江苏省宿迁市宿迁中学2024届高三下学期期末考试数学试题高三期末试题

江苏省宿迁市宿迁中学2024届高三下学期期末考试数学试题高三期末试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合2
{|340}A x x x =-->，则U
A =（ ）
A ．{x |-1 <x <4}
B ．{x |-4<x <1}
C ．{x |-1≤x ≤4}
D ．{x |-4≤x ≤1}
2． “1
sin 2x =
”是“2()6
x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知1
5
455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
4．已知函数f (x )＝223,1ln ,1
x x x x x ⎧--+≤⎨
>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －1
2恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )
A ．12⎛ ⎝
B ．12⎡⎢⎣
C ．1,2e ⎛ ⎝⎦
D ．12
e ⎛
⎝⎭
5．已知函数1()sin 22
f x x x =
+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 6．已知集合{
}2
230A x x x =--≤{}
2B x x =＜，则A B =( )
A ．()1,3
B ．(]1,3
C ．[)1,2-
D ．()1,2-
7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222
233=，333388=，44441515=，55
55
2424
=，则按照以上规律，若1010
1010n n
=具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．48
B ．63
C ．99
D ．120
8．若实数x 、y 满足2
1y x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．6
B ．5
C ．2
D ．
32
9．若i 为虚数单位，则复数112i
z i
+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．若双曲线E ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，
且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）
A ．22
154
x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22
163x y -=
D ．22
136
x y -=
11．已知R 为实数集，{
}
2
|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧
⎫
=≥⎨⎬⎩⎭
，则(
)A B =R
（ ）
A ．{|10}x x -<≤
B ．{|01}x x <≤
C ．{|10}x x -≤≤
D ．{|101}x x x -≤≤=或
12．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6
B ．6
C ．-6
D ．
13
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知△ABC 得三边长成公比为
的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.
14．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
不喜欢 喜欢
男性青年观众 40 10 女性青年观众 30
80
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为______.
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 16．将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A 使之开红花，a 使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA 为开红花，Aa 和aA 一样不加区分为开粉色花，aa 为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以
1
2
的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第n 代的遗传设想为第n 次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa 的父系来说，如果抛出正面就选择因子A ，如果抛出反面就选择因子a ，概率都是
1
2
，对母系也一样．父系､母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状AA ，Aa (或aA )，aa 在父系和母系中以同样的比例：::(1)u v w u v w ++=出现，则在随机杂交实验中，遗传因子A 被选中的概率是2v p u =+
，遗传因子a 被选中的概率是2
v
q w =+．称p ，q 分别为父系和母系中遗传因子A 和a 的频率，:p q 实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上一代父系､母系的遗传性状都是Aa ，后代遗传性状为AA ，Aa (或aA )，aa 的概率各是多少？ （2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为AA 和Aa (或aA )的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A 被选中的概率为p ，a 被选中的概率为q ，
1p q +=．求杂交所得子代的三种遗传性状AA ，Aa (或aA )，aa 所占的比例111,,u v w ．
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa 的个体假设得到的第n 代总体中3种遗传性状AA ，Aa (或aA )，aa 所占比例分别为(),,1n n n n n n u v w u v w ++=．设第n 代遗传因子A 和a 的频率分别为n p 和
n q ，已知有以下公式22,,1,2,11n n
n n n n n
v v u p q n w w +
===⋅⋅⋅--．证明1n q ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等差数列．
（4）求,,n n n u v w 的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？ 18．（12分）已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 19．（12分）设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2
n a 的前n 项和为T n
，且()
2
43
n n
S p T
--=
，其中
p 为常数． （1）求p 的值；
（2）求证：数列{a n }为等比数列；
（3）证明：“数列a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”． 20．（12分）设函数()()ln ,x
f x x x ae p x kx =-=，其中,a R e ∈是自然对数的底数.
（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()ln 1'(),(1)x x f x e ϕ=+-ϕ=，函数()x ϕ与函数()p x 的图象交于()()1122,,,A x y B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：00()(1)x p y ϕ<<.
21．（12分）已知函数2
()()2ln f x x a x x =--，其导函数为()f x '
， （1）若0a =，求不等式()1f x >的解集；
（2）证明：对任意的02s t <<<，恒有()()1f s f t s t
''-<-.
