2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级(上)第一次月考数学试卷

2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年
级（上）第一次月考数学试卷
、选择题（本大题共
12小题，共36.0分）
1. （ 3分）“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约
1度 电，一年可节约电1300000000度，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ）
9
9
A . 1.30X 10
B . 1.3X 10
10
C . 0.13 X 10
10
D . 1.3 X 10
2. （ 3分）满足|x|= 2的数有（ ）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D .无数个
3. （3分）如果2 - （m+1） a+a 疋关于 a 的二次三项式，那么m 、
n 满足的条件是（
）
A . m = 1, n = 5
B . m M 1, n >3
C . m M - 1, n 为大于3的整数
D . m M- 1, n = 5
4. （ 3分）当x =- 3时，多项式ax 3+bx+1的值是7 .那么当x = 3时，它的值是（
）
A . - 3
B . - 5
C . 7
D . - 17 5. （ 3分）若点P （m , 1 - 2m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点
P 一定在（ ）
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
6. ( 3分)下列计算正确的是(
)
,2、3
3
A . (x ) = x 一 J 3
20
C . x ?x = x
进价多少（ ）
9. （ 3分）如图所示，在/ AOB 的两边截取 AO = BO , CO = DO ,连接AD 、BC 交于点P ,
考察下列结论，其中正确的是（
）
①△ AOD ◎△ BOC ;② △ APC ◎△ BPD ;③点P 在/ AOB 的平分线上.
3c, 5 c 8
B . 2x ?4x = 8x
2 3 4
6 7
D . (3x y ) = 81x y
7. （ 3分）某商场的老板销售一种商品，标价为 360元，可以获得 80%的利润，则这种商品
A . 80 元
B . 200 元 A . k v 2
s>k
有解，则 B . k > 2
C . 120 元 k 的取值范围是（
C . k v 0
D . 160元
D . k w 0
& （ 3分）若不等式组
11. （ 3分）如图，等边三角形 ABC 中，D 为BC 的中点，BE 平分/ ABC 交AD 于丘，若厶
CDE 的面积等于1，则△ BEC 的面积等于（
12 . （ 3 分）如图，在五边形 ABCDE 中，/ BAE = 120°,/ B =/ E = 90°, AB = BC , AE
=DE ,在BC 、DE 上分别找一点 M 、N ,使得△ AMN 的周长最小时，则/ AMN+ / ANM 的度数为（
）
A. 90° B . 100° C . 110° D . 120°
二、填空题（本大题共 6小题，共18.0分）
13 . （3 分）若 x 3a — 2b —2 - 2y a+b = 5 是二元一次方程，则 a = __________ , b = ________ .
2 3
2
14 . （3 分）计算：（-4a b ）?（- 2ab ） = ________ .
15 . （3分）若一个多边形的每个内角与它的外角的度数之比都是
5: 1,
则这个多边形的边
B .只有②
C .只有①②
D .①②③
BE = CD , BD = CF , 则/ EDF =(
)
B . 90°— 2/ A
C . 90°—/ A
D
. 9 胪-y/A
C . 6
D .
12
A .只有① ABC 中，A
B = A
C , A . 2/A
A . 2
数是
16. （3 分）已知 8m = 4, 8n = 5.则 83m+2n 的值为
是等边三角形，点 O 是BC 上任意一点，OE 、OF 分别与两
延长线上一点，O 点是线段AD 上一点，OP = OC ,下面的结论： ①AC 平分/ PAD ; / APO =/ DCO ;③△ OPC 是等边三角形； ④AC = AO+AP ；⑤S ^ABC = S 四边形AOCP . 中正确的序号是
三、解答题(本大题共 8小题，共64.0 分) 19. (6分)计算题：
(1)
〔-2) ? x 4) 土-寻(-5)釘(T )30
坤
(2) 已知实数 x, y 满足- |,求 3(x 2- 2xy ) - [3X 2-2y -2(3xy+y )] 的值 20. (6分)(1)解方程组：
-3(x-2)
(2)解不等式组，并求它的整数解 \ 2x-l 9i+2
21. (10分)为了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度•某数学学习兴趣小组对市民进行 随机抽样的问卷调查•调查结果分为“ A .非常了解” “ B •了解” “ C •基本了解”，
“D
不太了解”四个等级进行统计， 并将统计结果检制成如下两幅不完整的统计图 (图1,图
2).请根据图中的信息解答下列问题.
