黑龙江省哈三中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题(1)

黑龙江省哈三中2019—2020学年高一数学下学期期末考试试题
考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A ．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B ．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C ．圆柱的上底面下底面互相平行
D ．五棱锥只有五条棱
2．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．2
b ab > B ．2
ab a
>
C ．2
2a
b >
D ．a b <
3．已知一个水平放置的平面四边形ABCD 的直观图是面积为2的
正方形，则原四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．2
B ．
2
C ．
D ．
4．已知{}n
a 是公差为2的等差数列,且2
153a a a =+，则8a =（ )
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
5．
ABC 中，sin cos sin cos A A B B =，则ABC 为（
）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直
角三角形
6．已知m ，n 为两条不同的直线，α,β，γ为三个不同的平面,下列命题正确的是（ ） ①若//m α，//αβ,则//m β； ②若//αβ，m α
γ=，n βγ=，则//m n ；
③若n α⊥，m α⊂，则m n ⊥；
④若直线m 用与平面α内的无数条直线垂直，则m α⊥． A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．②④
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ )
A ．43
B ．4
C ．2
D ．23
8．函数()2
222
y x x x =+>-的最小值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
9．已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为2，则圆锥的表面积为
（ ） A 3
π B ．π
C ．2π
D ．3π
10．在正方体11
1
1
ABCD A B C D -中，1AB =，则点1
A 到平面1
1
AB D 的距离为（ ）
A ．
3
3
B ．3510
C ．3
1020
D ．
32
11．已知A ，B ，C 为直线l 上的不同三点,O 为l 外一点,存在实数
(),0,0m n m n >>，
使得OC =94mOA nOB +成立,则49
m n
+的最小值为
（ ）
A．36 B．72 C．144 D．169
12．锐角ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若()
2
b a a c
=+，
()cos
B A A
-+范围为（）
A
．
⎭
B
．2⎫⎪
⎪
⎝⎭
C．()1,2D
．⎛
⎝⎭
第Ⅱ卷(非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．
13．已知a，b满足2
a b
==，a，b的夹角为120︒,则a b⋅=__________．
14．在三棱锥P ABC
-中,PA⊥平面ABC，90
BAC
∠=︒,2
PA AB AC
===则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
15．空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成角为30︒,设6
AC=，8
BD=，则过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的面积为__________．
16．已知数列{}
n
a的前n项和为n S，点()()
*
,,2
n n
S a n N n
∈≥在2441x
y
x
=
-
的图像
上，
1
1
a=，数列{}n a通项为__________．
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分）
已知0
a>，0
b>．
（Ⅰ)求证：()
22
32
a b b a b
+≥+；
(Ⅱ）若2
a b ab
+=，求ab的最小值．
18．（本小题满分12分）
在正方体11
1
1
ABCD A B C D -中,求证：
（Ⅰ）求异面直线1
AB 与1
A D 所成角;
(Ⅱ）平面1
1
//B AD 平面1
BC D ．
19．(本小题满分12分）
已知数列{}n
a 满足1
3a
=，()*1532n n n a a n N +=+⋅∈．
（Ⅰ）数列{}n
b 通项2n n
n b
a =+，证明：{}n
b 为等比数列;
（Ⅱ）求{}n
a 前n 项和n
S ． 20．(本小题满分I2分）
在平行六面体11
1
1