22．（10分）已知直线l
的参数方程为1212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||AP PB +的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解题分析】
解一元二次不等式求得集合A ，由此求得U
A
【题目详解】
由()()2
34410x x x x --=-+>，解得1x <-或4x >.
因为{|1A x x =<-或4}x >，所以U
{|14}x x A =-≤≤.
故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解题分析】
1sin 2x =
⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6
x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【题目详解】 ，
由1
sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+
∈， 即2()6
x k k Z ππ=+∈能推出1
sin 2x =，
但1
sin 2x =推不出2()6
x k k Z ππ=+∈
∴“1
sin 2x =”是“2()6
x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件
故选B 【题目点拨】
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题. 3．A 【解题分析】
根据指数函数的单调性，可得1
551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与1
1,2
对比，即可求出结论.
【题目详解】
由题知105
4
41551,1log 5log 22
a b =>=>=>=
， 551
log 2log 52
c =<=
，则a b c >>. 故选:A. 【题目点拨】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 4．D 【解题分析】
由已知可将问题转化为：y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx －
1
2
有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y ＝kx －
12的下方，即可求得：k ＞12；再求得直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，k ＝e e
；结合图象即可得解. 【题目详解】
若关于x 的方程f (x )＝kx －
1
2
恰有4个不相等的实数根， 则y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx －1
2
有4个交点．作出函数y ＝f (x )的图象，如图，
故点(1,0)在直线y ＝kx －1
2
的下方． ∴k ×1－12＞0，解得k ＞1
2
.
当直线y ＝kx －1
2和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，
则k ＝1
ln 2
m m
+
＝1m
，∴m e 此时，k ＝
1m ＝e e
，f (x )的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，
故所求k 的取值范围是12⎛ ⎝⎭
，
故选D .. 【题目点拨】
本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题． 5．A 【解题分析】
化简()1sin 2f x x x =
+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表
达式sin 3y x m π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6
m k k z π
π=
+∈，问题得解。

【题目详解】
函数()1sin 22
f x x x =
+可化为：()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，
得到函数sin 3y x m π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，
所以sin 013m π⎛
⎫
++
=± ⎪⎝
⎭，解得：()32m k k z πππ+=+∈，即：()6
m k k z π
π=+∈， 又0m >，所以min 6
m π
=.
故选：A. 【题目点拨】
本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。

6．C 【解题分析】
解不等式得出集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【题目详解】
集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，
={x x<2}B ，{|1<2}A B x x ∴⋂=≤﹣
故选C ．
【题目点拨】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题． 7．C 【解题分析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n. 【题目详解】
解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1 所以210199n =-= 故选：C. 【题目点拨】
本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题. 8．D 【解题分析】
根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【题目详解】
作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立1
y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线1
2
y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小，
此时z 取最小值，即min 1132222
z =+⨯=. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 9．D 【解题分析】
根据复数的运算，化简得到31
55
z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【题目详解】
由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555
i i i i z i i i i +-+-=
===-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
位于第四象限.
故选D . 【题目点拨】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．D 【解题分析】
求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【题目详解】
由题意，直线l 的斜率为06
133
PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，
把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b
-=，可得2222222
()690b a x a x a a b -+--=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2
1222
6a x x a b
+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得2
22
66a a b
=--，解答222b a =，
又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==
所以双曲线的标准方程为22
136
x y -=.
故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 11．C 【解题分析】 求出集合A ，B ，B R
，由此能求出()R A B ．
【题目详解】
R 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-，1
{|
1}{|01}B x x x x
==<， {|0R B x x ∴=或1}x >， (){|10}R A B x x ∴=-．
故选：C ． 【题目点拨】
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．B 【解题分析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【题目详解】
由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，
所以96a ===±，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，
故选：B. 【题目点拨】
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
【解题分析】
试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，
所对的角为最大角，设为，则根据
余弦定理得
，故答案为
.
考点：余弦定理及等比数列的定义. 14．32 【解题分析】
由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量. 【题目详解】
由题可知，抽取的比例为81
405=，被调查的总人数为40103080=160+++人， 则分层抽样的样本容量是1
160325
⨯=人.
故答案为：32 【题目点拨】
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题. 15．130. 15. 【解题分析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值. 【题目详解】
(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,
120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.