17. ( 3分)如图，已知△ ABC 5,贝U OE+OF 的值为
ABC , AB = AC ,/ BAC = 120°, AD 丄 BC 于点 D .点 P 是
BA
r^+l=y
伍 31X5（¥-1）
边垂直，等边三角形的高为
(2) 补全图1中的条形统计图；
(3) 在图2中的扇形统计图中，求“ C .基本了解”所在扇形的圆心角度数；
(4) 据统计，2019年该市约有市民800万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃 圾分类知识”的知晓程度为“ D .不太了解”的市民约有多少万人？
22 . (8分)如图，DC // AB , / BAD 和/ ADC 的角平分线相交于 E ,过E 的直线分别交 DC , AB 于CB 两点.
(1) 判断AE 与DE 的位置关系.并说明理由： (2) 求证：AD = AB+DC
23 . (6分)某慈善组织租用甲、乙两种货车共
16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到
灾区.已知一辆甲种货车同时可装蔬菜 18吨，水果10吨；一辆乙种货车同时可装蔬菜
16吨，水果11吨.
(1 )若将这批货物一次性运到灾区，请写出具体的租车方案？ (2)若甲种货车每辆需付燃油费
1400元，乙种货车每辆需付燃油费 1000元，则应选(1)
种的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
24 . (10 分)如图，Rt △ ACB 中，/ ACB = 90°,/ A = 30°,/ ABC 的角平分线 BE 交 AC 于点E .
点D 为AB 上一点，且 AD = AC , CD , BE 交于点M . (1)求/ DMB
的度数；
中，n = ________
（2）若CH 丄BE 于点H ，证明：AB = 4MH .
25. （10分）若规定 m , n 两数之间满足一种运算.记作（ m , n ）,若m =门，则（m , n ）
（3）在正整数指数幕的范围内，若（4k , 52x ）＜（ 4, 5）只有两个正整数解，求 k 的取
值范围.
26. （10分）已知在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（0, 2）,点P 是第一象限内一动点.
（1）①：如图①.若动点 P （a , b ）满足|3a - 9|+ （3- b ） 2= 0,且PA 丄PB ,求点 B 的坐标.
②：如图②，在第（1）问的条件下，将/ APB 逆时针旋转至如图/ CPD 所示位置，求 OD - OC 的值.
（2）如图③，若点A 与点A'关于x 轴对称，且 BM 丄FA ',若动点P 满足/ APA '= 2 / OBA'，问： 的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其
值.
y f
P
V ；
卜
F
J 4'
丄
迟"-
Q
Q 厶T 打
圉①
圉②
圏③
=x .我们叫这样的数对称为“青一对” .例如：因为32= 9.所以（3, 9）= 2
（1）根据上述规定要求，请完成填空:
(2, 8)= _________ , (- 3, 81) = _________ ,(-
3
9 4,
16
(2)计算(4, 2) + (4, 3)=(
）,并写出计算过程;
)=
3
C . m M - 1, n 为大于3的整数
D . m M- 1, n = 5
有三项,据此列出 n 的关系式,从而确定
m 、 n 满足的条件
2019-2020 学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年
级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
1 （3 分）“全民行动,共同节约” ,我国 13 亿人口如果都响应国家号召每人每年节约 1 度 电,一年可节约电 1300000000度,这个数用科学记数法表示,正确的是（ ）
9
9
10
10
A 1.30X 10
B 1.3X 10
C 0.13X 10
D 1.3X 10
【分析】科学记数法的表示形式为
a X 10n 的形式，其中1 w |a|v 10, n 为整数.确定 n
的值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相 同.当原数绝对值〉1时，n 是正数；当原数的绝对值v 1时，n 是负数. 【解答】 解： 1300000000 度,这个数用科学记数法表示 1.3X 109, 故选： B
点评】 此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 中1 w |a|v 10, n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值.
