河南省鹤壁市淇县第一中学高二数学下学期第一次月考试题 理

淇县一中高二下学期理数第一次月考试卷
时间：120 满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．“1a <”是“ln 0a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不是充分条件也不是必要条件
2，则()f x '=（ ）
A B
C D 3．设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与直线y b
=相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
34
B ．
2
C ．
2
D ．
12
4．在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B =a ，11A
D =b ，班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
1A A =c ，则下列向量与1B M 相等的是（ ）
A ．11
2-
++a b c B ．
11
22
++a b c C ．
11
22
-+a b c D ．11
22
-
-+a b c
5()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为74120x y --=，则实数a ，b 的值为（ ）
A ．1a =，3b =
B ．3a =，1b =
C 914b =
D 32
b = 6.已知圆()2
2
:3100C x y ++=和点()3,0B ，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．2
6y x =
B ．
22
12516x y += C ．
22
12516
x y -= D ．22
25x y +=
7．曲线e x
y =在点()
22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A B ．2
2e
C ．2
e
D 8．P 是双曲线
2213664
x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2
2101x y ++=和()
2
2104x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
9()0,+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．320,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．32e ,⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．31,2e ⎛
⎤-∞-
⎥⎝⎦
D ．31,2e ⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
10．抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足
AB 的中点M 在l 上的投影为N ） A ．2
B ．
8
3
C ．4
D ．1
11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()xf x f x '>，若()20f =，
则不等式
()0f x x
>的解集为（ ）
A ．{|20x x -<<或}02x <<
B ．{|2x x <-或}2x >
C ．{|20x x -<<或}2x >
D ．{|2x x <-或}02x <<
12．对*n ∈N ，设n x 是关于x 的方程3
20nx x n +-=的实数根，()1n n a n x ⎡⎤=+⎣⎦，
()2,3n =⋅⋅⋅（符号[]x 表示不超过x 的最大整数） ）
A ．1010
B ．1012
C ．2018
D ．2020
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．定积分
()1
1
2sin x x dx -+⎰的值为_________．
14．已知曲线2ln y x x =-的一条切线的斜率为1，则切点的纵坐标为__________．
15．长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，1AD =，E ，F 分别是1AA ，1BB 的中点，G 是DB 上的点，2DG GB =，若平面1EB C 与平面11A ADD 的交线为l ，则l 与GF 所成角的余弦值为__________．
16．若函数()()3
2
0h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()
00,M x h x ，记函数()
h x 的导函数为()g x ，则有()00g x '=，设函数()3
2
32f x x x =-+，则
12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数()2
4
3
f x ax ax b =-
+，()12f =，()11f '=； （1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在()1,2处的切线方程．
18．求由直线2x =-，2x =，0y =及曲线2
y x x =-所围成的图形的面积．
19．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x ∈N ）的关系为2e x
y =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，
a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析． （1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4
e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底，e 2.71828=⋅⋅⋅）
20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC
