第2章 整式加减：第06讲 整式的加减(老师版)

第06讲：整式的加减
一、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
注意：
(1)整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
(2)两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升
幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
题型一、整式的加减运算
例1.下列运算正确的是()
A.x2+x2=x4
B.4x+x-3y
=3x+3y
C.x2y-2x2y=-x2y
D.2x+2
=2x+2
【答案】【答案】C
【分析】利用整式的运算法则进行分别计算即可.
【详解】解：A x2+x2=2x2故此项错误；B4x+(x-3y)=5x-3y故此项错误；
C此项正确；D2(x+2)=2x+4故此项错误.
故选C
例2.化简7(x+y)-5(x+y)的结果是( )
A.2x+2y
B.2x+y
C.x+2y
D.2x-2y
【答案】【答案】A
【分析】原式去括号合并即可得到结果．
【详解】解：原式=7x+7y-5x-5y=2x+2y，
故选A．
例3.减去2x等于x2+3x-6的多项式是()．
A.x2+5x-6
B.x2-5x-6
C.x2+x-6
D.x2-x-6
【答案】【答案】A
【分析】由减法的意义可得被减数等于差加上减数，列式计算即可得到答案.
【详解】
解：减去2x等于x2+3x-6的多项式是x2+3x-6+2x=x2+5x-6.
故选：A.
例4.若A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，则A+B一定是()
A.三次多项式
B.四次多项式
C.七次多项式
D.四次七项式
【答案】【答案】B
【分析】由A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，可得A,B的最高次项一定不是同类项，不能合并，合并后至少保留两个最高次项，从而可得答案.
【详解】解：∵A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，
∴A,B的最高次项一定不是同类项，不能合并，合并后至少保留两个最高次项，
所以A+B一定是四次多项式，
故选：B.
例5.已知a+b=7，ab=10，则代数式(5ab+4a+7b)+(3a-4ab)的值为()
A.49
B.59
C.77
D.139
【答案】【答案】B
【分析】首先去括号，合并同类项将原代数式化简，再将所求代数式化成用(a+b)与ab表示的形式，然后把已知代入即可求解．
【详解】
解：∵(5ab+4a+7b)+(3a-4ab)=5ab+4a+7b+3a-4ab=ab+7a+7b=ab+7(a+b)
∴当a+b=7，ab=10时原式=10+7×7=59．
故选B．
例6.一个多项式A与多项式B=2x2-3xy-y2的和是多项式C=x2+xy+y2，则A等于()
A.x2-4xy-2y2
B.-x2+4xy+2y2
C.3x2-2xy-2y2
D.3x2-2xy
【答案】【答案】B
【分析】用多项式C-多项式B即可求出多项式A.
【详解】
由题意得A=C-B=x2+xy+y2-2x2-3xy-y2
=x2+xy+y2-2x2+3xy+y2
=-x2+4xy+2y2.
故选B.
例7.已知a+b=4，c-d=3，则(b+c)-(d-a)的值等()
A.1
B.-1
C.7
D.-7
【答案】【答案】C
【详解】分析:原式去括号整理后，将已知的等式代入计算即可求出值.
详解:：∵a+b=4，c-d=3，∴原式=b+c-d+a=(a+b)+(c-d)=3+4=7，
故选C.
例8.化简：2(x-3)-(-x+4)=____．
【答案】【答案】3x-10
【解析】先去括号，再合并同类项即可.
解：原式=2x-6+x-4=3x-10.
故答案为3x-10.