（3分）满足|x|= 2的数有（ ）
分析】 根据绝对值的定义解答即可 【解答】解：T |x 匸2 ••• x =± 2 .
故满足Xl = 2的数有2个. 故选： B
【分析】根据二次三项式的定义，可知多项式 2-（ m+1） a+a n -3的最高次数是二次，共
、选择题（本大题共 12小题,共 36.0分）
a X 10n 的形式，其
A 1个
B 2个
C 3个
D 无数个
点评】 本题主要考查了绝对值的定义, 注意, 正数的绝对值等于它本身, 0 的绝对值等
于 0,负数的绝对值等于它的相反数 3 分) 如果 2-( m+1) a+a n 3是关于
a 的二次三项式, 那么 m 、 n 满足的条件是 （
）
B m M 1 , n > 3
【解答】解：•••多项式2-( m+1) a+a n「3是关于a的二次三项式，
n - 3= 2 且m+1 丰 0,
/• n = 5 且m^- 1.
故选：D
【点评】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项, 是几次就叫几次几项式注意一个多项式含有哪一项时,哪一项的系数就不等于0
4 ( 3 分)当x=- 3 时,多项式ax3+bx+1 的值是7 那么当x= 3 时,它的值是( )
A - 3
B - 5
C 7
D - 17
【分析】代入后求出27a+3b=- 6,再把x= 3 代入,即可求出答案
【解答】解：•••当x=- 3时，多项式ax3+bx+1的值是7,
•••代入得：-27a- 3b+1 = 7,
27a+3b=- 6,
3
•当x=3 时, ax +bx+1=27a+3b+1=- 6+1=- 5,
故选：B
【点评】本题考查了求代数式的值,能够整体代入是解此题的关键
5. ( 3分)若点P (m, 1 - 2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P 一定在( )
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
【分析】互为相反数的两个数的和为0,应先判断出所求的点的横纵坐标的符号, 进而判断点P 所在的象限
【解答】解：•••点P (m, 1 - 2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，
• m=-( 1 - 2m),
解得m= 1,即卩1 - 2m=- 1,
•点P 的坐标是( 1 ,- 1 ),
•点P 在第四象限
故选：D
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号特点：第一象限
(+, +)；第二象限(-, +)；第三象限(-,-) ；第四象限( +,-)
6 ( 3 分)下列计算正确的是( )
2 3 3 3 5 8
A ( x ) = x
B 2x ?4x = 8x
第7页(共27页)
【分析】根据幕的乘方与积的乘方、同底数幕的乘法、单项式乘以单项式等知识点进行
作答.
【解答】解：A、（x2）3= x6,故这个选项错误；
B、2x3?4x5= 8x8,故这个选项正确；
C、x4?x3= x7，故这个选项错误；
D、（3x2y3）4= 81x8y12，故这个选项错误.
故选：B.
【点评】本题考查整式的运算.掌握同底数幕的乘法，底数不变，指数相加；幕的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键.
7. （3分）某商场的老板销售一种商品，标价为360元，可以获得80%的利润，则这种商品
进价多少（）
A . 80 元
B . 200 元C. 120 元 D . 160 元
【分析】设这件商品的进价为x,根据题意列出方程解答即可.
【解答】解：设这件商品的进价为x,可得：360 - x = 80%x
解得：x= 200,
故选：B.
【点评】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读
懂题列出方程即可求解.
’有解，则k的取值范围是（）
（3分）若不等式组
A . k v 2
B . k> 2
C . k v 0
D . k< 0
【分析】利用不等式组取解集的方法判断即可确定出k的范围.
【解答】解：•••不等式组［有解，
••• kv 2,
故选：A .