（2）已知1AP =，AD =
AB =求二面角D AE C --的余弦值．
21．已知椭圆()22
2:103
x y M a a +
=>的一个焦点为()1,0F -，左、右顶点分别为A 、B ，经过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y 两点． （1）求椭圆M 的方程；
（2）记ABD △与ABC △的面积分别为1S 和2S ，求12S S -关于k 的表达式，并求出当k 为何值时12S S -有最大值．
22．已知函数()()2
2ln f x x x a x a =-+∈R ．
（1）当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，不等式()12f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．
高二下学期理数第一次月考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 1．【答案】B
【解析】由ln 0a <可得01a <<，所以当01a <<成立时可得到1a <成立，反之不成立，所以1a <是ln 0a <的必要不充分条件，选B ． 2．【答案】B
B ． 3．【答案】C
【解析】由题意，得以12F F 为直径的圆2
2
2
(0)x y c c +=>与直线y b =相切，则b c =，
a =，即该椭圆的离心率为c e a =
=．故选C ． 4．【答案】B
【解析】由向量的三角形法则可得111
2
B M B B BD =+， 即()
11111
222
B M A A BA B
C =+
+=-+c a b ，故选A ．
5．【答案】A
【解析】函()y f x =在点()()2,2f 处的
74120x y --=
1a =，3b =．故选：A ． 6．【答案】B
【解析】由圆的方程可知，圆心()3,0C -，半径等于10，设点M 的坐标为(),x y ，BP 的
垂直平分线交CP 于点M ，MB MP ∴=．又10MP MC +=，
10MC MB BC ∴+=>．依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，且210a =，3c =，4b ∴=，故椭圆方程为
22
12516
x y +=，故选B ． 7．【答案】D
【解析】依题意得e x y '=，因此曲线e x
y =在点()
22,e A 处的切线的斜率等于2
e ，相应的切线方程是()22e e 2y x -=-，当0x =时，2
e y =-，当0y =时，1x =，
D ．
8．【答案】D
【解析】双曲线
22
13664
x y -=中，6a =，8b =，10c =，()110,0F ∴-，()210,0F ， 12212PF PF a -==，11MP PF MF ∴+≤，22PN PF NF +≥， 22
PN PF NF ∴--+≤，
所
以
1122121215PM PN PF MF PF NF -+-+=++=≤，故选D
．
9．【答案】C ()0,+∞上恒成立，所以
()
3
2
4
321ln 32ln 0e x x x x y x x x
----+∴
=
==⇒='，所以
当
时，
C ．
10．【答案】D
【解析】设AF a =，BF b =，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得AF AQ =，BF BP =，在梯形ABPQ 中，2MN AQ BP a b =+=+．
由余弦定理得，2
2
2
2
2
2cos60AB a b ab a b ab =+︒+-=-，
配方得，()2
2
3AB a b ab +=-，又a ab +⎛ ⎝≤
()()()()22
22
33144
a b ab a b a b a b --
=
∴++++≥，
1．故选：D ．
11．【答案】C
x>时()()0
xf x f x
->
'，即函数()
g x在区间()
0,+∞上是增函数，由题()
f x
是定义在R上的偶
R上的奇函数，则函数()
g x在区间(),0
-∞上是增函数，而()20
f=，()20
f-=；即()20
g=，()20
g-=，
当0
x>时，不等式等价于()0
g x>，由()()2
g x g
>得2
x>；
当0
x<时，不等式等价于()0
g x>，由()()2
g x g
>-，得20
x
-<<，故所求的解集为{|20
x x
-<<或}2
x>．故选C．
12．【答案】A
【解析】设()1
t n x
=+，则
3
322
11
t t
nx x n n n
n n
⎛⎫
∴+-=⋅+⋅-
⎪
++
⎝⎭
，
，*
n∈N，
当2
n≥，()
g t是增函数，方程()0
g t=只有一个实根
n
t，
()120
g n+=>，()
()
()
2
3
1
1
n n n
g n
n
+-
=
+
<，
1
n
n t n
<
∴<+，即()11
n
n n x n
+<+
<，()1
n n
a n x n
⎡⎤
∴=+=
⎣⎦，
2018
a
++
=A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】0
14．【答案】2
【解析】∵2ln y x x =-，∴1
2y x
'=-
，设切点的坐标为()000,2ln x x x
-，由条件可得0
1
21x -
=，解得01x =， ∴切点的纵坐标为002ln 2y x x =-=．
15．
【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AD 中点为M ，则l EM =．
所以1EM ⎛
=- 1,33GF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭
，7
cos ,65
EM GF -
-∴<>==
， 因此l 与GF ． 16．【答案】0
【解析】由题意得，()()2
360g x f x x x '==-=，()660g x x -'==解得1x =，()10f =，
因为()()()()()()3232
11131213120f x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=+-+++---+=⎣⎦⎣⎦
，即函数
()f x
的图象关于点()1,0对称，
0． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()235
222
f x x x =
-+；
（2）10x y -+=． 【解析】（1）()423f x ax a '=-．由已知得()()41213
412
3f a a f a a b ⎧
'=-=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩．····3分
解得325
2
a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴()235222f x x x =-+．········6分
（2）函数()f x 在()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=．····10分 18．【答案】
17
3
【解析】由2
0x x -=，得到0x =或1x =，············3分 则()()()0
12
2
222
1
S x
x dx x x dx x x dx -=
---+-⎰⎰⎰············6分
12分
19．【答案】（1）M 在2x =时取最小值；（2⎤
⎥⎦
． 【解析】（1
）当1a =
2分 列表得：
∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴M 在2x =时取最小值；··········6分 （
21）知：M 在()1,2上单调减，在()2,+∞
上
单调增；············8分
∵确保恰好．．3
10分 a 的取值范围为12分 20．【答案】（1）证明见解析；（2）
11
． 【解析】（1）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB a =，AD b =，
AP c =，
由几何关系有：()0,0,P c ，(),0,0B a ，()0,,0D b ，()0,0,0A ，0,
,22b c E ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，(),,0C a b ， 则直线PB 的方向向量为：(),0,PB a c =-，0,
b AE ⎛= (),,0AC a b =， 设平面AEC 的法向量(),,m x y z =2b m AE y m AC ax ⎧
⋅=+⎪
⎨⎪⋅=+⎩
据此可得：平面AEC 的一个法向量为(),,m bc ac ab =-，
结合0PB m abc abc ⋅=-=可知：PB m ⊥，据此可得：//PB 平面AEC ．····6分
（2）结合（1
b =1
c =，
则平面AEC 的一个法向量为(
),,m bc ac ab =-=
．········8分
由AB ⊥平面DAE 可知平面DAE
的一个法向量为：(n AB ==，····10分
23m n ⋅=
，32m =+=2n =， 23,11m n m n m n ⋅>=
=⨯
⨯ 观察可知二面角D AE C --的平面角为锐角， 故二面角D AE C --．············12分 21．【答案】（1）椭圆M 的方程为22143x y +=；（2
）121234S S k k
-=+
当2k =±时，
12S S -
【解析】（1）∵椭圆M 的焦点为()1,0F -，∴1c =，········1分 又b =
2a =，············2分
∴椭圆M 的方程为22
143
x y +=． (3)
分 （2）依题意知0k ≠，设直线方程为()1y k x =+，
y 整理得：()
22223484120k x k x k +++-=，
∵直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，
∴()
()()()
2
2
2
2
2843441214410k
k k
k ∆=-+-=+>，
2122
412
34k x x k -=+，············6分
由题意得1212121
·422
S S y y y y -=-=+
()()()12212
122112234k k x k x k x x k k =+++=++=
+，············9分
34k k =
，即k =±
时等号成立，
∴当k =12S S -
12分 22．【答案】（1）()f x 的单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为[]02，；（2）3
ln22
m --≤． 【解析】（1）4a =-时，()2
24ln f x x x x =--，定义域为()0+∞，，
()()
()()2
22
212422x x x x f x x x x x
--+-=--==
'．············2分 ∴02x <<时：()0f x '<，2x >时，()0f x '>，
∴()f x 的单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为[]02，．········4分 （2）函数()f x 在()0+∞，上有两个极值点，
()22222(0)a x x a
f x x x x x
-+=-'+=>．
由()0f x '=．得2
220x x a -+=，············6分
当480a ∆=->，1
2
a <
时，121x x +=，············7分
1x =
2x =， 由10x >，∴0a >． ∴102a <<
，可得1102x <<，21
12
x <<，········8分
()()
22
21111111111112
221222ln 2ln 112ln 1
x x x x x f x x x a x x x x x x x x -+--+===-++-，··9
分
令()1112ln 012h x x x x x x ⎛
⎫=-+
+<< ⎪-⎝⎭，则()()
2
112ln 1h x x x '=-+-， 因为102x <<
．1112x -<-<-，()2
1114x <-<，()
21411x -<-<--，又2ln 0x <． 所以()0h x '<，即1
02
x <<
时，()h x 单调递减， 所以()3ln22h x >--，即()123
ln22
f x x >--，
故实数m 的取值范围是3
ln 22
m --≤．············12分。