人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_4

3.1 变化率与导数
教学目标：
1.理解平均变化率的概念; 平均变化率的几何意义;
2.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
3.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
4.会求函数在某点的导数. 教学重点：
平均变化率的概念、瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点：
平均变化率的概念. 导数的概念. 教学过程： 一、创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是3
3
4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-
气球的平均膨胀率为)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-
气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1
212)
()(V V V r V r --
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2
++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度
在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
在21≤≤t 这段时间里,)/(2.81
2)
1()2(s m h h v -=--=
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子
1
212)
()(x x x f x f --表示,
称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.
2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用
x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)
则平均变化率为=
∆∆=∆∆x f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111
212 思考: 观察函数)(x f 的图象
平均变化率=
∆∆x
f
1212)()(x x x f x f --表示什么?
探究: 计算运动员在49
65
0≤
≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ （三）.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:
思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？
结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速
度v 都趋近于一个确定的值13.1-.
从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -
为了表述方便,我们用0(2)(2)
lim
13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-”
小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似
值过渡到瞬时速度的精确值.
（四）.导数的概念
从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:
0000()()lim
lim
x x f x x f x f
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'
|x x y =
即0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
说明: (1) x ∆可正可负。

(2) 导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; 三、典例分析
例1 (1)求函数2
x y =在1=x 处的导数.
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第
xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第
6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
四、课堂练习
1.2
2、
3、=---=→h
x f h x f x f h )
()21
(lim ,2)(000'则若
五、回顾总结 1.平均变化率的概念.
2.瞬时速度、瞬时变化率的概念.
3.导数的概念. 六、布置作业 P79-1、2、3
七、教学反思：本节课主要是对导数的概念的理解，从学生熟悉的两个生活问题入手，便于学生理解，利用课件更加形象地理解其定义。

但整堂课的容量较大，主要是引入过久，导致学生的思考不够，变得课堂有点赶，应该删掉一个例题较好。