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键.
9. （3分）如图所示，在/ AOB的两边截取AO = BO , CO= DO ,连接AD、BC交于点P, 考察
下列结论，其中正确的是（）
①△ AOD BOC；② △ APCBPD ；③点P在/ AOB的平分线上.
A.只有① B .只有②C.只有①② D .①②③
【分析】由AO= BO,/ O=Z O, DO = CO,①厶AOD ◎△ BOC,/ A=Z B;
AO= BO , CO= DO? AC= BD，又/ A=/ B, / APC = BPD?② △ APC◎△ BPD;
连接OP,容易证明厶AOP也厶BOP? / AOP = / BOP?③ 点P在/ AOB的平分线上.
【解答】解：连接OP ,
•/ AO= BO, / O = / O, DO = CO ,
•△ AOD◎△ BOC ,①正确；
•/ A=/ B;
•/ AO= BO, CO = DO ,
• AC= BD，又/ A=/ B,/ APC = BPD,
•△ APC^A BPD ,② 正确；
• AP= BP,
又AO = BO, OP= OP ,
•△AOP^A BOP,
•/AOP=/ BOP，即点P在/ AOB的平分线上，③正确.
故选：D .
A B
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS、
AAS、ASA和HL,做题时，要根据已知条件结合图形进行思考.
10 . （3 分）已知如图：△ ABC 中，AB= AC, BE= CD , BD = CF，则/ EDF =（）
C . 90°-/ A
【分析】由题中条件可得厶BDECFD，即/
BDE = / CFD , / EDF可由180°与/
BDE、/ CDF的差表示，进而求解即可.
【解答】解：I AB = AC ,
•••/ B=/ C,
•/ BD = CF , BE = CD
•••△ BDE◎△ CFD ,
•••/ BDE = / CFD ,
/ EDF = 180°- (/ BDE+ / CDF )= 180° -(/ CFD+ / CDF)= 180° -( 180°-
/ C)=/ C,
•// A+/ B+ / C = 180 ° .
•••/ A+2 / EDF = 180°, •/ EDF= I ' 亠■■■ i'..
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及全等三角形的判定
及性质问题，能够熟练掌握.
11 . （3分）如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分/ ABC交AD于丘，若厶
CDE的面积等于1，则△ BEC的面积等于（）
B . 90°- 2/ A
D . 12
【分析】根据等边三角形的性质求出AD丄BC,根据三角形的面积得出S A CDE= S A BDE, 求出即可.
【解答】解：•••△ ABC是等边三角形，
• AB= AC,
•/ D为BC的中点，
• BD= DC, AD丄BC,
•S A CDE = S A BDE,
•••△ CDE的面积等于1,
•△ BEC 的面积=1 + 1 = 2,
故选：A .
【点评】本题考查了等边三角形的性质和三角形的面积，能求出AD丄BC和BD = CD是解此题的关键.
12 . （3 分）如图，在五边形ABCDE 中，/ BAE = 120°,/ B=Z E= 90°, AB = BC, AE
=DE,在BC、DE上分别找一点M、N,使得△ AMN的周长最小时，则/ AMN+ / ANM 的度数为（）
A. 90°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
【分析】根据要使厶AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，
作出A关于BC和ED的对称点AA”，即可得出/ AA' M+ / A〃=/ HAA '= 60°, 进而得出/ AMN+ / ANM = 2 （/ AA ' M + / A〃）即可得出答案.
【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A', A〃，连接A' A〃，交BC于M，交
ED于N,则A' A〃即为△ AMN的周长最小值.作EA延长线AH ,
•// BAE = 120 °,
•/ HAA' = 60°,
•/ A' + / A〃=/ HAA ' = 60°,
•// A'=/ MAA '，/ NAE = / A〃，
第11页（共27页）
且/ A' + / MAA '= / AMN , / NAE+ / A〃=/ ANM ,
• / AMN+/ ANM =/ A' + / MAA ' + / NAE+ / A 〃= 2 (/ A' + / A 〃)= 2 X 60° =
120 ° ,
【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M , N的位置是解题关键.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. （3 分）若x3a-2b-2- 2y a+b= 5 是二元一次方程，则 a = 1 , b= 0 .