例9.一个多项式与2x2-xy+3y2的和是-2xy+x2-y2，则这个多项式是______．
【答案】【答案】-x2-xy-4y2
【分析】题目给出了多项式的和及一个多项式，要求另一个多项式，只要用和减去这个多项式就可得到正确结果．【详解】解：根据题意，这个多项式是，-2xy+x2-y2-(2x2-xy+3y2)，=-2xy+x2-y2-2x2+xy-3y2=-x2-xy-4y2．
故答案为-x2-xy-4y2．
例10.7a -3b +2与10a +2b -4的和是_____________．【答案】【答案】17a -b -2
【分析】直接把两个代数式相加，合并同类项即可得到答案.【详解】解：7a -3b +2+10a +2b -4=17a -b -2. 故答案为：17a -b -2.例11.计算：(1)2(4x -0.5)；
(2)-31-1
6x
；(3)-x +(2x -2)-(3x +5)；(4)3a 2+a 2-2a 2-2a +3a -a 2 ．
【答案】【答案】(1)8x -1；(2)1
2
x -3；(3)-2x -7；(4)a 2+5a ．
【详解】解：(1)2(4x -0.5)=8x -1；
(2)-31-16x =1
2
x -3；
(3)-x +(2x -2)-(3x +5)
=-x +2x -2-3x -5
=-2x -7;(4)3a 2
+a 2
-2a 2
-2a +3a -a 2
=3a 2+a 2-2a 2+2a +3a -a 2
=a 2+5a ．　
例12.化简：(1)4x 2+5y -22x 2-3y ；
(2)3(2y -2z )-12x -4y -6z
+1
3
x ；(3)12x -[2x +(6x -5)-3]+2；(4)-(3x -2y +z )+7-[5x -(x -2y +z )-3]．
【答案】【答案】(1)26y ；(2)10y -1
6
x ；(3)4x +10；(4)-7x +10
【分析】先去括号，再合并同类项化简求解即可．【详解】解：(1)原式=4x 2+20y -4x 2+6y =26y ；
(2)原式=6y -6z -12x +4y +6z +13x =10y -1
6
x ；
(3)原式=12x -2x -6x +5+3+2=4x +10；
(4)原式=-3x +2y -z +7-5x +x -2y +z +3=-7x +10；例13.先化简下式，再求值-x 2+5+4x +5x -4+2x 2 ，其中x =-2【答案】【答案】x 2+9x +1，-13．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入x =-2计算解题．
【详解】解：原式=-x 2+5+4x +5x -4+2x 2 =-x 2+5+4x +5x -4+2x 2=x 2+9x +1当x =-2时，原式=x 2+9x +1=(-2)2+9×(-2)+1=-13．
例14.先化简，再求值：12x -2x -13y 2 +-32x +13y 2 ，其中x =-2，y =23
．
【答案】【答案】-3x +y 2，58
9
．
【分析】先根据整式的加减运算法则把原式化简，再把x =-2，y =2
3
代入求值．注意去括号时，如果括号前是负
号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
【详解】解：原式=12x -2x +23y 2-32x +1
3y 2=-3x +y 2
当x =-2，y =23时，原式=-3×-2 +23 2=6+49=58
9
.
题型二、应用
例15.一个长方形的面积为4a2-2ab，且一边长为2a，则该长方形的周长为()．
A.2a-b
B.4a-b
C.4a2-2ab
D.8a-2b
【答案】【答案】D
【分析】根据多项式除以单项式求得另一边，进而求得长方形的周长．
【详解】解：∵一个长方形的面积为4a2-2ab，且一边长为2a，
∴该长方形另一边的长为：4a2-2ab
÷2a=2a-b，
∴长方形的周长为：22a+2a-b
=8a-2b，故选D
例16.已知a2-ab=3,ab-b2=-2，则式子a2-2ab+b2的值为()
A.5
B.-5
C.1
D.-1
【答案】【答案】A
【分析】根据a2-ab=3,ab-b2=-2，将所求式子变形，即可得到所求式子的值．
【详解】解：a2-2ab+b2，=(a2-ab)-(ab-b2)=3-(-2)=3+2=5，
故选：A．
例17.如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a2+b2=300，ab=12，则阴影部分的面积为______．