ABCD A B C D -中，1
1
AA AB AD A B ===，1
AB AD ⊥，1
11AB
B C ⊥．
（Ⅰ）求证：平面1
A BC ⊥平面11
AA B B ;
（Ⅱ）求直线AC 与平面1
A BC 所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
ABC 中，
角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,()()cos 2cos 2cos b A C c a B -=-．
（Ⅰ）求c a
的值；
（Ⅱ）若1cos 4
B =-，4b =,求
ABC 的面积．
22．（本小题满分12分)
已知直角三角形的两直角边4AC =，3BC =，点P 是斜边AB 上一点,现沿CP 所在直线将
CPB 折起，使得平面BCP ⊥平面ACP ；当AB
的长度最小时,求：
（Ⅰ）四面体ABCP 的体积ABCP
V
；
（Ⅱ）二面角A BC P --的余弦值．
参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．D 4．C 5．D 6．B
7．A 8．C 9．D 10．A 11．C 12．A 二、填空题
13．—2 14．12π 15．6
16．()()()()1*
114,24347n a n a n N n n n ⎧==⎪-⎨=∈≥⎪--⎩
三、解答题
17．证明：(Ⅰ）∵()()2
2
2223220a
b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，
∴()2
232a
b b a b +≥+．
（Ⅱ)∵0a >，0b >，
∴22ab a b ab =+≥2ab ab ≥
1ab ≥，∴1ab ≥．
当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1．
18．(Ⅰ)通过平移找到夹角,写出夹角60︒．
（Ⅱ）故线面平行得判定定理证得1
//AD 平面1
BC D ，
同理可证1
//AB 平面1
BC D ，
由面面平行的判定定理证得1
1
//B AD 平面1
BC D ．
19．(Ⅰ）()11
252n n n n a a +++=+,15n n b b +=，15b =．
{}n b 为首项为5公比为5的等比数列．
(Ⅱ)52n n n
a
=-,
1113
5244
n n n S ++=
⋅-+． 20．（Ⅰ)由线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面11
AA B B ，
由面面垂直的判定定理证得平面1
A BC ⊥平面11
AA B B ．
(Ⅱ）设1
A B 与1
AB 交点为O ，
证得()1
1
AB AO A BC ⊥，
说明OCA ∠即为所求，tan 4
OCA ∠=
． 21．（Ⅰ）2c a
=．
(Ⅱ）224161
cos 224
a a B a a +-=
=⋅， 2a =,4c =,
1
sin 2
S ac B =
= 22．（Ⅰ）作BO CP ⊥交CP 于O ，连结AO ，
设BCP a ∠=，则π2
ACP a ∠=-，
∴sin 3sin BO BC a a ==，cos 3cos CO BC a a ==．
∵面BCP ⊥面ACP ,面BCP 面ACP CP =，BO ⊂面BCP ，BO CP ⊥, ∴BO ⊥面ACP ． ∵AO ⊂面ACP ， ∴BO AO ⊥,即AOB 为直角三角形,
∴2
22AB
BO AO =+
()()2
2
23sin 3cos 424sin cos a a a a =++-
2512sin 2a =-．
∵π0,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,
∴()20,πa ∈, ∴sin 21a =，
即π22
a =，π4
a =时，min
13AB
=，
∴322
BO =，3sin 5
A =，4cos 5
A =．
()3π272sin sin sin cos 42
10CPA A A A ⎛⎫∠=-=+=
⎪⎝⎭．
∵
4sin sin CP
CPA A
=
∠, ∴1227
CP =，112222442727
ACP
S
=⨯⨯⨯=． ∴1
12432122337B ACP
ACP
V
S BO -=⋅⋅=⨯⨯=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,3tan 14
A =<,
∴π0,2a A ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
∴π2
CPA ∠>．
过A 作AM CP ⊥交CP 延长线于M ，
∵面BCP ⊥面ACP ,面BCP 面ACP CM =,AM ∈面ACP ，AM CP ⊥， ∴AM ⊥面BCP ．
过M 作MQ BC ⊥交BC 于Q ，连结AQ ， ∵AM ⊥面BCP ，BC ⊂面BCP ，
∴AM BC ⊥又MQ BC ⊥,AM ，MQ ⊂面AMQ ，AM MQ M
=，
∴BC ⊥面AMQ 又AQ ⊂面AMQ ， ∴BC AQ ⊥,
∴AQM ∠为二面角A BC P --的平面角， 在Rt
AQM 中，22AM =，22CM =，
∴2QM =， ∴tan 2AM
AQM QM
∠==，3
cos 3
AQM ∠=
．。