空间曲面和空间曲线

M ( x , y , 0 ) M ( x , y , 0 ) M ( x , y , z ) 点 ， 即 点 在 过 点 的 母
M ( x , y , z ) F ( x , y ) 0 线 上 ， 于 是 点 必 在 柱 面 上 ， 故 方 程
z 轴的 柱面 表 示 平 行 于 。
平行于 z 轴的 F ( x ,y ) 0 一 般 地 方 程 表 示 母 线 ；
动 直 线 L 沿 给 定 曲 线 C 平 行 移 动 所 形 成 的 曲 面 ， 称 为
柱 面 。 动 直 线 L 称 为 柱 面 的 母 线 ， 定 曲 线 C 称 为 柱 面 的 准 线 。
z
xoy 现 在 来 建 立 以 面 上 的 曲 线 F ( x , y ) 0 , M (x ,y ,z) 平 行 于 C ： 为 准 线 ， L z 0 .
22 2 2 x y z a ( z 0 ) 2 例 4 ． 方 程 组 a a 22 ( x ) y ( a 0 ) 4 2
表 示 上 半 球 面 和 圆 柱 面 的 交 线 L 。
z
a
L
o
x
a
a
y
222 x y R 例 5 ． 方 程 组 z 2 2 22 x y z R xoy 表 示 圆 柱 面 与 球 面 的 交 线 ， 它 是 平 面 上 的 一 个 圆 。
得方程， ( x ,y ) 0 它表示母线平行于 柱面 z轴的 1
( x , y ) 0 1 曲线 L 在 xoy 面上的 就 是 投 影 曲 线 的 z 0
消 x 与 去 y 曲 L 的 线 方 程 中 同 样 ， 从 分 别 ， 得 到 柱 面
( x , z ) 0 ( y , z ) 0 方 程 与 ， 则 3 2
v 而参 数为 b ， 这 时 。
（ 三 ） 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影
L 和平面 已 知 空 间 曲 线 ，
平面 从 L 上 各 点 向 作 垂 线 ，
1 ． 空 间 曲 线 在 平 面 上 的 投 影 的 概 念 L
L1 曲线 L 垂 足 所 构 成 的 称 为 曲 1 平 面 线 L 在 上 的 投 影 曲 线 。
点 M 的坐 标 有 相 同 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ， 故 也 必 满 足 方
F ( x , y ) 0 程 。
M ( x , y , z ) F ( x , y ) 0 反 之 ， 若 空 间 一 点 满 足 方 程 ， 则
M ( x , y , z ) z 轴 平必 行 的 直 过 点 且 与 通 过 准 线 C 上 的
§ 7 . 4 空 间 曲 面 和 空 间 曲 线
本 节 以 两 种 方 式 来 讨 论 空 间 曲 面 ： （ 1 ） 已 知 曲 面 的 形 状 ， 建 立 这 曲 面 的 方 程 ；
（ 2 ） 已 知 一 个 三 元 方 程 ， 研 究 这 方 程 的 图 形 。
7 . 4 . 1
空 间 中 与 一 定 点 等 距 离 的 点 的 轨 迹 叫 球 面 。
z 3 z 1 （ 舍 去 ） ， 。
2 2 2 x y z 3 交 线 L 也 可 表 示 为 ： ， 消 去 z ， z 1 2 2 xoy 得 交 线 L 关 于 面 的 投 影 柱 面 方 程 ： x y 2 。
z
P ( r , 0, 0 ) 处 在 ， 求 质 点 的 运 动 方 程 。
经 t质 过 时 t为 间 解 ： 取 参 数 ， 点 的
PQ x 面 o y P ( x ,y , z ) 位 置 为 ， 作 ，
P Q ( x ,y , 0 ) 垂 足 为 ， 则 从 P 所 到
t 经 过 的 角 ， 上 升 的 高 度 为
曲 L 线 xoy 称 为 空 间 关 于 面 的 投 影 柱 面 ， 此 投 影 柱 面
曲 L 线 xoy xoy 与 面 的 交 线 称 为 在 面 上 的 投 影 曲 线 。
xoz yoz 曲线 L 同 样 可 以 定 义 关 于 面 、 面 的 投 影 柱 面
和 投 影 曲 线 。
2
F ( x ,y , z ) 0 消去z 曲L 线 设 空 间 的 一 般 方 程 为 ， G ( x ,y , z ) 0
M ( x , y , z ) 求 球 心 在 点 ， 半 径 为 R 的 球 面 方 程 。
M ( x , y , z ) M M R 设 为 球 面 上 的 任 一 点 ， 则 有 ，
2 2 2 即 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R ， 化 简 得 ：
2 2 2 x 2 x 1 y 4 y 4 z 6 z 9 5 1 4 9 解 ： ，
2 2 2 2 ( x 1 ) ( y 2 ) ( z 3 ) 3 ，
( 1 , 2 , 3 ) 方 程 表 示 以 为 球 心 ， 3 为 半 径 的 球 面 。
F ( x ,y ,z ) 0 若 曲 面 的 方 程 分 别 为 与 1与 2 G ( x ,y ,z ) 0 ， 则 其 交 线 L 的 方 程 为
F ( x , y , z ) 0 G ( x , y , z ) 0
①
方 程 组 ① 称 为 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 。
x o y L 在 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 。
