新初中数学四边形技巧及练习题(2)

新初中数学四边形技巧及练习题(2)

一、选择题

1．如图，在矩形ABCD 中，AB m =，6BC =，点E 在边CD 上，且23CE m =．连接BE ，将BCE V 沿BE 折叠，点C 的对应点C '恰好落在边AD 上，则m =（ ）

A ．33

B ．3

C 3

D ．4

【答案】A

【解析】

【分析】

设AC′=x ，在直角三角形ABC′和直角三角形DEC′中分别利用勾股定理列出关于x 和m 的关系式，再进行求解，即可得出m 的值.

【详解】

解：设AC′=x ，

∵AB=m ，BC=6，23CE m =

， 根据折叠的性质可得：

BC′=6，EC′=23

CE m =， ∴C ′D=6-x ，DE=13m ，

在△ABC ′中，

AB 2+AC′2=BC′2，

即2226x m +=，

在△DEC ′中，

C′D 2+DE 2=C′E 2，

即()222

12633x m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：()2

236x m -=，代入2226x m +=中，

得：()222366x x -=-，

解得：x=3或x=6，代入2226x m +=，

可得：当x=3时，m=333-

当x=6时，m=0（舍），

故m 的值为33，

故选A.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是根据折叠的性质运用勾股定理求解.

2．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）

A ．24

B ．18

C ．12

D ．9

【答案】A

【解析】 【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解．

【详解】∵E 是AC 中点，

∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，

∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6，

∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，

故选A ．

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.

3．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）

A ．3

B ．2

C ．4

D ．2

【答案】A

【解析】

【分析】 由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.

【详解】

解，如图，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，

∵2BD =，

∴BO=1，

在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，

∴BC=2， ∴22213CO =-=；

∴23AC =；

故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.

4．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC .若4AB =,6AC =，则BD 的长为（ ）

A ．11

B ．10

C ．9

D ．8 【答案】B

【解析】

【分析】

根据勾股定理先求出BO 的长，再根据平行四边形的性质即可求解.

【详解】

∵6AC =，

∴AO=3，

∵AB ⊥AC ，

∴2234+

∴BD=2BO=10，

故选B.

【点睛】

此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.

5．如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，给出下列判断：

①EF 是ABC V 的中位线；

②DEF V 的周长等于ABC V 周长的一半：

③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；

④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．

其中正确的是( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．②④

D ．①③④ 【答案】A

【解析】

【分析】

根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=

12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．

【详解】

解：∵AD 是△ABC 的高，

∴AD ⊥BC ，

∴∠ADC=90°，

根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，

∴AO=DO=

12

AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，

∴∠AOF=∠ADC=90°，

∴EF ∥BC ，

∴△AEF ∽△ABC ， 12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线， 故①正确；

∵EF 是△ABC 的中位线，

∴△AEF 的周长是△ABC 的一半， 根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，

∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，

故②正确；

∵EF 是△ABC 的中位线，

∴AE=

12AB ，AF=12

AC ， 若四边形AEDF 是菱形，

则AE=AF ，

∴AB=AC ，

故③正确； 根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，

不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；

故选：A ．

【点睛】

此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

6．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE AD

BCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )

A 5

B 6

C 7

D ．22【答案】B

【解析】

【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．

【详解】