【分析】根据二元一次方程的定义得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可.
【解答】解：T x3a-2b -2- 2y a+b= 5是二元一次方程，
.卩过-2b-2三1
解得：a = 1, b= 0,
故答案为：1, 0.
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键.
14. （3 分）计算：（-4a2b3）?（- 2ab）2= =- 16a4b5.
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可.
【解答】解：原式=（-4a2b3）?4a2b2
=-16a 4b5,
故答案为：=-16a4b5.
【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幕分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.
15. （3分）若一个多边形的每个内角与它的外角的度数之比都是5：1,则这个多边形的边
数是12 .
【分析】设这个多边形的外角为x°,则内角为5x°，根据多边形的相邻的内角与外角
互补可的方程x+5x= 180,解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数.
【解答】解：设这个多边形的外角为x°,则内角为5x°,
由题意得：x+5x= 180,
解得x= 30,
这个多边形的边数：360° - 30°= 12,
故答案为：12
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的相邻的内角与外角互补.
16 . （3 分）已知8m= 4, 8n= 5.则83m+2n的值为1600 .
【分析】首先根据幕的乘方的运算方法，分别求出83m、82n的值各是多少；然后根据同底数幕的乘法的运算方法，求出83m+2n的值是多少即可.
【解答】解：I 8m= 4, 8n= 5,
... 83m= 43= 64, 82n= 52= 25,
... 83m+2n= 83m x 82n= 64 X 25= 1600 .
故答案为：1600 .
【点评】此题主要考查了幕的乘方和积的乘方，以及同底数幕的乘法的运算方法，要熟
练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n= a mn（m, n是正整数）；②（ab）n= a n b n （n是正整数）.
17 . （3分）如图，已知△ ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两
边垂直，等边三角形的高为5,贝U OE+OF的值为 5 .
【分析】利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论.
【解答】解：•••△ ABC是等边三角形，
• - AB= BC = AC，/ A=/ B=/ C= 60°又••• OE 丄AB, OF 丄AC, / B=/ C= 60°,
• OE = OB?si n60° = OB ，同理OF = OC . 2 • OE+OF = h .
又•••等边三角形的高为 5, • OE+OF = 5, 故答案为5.
【点评】本题考查了等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等， 且都等于60°;
三条边都相等.
18. （ 3分）已知如图等腰△ ABC , AB = AC ，/ BAC = 120°, AD 丄BC 于点D .点P 是BA 延长线上一点，O 点是线段AD 上一点，OP = OC ,下面的结论： ①AC 平分/ PAD ;②
/ APO =/ DCO ;③厶OPC 是等边三角形； ④AC = AO+AP ;⑤S ^ABC = S 四边形AOCP .其 中正确的序号是
①③④⑤
.
【分析】①根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论;
② 因为点O 是线段AD 上一点，所以BO 不一定是/ ABD 的角平分线，可作判断; ③ 证明/ POC = 60°且OP = OC ,即可证得厶OPC 是等边三角形； ④ 首先证明△ OPA BA CPE ，贝U AO = CE , AC = AE+CE = AO+AP ;
⑤ 过点C 作CH 丄AB 于H ，根据S 四边形AOCP = S ^ACP +S ^AOC ,禾U 用三角形的面积公式即 可求解.
【解答】 解：① I AB = AC , / BAC = 120 ° , AD 丄 BC ;
• / PAC =/ DAC , • AC 平分/ PAD 故①正确;
② 由① 知：/ APO = / ABO , / DCO = / DBO , •••点O 是线段AD 上一点，
• / ABO 与/ DBO 不一定相等，则/ APO 与/ DCO 不一定相等，
• OE+OF =2L_ 2
(OB+OC ) = BC .
