第一讲 分解方法的延拓-----换元法与主元法

第一讲 分解方法的延拓
——换元法与主元法
一、知识点归纳
因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．
一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．
所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．
所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．
为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：
（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；
(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++
二、例题讲解
换元法分解因式
【例1】 分解因式：
（1）10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)
(2)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）
（3）90)384)(23(22+++++x x x x
【例2】把下列各式分解因式：
(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)
(2)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)
(3))(4)(22222y x xy y xy x +-++
【例3】利用十字相乘法因式分解
(1)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)
(2)()()
2222284384x x x x x x ++++++
【例4】整体思想分解
(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)
主元法分解因式
【例5】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．
A ．(y －z)(x+y)(x －z)
B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)
C ． (y+z)(x 一y)(x+z)
D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)
【例6】把下列各式分解因式：
(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b) (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．
（3）613622-++-+y x y xy x （4）36355622-++-+b a b ab a
【例7】分解因式：262234+---x x x x
【例8】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．（分组分解法）
x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．
三、练习巩固
1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．
2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．
3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． (2001年重庆市中考题)
4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．
5．(2001年北京中考题)将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（ ）．
A ．)1)(3(22-+x x
B ．)3)(1(22-+x x
C ．)1)(1)(3(2+-+x x x
D ．)3)(3)(1(2+-+x x x
6．下列5个多项式：
①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④)(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-
其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．
A ．①、②、③
B ．②、③ 、④
C ．①③ 、④、⑤
D ．①、②、④
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．
A ．2727923-+-x x x
B ．272723-+-x x x
C ．272734-+-x x x
D ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)
8．若51-=+b a ，13=+b a ，则5
3912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．5
4 D ．0 (大连市“育英杯”竞赛题) 9.分解因式一：
（1）2910322-++--y x y xy x （2）)()()(222y x z x z y z y x -+-+-
（3）56422-++-y x y x （4）67222-+--+y x y xy x
10.分解因式二
（1）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （2）()()()12422+++-n n n n
（3）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (4)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；
(5)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；
11.分解因式三
（1）144234+++-x x x x （2）2005)12005(200522---x x
（3）44+x （4）222255372z yz xz y xy x +-++-
(5)x 4+2001x 2+2000x+2001； (6)bc ac ab c b a 54332222+++++；
10．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x = ．
11．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．
12．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．（第15届“五羊杯”竞赛题）
13．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有 个． (北京市竞赛题)
14．613223+-+x x x 的因式是( )
A ．12-x
B ．2+x
C ．3-x
D ．12+x
E ．12+x
15．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )
A ．M<N
B ．M> N
C ．M ＝N
D ．不能确定
(第13届“希望杯”邀请赛试题)
16．把下列各式分解因式：
(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++；
(2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (湖北省黄冈市竞赛题)
(3)2)1()2
1(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)
(4)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)
17．已知乘法公式：
))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)
18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)． 求证：b c a 2=+ (天津市竞赛题)。