【答案】【答案】144
【分析】由图形可得，阴影部分的面积等于整个图形面积减去空白部分的面积，即可求解．
【详解】解：由图形可得，阴影部分的面积等于整个图形面积减去空白部分的面积，
∵a2+b2=300，ab=12，
∴S
阴影=a2+b2-1
2
a×a-1
2
(a+b)b=1
2
(a2+b2)-1
2
ab=1
2
×300-1
2
×12=144
故答案为：144．
例18.甲、乙两艘轮船分别从A、B两地出发，相向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都为40km/h，水速为v km/h，3h后两船相遇，则甲船速度为__________km/h，乙船速度为_______km/h，A、B两地相距_______km，乙船比甲船少行驶______km．
【答案】【答案】(40+v)(40-v)2406v
【分析】根据“甲船顺水，乙船逆水，静水速度都为40km/h，水速为v km/h，”可得甲船速度为(40+v)km/h，乙船速度为(40-v)km/h；然后根据A、B两地相距等于两船行驶的路程之和，可得A、B两地相距；最后用甲船行驶的路程
减去乙船行驶的路程可得到乙船比甲船少行驶的路程．
【详解】解：∵甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都为40km/h，水速为v km/h，
∴甲船顺水速度为(40+v)km/h，乙船逆水速度为(40-v)km/h；
∴A、B两地相距340+v
+340-v
=120+3v+120-3v=240km/h；
∴乙船比甲船少行驶340+v
-340-v
=120+3v-120+3v=6v km．
故答案为：(40+v)；(40-v)；240；6v．
例19.一个三位数的十位为m ，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为________．
【答案】【答案】313m -98
【分析】根据题意先表示个位数为：3m +2,再表示百位数为：3m -1,从而可得答案.【详解】解：∵一个三位数的十位为m ，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，∴个位数为：3m +2, 百位数为：3m +2-3=3m -1, 所以这个三位数为：1003m -1 +10m +3m +2=313m -98. 故答案为：313m -98
例20.已知A =2x 2-3xy +2x -5，B =-3x 2+xy +7，且3A +2B 的值与x 无关，求y 的值．
【答案】【答案】
6
7
【分析】先去括号，再合并同类项求解3A +2B ，再根据3A +2B 的值与x 无关，可得-7y +6=0,从而可得答案.【详解】解：3A +2B =32x 2-3xy +2x -5 +2-3x 2+xy +7 =6x 2-9xy +6x -15-6x 2+2xy +14=-7xy +6x -1=-7y +6 x -1∵3A +2B 的值与x 无关，∴-7y +6=0,
∴y =67
.
例21.(1)列式表示比a 的5倍大4的数与比a 的2倍小3的数，计算这两个数的和；(2)列式表示比x 的7倍大3的数与比x 的6倍小5的数，计算这两个数的差．【答案】【答案】(1)5a +4,2a -3,7a +1；(2)7x +3,6x -5,x +8【分析】先根据题意列出代数式，再进行整式的加减运算，即可求解．【详解】解：(1)比a 的5倍大4的数是5a +4，比a 的2倍小3的数是2a -3，
这两个数的和为5a +4 +2a -3 =5a +4+2a -3=7a +1；(2)比x 的7倍大3的数是7x +3，比x 的6倍小5的数是6x -5，
这两个数的和为7x +3 -6x -5 =7x +3-6x +5=x +8．例22.如图，大圆的半径是R ，小圆的面积是大圆面积的
4
9
，求阴影部分的面积．
【答案】【答案】5
9
πR 2．
【分析】大圆的面积为πR 2，小圆的面积为4
9
πR 2，根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆的面积，两式相减即可得到阴影部分的面积．【详解】
∵大圆的半径是R ，小圆的面积是大圆面积的4
9
，∴大圆的面积为πR 2，小圆的面积为
4
9
πR 2，∴阴影部分的面积=πR 2-49πR 2=5
9πR 2．
例23.已知三角形的第一条边长为4a +3b ，第二条边比第一条边长a -2b ，第三条边比第二条边短a -b ．(1)求第二条边长；(2)求这个三角形的周长．