120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤
,即min
158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15. 【题目点拨】
本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 16．20 【解题分析】
讨论装球盒子的个数，计算得到答案. 【题目详解】
当四个盒子有球时：246C =种；
当三个盒子有球时：111
2222212C C C +=种；
当两个盒子有球时：2
22A =种.
故共有20种， 故答案为：20. 【题目点拨】
本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）AA ，Aa (或aA )，aa 的概率分别是14，12，14
．（2）22111,2,u p v pq w q ===（3）答案见解析（4）答案见解析 【解题分析】
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解. （2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（3）由（2）知22
111,2,n n n n n n n u p v p q w q +++===，求出1n p +、1n q +，利用等差数列的定义即可证出.
（4）利用等差数列的通项公式可得111(1)n n q q =+-，从而可得1n q q nq =+，再由2
211n n n q w q q +⎛⎫== ⎪+⎝⎭
，利用式子的特征可得n w 越来越小，进而得出结论. 【题目详解】
（1）即Aa 与Aa 是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是
1
2
， 故AA 出现的概率是
1122
⨯，Aa 或aA 出现的概率是1111222224⨯+⨯=，
aa 出现的概率是11
22
⨯
所以：AA ，Aa (或aA )，aa 的概率分别是
14，12，14
（2）22
111,2,u p v pq w q ===
（3）由（2）知22
111,2,n n n n n n n u p v p q w q +++===
于是21112
12122111n n n
n n n n n n
v p q
u p w p q q +++++
+===--+
()()1
121211111n n n n n n n n n n n n
v p q p q q
q w q q q q +++====---++
1111n n
q q +⇒
=+ ∴1n q ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，公差为1 （4）
1
11
(1)n n q q =+- 其中，11
21222111v pq
q q w q q
===--+(由（2）的结论得)
所以
1111n n q n q q q nq
=+⇒=+ 于是，2
2
11n n n q w q q +⎛⎫== ⎪+⎝⎭
2
2
11,11n n n n p nq p nq p q u p nq nq +⎛⎫++=-=== ⎪++⎝⎭
12
()
22(1)n n n p p nq v p q nq ++==⋅
+
很明显2
11n q w nq +⎛⎫
= ⎪
+⎝⎭，n 越大，1n w +越小，所以这种实验长期进行下去， n w 越来越小，而n w 是子代中aa 所占的比例，也即性状aa 会渐渐消失．
【题目点拨】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属于中档题， 18．（Ⅰ）2
{|2}3
x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解题分析】 试题分析：
(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a +，求解不等式()2
2163
a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞ 试题解析：
（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得
2
13
x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为223x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
． （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪
=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫
⎪⎝⎭
，()21,0B a +，(),1C a a +，
ABC ∆的面积为
()2
213a +． 由题设得()2
2163
a +>，故2a >．
所以a 的取值范围为()2,+∞ 19．（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析 【解题分析】
（1）取n ＝1时，由()2
4113
p --=
得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.
（2）241(2)33n n T S =--，则21141(2)33n n T S ++=--，相减得到3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ，再化简得到211
2
n n a a ++=，得到证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【题目详解】 （1）n ＝1时，由()2
4113
p --=
得p ＝0或2，若p ＝0时，2
43
n n S T -=，
当n ＝2时，()
2
22
2
4113
a a
-++=
，解得a 2＝0或212
a =-
， 而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2； （2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =
--①，则21141
(2)33
n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ③，则3a n +2＝4﹣S n +2﹣S n +1④， ④﹣③得211
2
n n a a ++=（n ∈N *）， 又因为2112a a =
，所以数列{a n }是等比数列，且112
n n a -=； （3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n +1，2y a n +2依次为112n -，22n ，14
2
n +，
满足11214
2222
n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；
必要性：假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又11
2
n n a -=，
所以11111222222
x y
n n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，
显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），
因为x 、y 均为整数，所以当k ≥2时，2x ﹣2y ﹣
2＞1或2x ﹣2y ﹣
