区间()10,1,,a ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减，在区间()1,+∞单调递增；
当1a =-时，()f x 区间()0,+∞单调递减；当1a <-时，在区间()10,,1,a ⎛⎫-
+∞ ⎪⎝
⎭单调递减，在区间1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
单调递增.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；
（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19.我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件A 发生的概率为(01)p p <<，将试验进行至事件A 发生r 次为止，用X 表示试验次数，则X 服从负二项分布（也称帕斯卡分布）
，记作~(,)X NB r p .为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量(2)X X ≥，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为13
.（1）求(4)P X =;
（2）若抽取的家庭数X 不超过n 的概率不小于2
3
，求整数n 的最小值.【答案】（1）427
（2）7【解析】
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）利用错位相减法求取的家庭数X 不超过n 的概率，再结合数列的单调性求解即可.【小问1详解】
2
13
1214
(4)C 33327
P X ⎛⎫==⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭.【小问2详解】
因为2
2
11
12112()C (2)33393i i i i P X i i ----⎛⎫
⎛⎫==⨯⨯⨯=⨯≥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.
所以抽取的家庭数X 不超过n 的概率为2
()(2)(3)()n
i P P X i P X P X P X n ==
===+=++=∑ ，
即0
1
2
2
1222321293939393n n P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，
1
2
2
1
212222212393939393n n n n P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
两式相减，得01221
11222212,39333393n n n P --⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯++++-
⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
所以11211123233313n n n P --⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎣⎦111
212221133333n n n n n ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
由1
2221333n n P -+⎛⎫
=-⋅≥ ⎪
⎝⎭，得1
2(2)13n n -⎛⎫+⋅≤ ⎪⎝⎭
，
令1
2(2)(2)3n n a n n -⎛⎫=+⋅≥ ⎪⎝⎭
，
则1
2
1221(2)(1)333n n n n n a a n n ----⎛⎫⎛⎫
-=+⋅-+⋅=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.2
20(3)3n n -⎛⎫
<≥ ⎪⎝⎭
，
所以1n n a a -<，所以数列{}(2)n a n ≥是递减数列，
因为56
67225626481,913243381a a ⎛⎫⎛⎫=⨯=>=⨯=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以整数n 的最小值是7.。