2 2 2 x y z 3 ( 1 ) 解 ： 交 线 L 为 2 2 x y 2 z ( 2 )
o
x
y
2 ( z 3 )( z 1 ) 0 z 2 z 3 0 ( 1 ) － ( 2 ) 得 ， ，
x , y , z 空 间 曲 线 L 上ห้องสมุดไป่ตู้动 点 M 的 坐 标 也 可 以 用 另 一 个
变量 t 的 函数来表示，即
x x ( t ) y y ( t ) z z ( t )
②
当 t 取定一个值时 ， 由 方 程 组 ② 就 得 到 曲 线 上 一 点
通 t 的 过 变 动 的 坐 标 ， ， 可 以 得 到 曲 线 上 所 有 的 点 ，
平 面 准 线 为 曲 线 L 而 母 线 垂 直 于 的 柱 面 称 为 空 间
平面 柱 面 与 的 交 线 。
曲线 L 平面 曲 线 L 关 于 的 投 影 柱 面 。 投 影 就 是 投 影 1
曲 L 线 平 z 轴 行 的 于 特 殊 地 ， 以 为 准 线 ， 母 线 柱 面
o
y
z 轴的直线 L 为 母 线 的 柱 面 方 程 。 C
x
M ( x ,y , 0 )
M ( x , y , z ) 平z 行 轴 设 为 柱 面 上 任 一 点 ， 过 M 点 作
xoy M ( x , y ,0) 的 直 线 ， 交 面 于 点 ， 由 柱 面 定 义 可 知 点
F ( x , y ) 0 M 必在准线 C 上 点 M 与 M ， 故 有 。 由 于
解：设 M (x ,y ,z) 为柱面上任意一点
沿母线 ,M 对应准线上一点 M ( x ,y ,z ) 0 0 0 0
x x y y z z L 的 而 方 程 为 ， 其 参 数 方 程 为 1 0 1
x x t x x t y y 代 入 准 线 方 程 ， 得 y y z z t z z t
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 。 ①
x y z 0 当 时 ， 即 球 心 在 原 点 的 球 面 方 程 为
2 2 2 2 x y z R 。 ②
z
o
x
y
2 2 2 x y z 2 x 4 y 6 z 5 0 例 1 . 指 出 方 程 表 示 何 种 曲 面 。
2 即 t z 2 ( 1 ) ( 2 ) 得 ( z t ) 0 ， ，
( 3 ) 代入 ( 1 ), 消去 t,
2 2 ( x z ) y 1 得 所 求 柱 面 方 程 为 。
7 . 4 . 2
（ 一 ） 空 间 曲 线 的 一 般 方 程
与 的 空 间 曲 线 L 可 以 看 作 两 个 曲 面 交 线 。 1 2
z
z
y y
o
x
x
o
例 2 ． 指 出 下 列 方 程 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 分 别 表 示 什 么 图 形 ？
22 x y 平 z 轴 行 的 于 母 线 椭 圆 柱 面 。 1 （ 1 ） ， 9 16
2
z 2 x 平行 y 轴的 母 线 抛 物 柱 面 。 （ 2 ） ，
( y , z ) 0 ( x , z ) 0 2 3 曲 L 线 与 分 别 是 在 0 y 0 x
yoz 面 xoz 面 和 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 。
22 2 x y z 3 例 7 ． 求 球 面 与
z
22 x y 2 z 旋 转 抛 物 面 的 交 线
注 意 ： 表 示 空 间 曲 线 的 方 程 组 不 是 唯 一 的 。
o
y
2 22 2 22 2 x y z R x y R 例 如 或 z 0 0 z
x
也 表 示 同 一 个 圆 ， 一 般 地 ， 用 两 个 方 程 的 组 合 代 替 方 程 之 一 ， 仍 表 示 同 一 曲 线 。
xy 1 平行 z 轴 的 （ 3 ） ，母 线 双 曲 柱 面 。
22 z y 平行于 x 轴的 线 双 曲 柱 面 。 1 （ 4 ） .母 4 9
a i k 例 3 ． 求 母 线 平 行 于 向 量 ， 准 线 为 M 2 22 x y z 1 的 柱 面 方 程 。 2 2 2 M0 2 x 2 y z 2
QP vt ， 即 质 点 的 运 动 方 程 为 ：
x
P
o
P
Q
y
x r cos t y r sin t z vt
此方程称为圆柱螺旋线方程。
t 若 令 ， 则 螺 旋 线 方 程 为
x r cos y r sin z b
2 2 2 ( x t) y ( z t) 1 ( 1 ) 2 2 2 2 ( x t ) 2 y ( z t ) 2( 2 )
2 2 2 ( x t ) y ( z t ) 1 ( 1 ) z t ( 3 )
t 为 方 程 组 ② 称 为 曲 线 L 的 参 数 方 程 ， 参 数 。
2 22 角速 x y r 例 6 ． 设 质 点 在 圆 柱 面 上 以 均 匀 的
绕 z 轴， 旋 转 线v 速 向 度 z 轴 同 时 又 以 均 匀 的 平 行 于
即 t 0 时 方 向 上 升 。 运 动 开 始 ， ， 质 点
平行于 x 轴的 H ( y , z ) 0 方 程 表 示 母 线 ；
平行于 y 轴的 G ( x , z ) 0 方 程 表 示 母 线 。
方 程 x y a 表 示 圆 柱 面 ；
2 2 2
z
2 方 程 y 2 Px 表 示 抛 物 柱 面 ；
2 2 y x y o 1 方 程 表 示 双 曲 柱 面 。 2 2 a b x