【答案】【答案】(1)5a +b ；(2)13a +6b
【分析】
(1)用第一条边长加上(a -2b )列出算式，去括号、合并同类项即可得；(2)将三角形三边长度相加列出算式，然后去括号、合并同类项即可得．【详解】解：(1)4a +3b +(a -2b )，=5a +b ；(2)周长为：4a +3b +5a +b +(5a +b )-(a -b )，=4a +3b +5a +b +5a +b -a +b ，=13a +6b ．
1.一个多项式减去x 2-2y 2等于x 2+y 2，则这个多项式是( )A.-2x 2+y 2 B.2x 2-y 2
C.x 2-2y 2
D.-x 2+2y 2
【答案】【答案】B
【分析】根据：被减式=减式+差，列式计算即可得出答案．
【详解】解：这个多项式为：x 2-2y 2+(x 2+y 2)=(1+1)x 2+(-2+1)y 2，=2x 2-y 2，故选B ．
2.已知a -b =-3,c +d =2，则(a +c )-(b -d )的值是()A.-1
B.-5
C.5
D.1
【答案】【答案】A
【分析】先去括号，然后利用加法结合律进行组合，再把值代入计算即可．【详解】解：∵a -b =-3,c +d =2，∴(a +c )-(b -d )=a +c -b +d =a -b +(c +d )=-3+2=-1．故选：A ．
3.已知长方形的周长是4a +2b ，一边长为2a -b ，则另一边长为()．
A.2a +3b
B.2a
C.2b
D.2a -b
【答案】【答案】C
【详解】解：4a +2b -(2a -b )×22=4a +2b -4a +2b 2=4b
2，=2b ．故选C .
4.两个单项式
34
a 5
b 2m
与-a n b 6的和是一个单项式，那么m +n =___【答案】【答案】8【分析】根据同类项的定义列出方程, 求出n ,m 的值, 再代入代数式计算.
【详解】解:由题意得：3
4
a 5
b 2m 与-a n b 6是同类项,得2m =6,m =3;n =5，
∴m +n =8,故答案为8.
5.若整式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)的值与x的取值无关，则a的值是________．
【答案】【答案】1
【分析】把多项式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)化简整理成(6-6a)x+8的形式，再根据其值与x无关，可得关于a的方程，解方程即可．
【详解】原式=8x2-6ax+14-8x2+6x-6=(6-6a)x+8，
∵整式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)的值与x无关，∴6-6a=0，解得：a=1，
故答案是：1．
6.计算：(1)2x-10.3x；(2)3x-x-5x；(3)-b+0.6b-2.6b(4)m-n2+m-n2．
【答案】【答案】(1)-8.3x；(2)-3x；(3)-3b；(4)2m-2n2．
【详解】
解：(1)2x-10.3x=(2-10.3)x=-8.3x；
(2)3x-x-5x=(3-1-5)x=-3x；
(3)-b+0.6b-2.6b=(-1+0.6-2.6)b=-3b；
(4)m-n2+m-n2=(m+m)+(-n2-n2)=2m-2n2．
7.计算：(1)(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a)(2)8xy-x2+y2
-x2-y2+8xy
；
(3)2x2-1
2+3x
-4x-x2+12
；(4)3x2-7x-(4x-3)-2x2
．
【答案】【答案】(1)-a+4b+9c；(2)-2x2+2y2，(3)6x2-x-52；(4)5x2-3x-3．
【详解】解：(1)(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a)=5a+4c+7b+5c-3b-6a=-a+4b+9c；
(2)8xy-x2+y2
-x2-y2+8xy
=8xy-x2+y2-x2+y2-8xy=-2x2+2y2；
(3)2x2-1
2+3x
-4x-x2+12
=2x2-12+3x
-4x-4x2+2
=2x2-1
2
+3x-4x+4x2-2
=6x2-x-5
2；
(4)3x2-7x-(4x-3)-2x2
=3x2-7x-4x+3-2x2
=3x2-7x+4x-3+2x2=5x2-3x-3．8.先化简再求值：-2(3a2-ab+2)-(5ab-6a2)+4，其中a=2，b=-1．
【答案】【答案】6