2＜1， 故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证． 【题目点拨】
本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力. 20．（Ⅰ）1
0a e
<<；（Ⅱ）详见解析. 【解题分析】
（Ⅰ）依题意()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，由ln 1e 0x x a +-=参变分类可得ln 1
e x x a +=
，令ln 1()x
x g x e
+=，利用导数研究()g x 的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；
（Ⅱ）由题解得1a =，()x
x e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立，只需证：122112
2
212
x x x x x x e e e e e
k x x +-+<=<-，即：
12
21122
212x x x x x e e e e e e
x x +-+<<-，只需证：212121221112x x x x x x e e x x e ----+<<-，设210t x x =->，即证：2112
t t t
e e e t -+<<，再分别证明2
1t
t e e t -<，11
2
t t e e t -+<
即可； 【题目详解】
解：（Ⅰ）由题意可知，0,'()ln 1x
x f x x ae >=+-，
()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，
由ln 1e 0x x a +-=可得，ln 1
e x x a +=
，令ln 1()x
x g x e +=，
则()1
ln 1'()x
x x g x e -+=，令1()ln 1h x x x
=--， 可得211
'()h x x x
=-
-，当0x >时，'()0h x <， 所以()h x 在()0,∞+上单调递减，且(1)0h = 当()0,1x ∈时，()0,'()0,()h x g x g x >>单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0,'()0,()h x g x g x <<单调递减；
所以1x =是()g x 的极大值也是最大值，max 11
()(1)g x g a e e
∴==∴<又当0,()x g x →→-∞，当,()x g x →+∞大于0趋向与0，
要使'()0f x =在()0,∞+有两个根，则10a e
<<， 所以a 的取值范围为10a e
<<
； （Ⅱ）由题解得1a =，()x
x e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立， 只需证：122112
2
212
x x x x x x e e e e e
k x x +-+<=<-
即：122112
2
212
x x x x x e e e e e e
x x +-+<<-，
只需证：2121212
21112
x x x x x x e e x x e
----+<<- 设210t x x =->，即证：2
11
2
t
t t e e e t -+<<
要证2
1
t t e e t
-<，只需证：22t t e e t -->
令()112
2
F t e e
t -
=--，则()2
2
1'102t t
F t e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
()F t ∴在()0,∞+上为增函数
()()00F t F ∴>=，即2
1
t
t e e t -<成立；
要证112t t e e t -+<，只需证明：112
t t e t e -<+
令()112t
t e t
G t e -=-+，则()()
()()()()2
2
22241121'0212121t t
t
t
t t t e e e e G t e e e -+--=-==<+++ ()G t ∴在()0,∞+上为减函数，()()00G t G ∴<=，即11
2
t t e e t -+<
成立 2
11
,02
t
t t e e e t t -+∴<<>成立，所以()()001x p y ϕ<<成立.
【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题; 21．（1）{}|1x x > （2）证明见解析 【解题分析】
（1）求出()f x 的导数，根据导函数的性质判断函数()f x 的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式； （2）构造函数()()x f x x ϕ'
=-，利用导数判断()x ϕ在区间(0,2)上单调递减，结合02s t <<<可得结果.
【题目详解】
（1）若0a =，则2
()2ln ,()22(1ln )f x x x x f x x x '
=-=-+. 设()22(1ln )h x x x =-+，则2()2h x x
'=-
，
所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.
又当0x →时，()h x →+∞；当1x =时，()0h x =；当x →+∞时，()h x →+∞， 所以()0h x ≥
所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又(1)1f =，所以不等式()1f x >的解集为{}|1x x >.
（2）设()()g x f x '=，再令()()22ln 2x g x x x x a ϕ=-=---，
22
22
()1x x x x
ϕ'
-∴=-=， ()x ϕ在(0,2)上单调递减，
又
02s t <<<，
()()s t ϕϕ∴<， ()()g s s g t t ∴->-， ()()g s g t s t ∴->-，
0s t ∴-<，
()()1g s g t s t
-∴
<-.
即()()1f s f t s t
''-<-
【题目点拨】
本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.
22．（1）10x -=；2
2
(2)4x y -+=（2【解题分析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得12t t +=123t t =-，而根据直线参数方程的几何意义，知
12||||PA PB t t +=-=
.
【题目详解】
（1）直线l
的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，
消去t
；得10x -=
曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222
x y ρ+=，
可得224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22
(2)4x y -+=；
（2）将直线l
的参数方程112x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入C 的方程22(2)4x y -+=，
可得230t -=，>0∆， 设1t ，2t 是点,A B 对应的参数值，
12t t +=123t t =-，则
12||||PA PB t t +=-=
=.
【题目点拨】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.。