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：当a=2，b=-1时，
原式=-6a2+2ab-4-5ab+6a2+4=-3ab
=6
9.已知一个三角形的第一条边长为3a +b ，第二条边比第一条边短a -2b ，第三条边比第二条边长2a +b ．(1)则第二边的边长为________，第三条的边长为________．(2)用含a ，b 的式子表示这个三角形的周长，并化简．(3)若a ，b 满足a -8 +b -7 2=0，求这个三角形的周长．【答案】【答案】(1)2a +3b ，4a +4b ；(2)9a +8b ；(3)128
【详解】解：(1)第二条边为(3a +b )-(a -2b )=3a +b -a +2b =2a +3b ，第三条边为：(2a +3b )+(2a +b )=2a +3b +2a +b =4a +4b ，故答案为：2a +3b ，4a +4b ；
(2)该三角形的周长为：(3a +b )+(2a +3b )+(4a +4b )=3a +b +2a +3b +4a +4b =9a +8b ；
(3)∵a -8 +b -7 2=0，且a -8 ≥0，b -7 2≥0，
∴a -8=0，b -7=0，∴a =8，b =7，
∴该三角形的周长为：9×8+8×7=128．
10.两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，甲船在静水中的速度是a km /h ，乙船在静水中的速度是b km /h ，水流速度是c km /h ．甲船航行3h 后到达A 港口，乙船航行4个小时到达B 港口．(1)2h 后甲船比乙船多航行多少千米？(2)求A ，B 两个港口之间的航程．
【答案】【答案】(1)(2a -2b +4c )千米；(2)(3a +4b -c )千米
【分析】
(1)根据题意求得甲乙两船的速度，顺水航行时，船速等于船再静水中的速度加上水流速度；逆水航行时船速等于船再静水中的速度减去水流速度，根据速度×时间=路程，即可求得；(2)根据两船的航程和即为A ，B 两个港口之间的航程．
【详解】
(1)根据题意，甲船的速度为(a +c )km /h ，乙船的速度为(b -c )km /h ，2小时后，甲的路程为：2(a +c )，乙的路程为：2(b -c )，2(a +c )-2(b -c )=2a +2c -2b +2c =2a -2b +4c (千米)．答：2h 后甲船比乙船多航行(2a -2b +4c )千米，(2)依题意，甲的路程为：3(a +c )，乙的路程为：4(b -c )，
A ,
B 两港口之间的航程为：3(a +c )+4(b -c )=3a +3c +4b -4c =3a +4b -c ，答：A ,B 两港口之间的航程为(3a +4b -c )千米．
11.一个两位数，个位上的数是 x，十位上的数比个位上的数大3．
(1)写出表示这个两位数的代数式．
(2)若把个位上的数与十位上的数对调，求新数比原数少多少？
【答案】【答案】(1)11x+30；(2) 27
【分析】
(1)根据已知用十位上的数乘以10加上个位数即为这个两位数；
(2)相同的方法表示出新的两位数再用原来的两位数减去新的两位数即为所求．
【详解】
解：(1)∵个位上的数是x，十位上的数比个位上的数大3，
即十位上的数为x+3，
则这个两位数为：10x+3
+x=10x+30+x=11x+30；
(2)根据题意，新数的个位是x+3
，十位是x，
则新数为10x+x+3=11x+3，
所以11x+30-11x+3
=11x+30-11x-3=27，
答：新数比原数少27．
12.“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一
个“囧”字图案(阴影部分)，设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，y．
(1)用式子表示“囧”的面积S；(用含a、x、y的式子表示)
(2)当a=20，x=5，y=4时，求S的值．
【答案】(1)S=a2-2xy；(2)360．
【答案】【分析】
(1)根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可；
(2)把x、y的值代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
(1)S=a2-1
xy×2-xy，=a2-2xy；
2
(2)当a=20，x=5，y=4时，
S=a2-2xy=202-2×5×4，=400-40=360．。