•/
CAD 弟 BAC = 60 °，
/ PAC = 180°-/ CAB = 60°,
在等边△ ABC 中，高 __L BC .
2
故②不正确；
③•••/ APC+/ DCP+/ PBC = 180°,
•/ APC+ / DCP = 150 ° ,
•// APO+ / DCO = 30°,
•••/ OPC+ / OCP= 120°,
•/ POC= 180°- (/ OPC+ / OCP)= 60°,
•/ OP= OC,
•••△ OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图2,在AC上截取AE = PA,连接PB,
•// PAE = 180° -/ BAC = 60°,
•△ APE是等边三角形，
•/ PEA =/ APE = 60°, PE = FA,
•/ APO+ / OPE = 60 ° ,
•// OPE+ / CPE =/ CPO = 60°,
•/ APO=/ CPE,
•/ OP= CP,
r PA=PE
在厶OPA 和厶CPE 中，(Z APO=Z CPE,
®P=CF
•••△ OPA^A CPE (SAS),
• AO= CE,
• AC= AE+CE= AO+AP ；
故④正确；
如图3,过点C作CH丄AB于H ,
•// PAC=/ DAC = 60°, AD 丄BC,
• CH = CD,
•S A ABC=2AB?CH ,
s 四边形AOCP = S A ACP+S A AOC =^-AP?CH +±OA?CD =—AP?CH 戶OA?CH — H?(AP +OA) =_ CH?AC,
第20页(共27页)
2
• S ^ABC = S 四边形 AOCP ； 故⑤正确.本题正确的结论有： ①③④⑤
故答案为：①③④⑤.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等 三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键. 三、解答题(本大题共 8小题，共64.0分)
19 . (6分)计算题：
(1)
(-2)、頁乔「花歹+(厂1円9
(2) 已知实数 x, y 满足:，'：!■：：/ “ - |,求 3(x 2- 2xy )-[3x2-2y - 2(3xy+y )] 的值 【分析】(1)原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义计算即可求出值； (2)
原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出 x 与y 的值，代入计算即可
求出值.
【解答】 解：(1)原式=-8X 4+5 - 1 = - 32 - 1+5 =- 28 ； (2)原式=3“-6xy - 3x 2+2y+6xy+2y = 4y , •••险、l.|+|2x - 2y+1| = 0, • 2x - 1 = 0, 2x - 2y+1 = 0,
则原式=4 .
【点评】此题考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是 解本题的关键.
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（2）解不等式组，并求它的整数解
【分析】（1）先把二元一次方程组转化成一元一次方程，求出
（2 ）先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可.
【解答】解：（1）卜 ^2（i+l ）=5（y-l ）②
把①代入②得：2 （x+1 ）= 5 （x+1 - 1）,
解得：x=—,
把x =代入①得:
3
r
-3（x-2）>4-x ①
（2厂筈Vi ② L 3
6 •••解不等式①得：X V 1,
解不等式②得：X >- 2,
•不等式组的解集为-2< X V 1,
•不等式组的整数解是-2, - 1, 0.
【点评】 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知
识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（
1）的关键，能求出不等式组的解
集是解（2）的关键.
21. （10分）为了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度.某数学学习兴趣小组对市民进行
随机抽样的问卷调查.调查结果分为“ A .非常了解” “ B .了解” “ C .基本了解”，“D 不太了解”四个等级进行统计， 并将统计结果检制成如下两幅不完整的统计图 （图1,图 2）.请根据图中的信息解答下列问题. 20. （6分）（1）解方程组:
2G-H)=5(y-1) f -2(T>4 乜
x 的值，再求出y 即可;
所以原方程组的解为:
(3) 在图2中的扇形统计图中，求“ C.基本了解”所在扇形的圆心角度数;
(4) 据统计，2019年该市约有市民800万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃
圾分类知识”的知晓程度为“ D .不太了解”的市民约有多少万人?
【分析】(1 )从两个统计图中可得，C类的有200人，占调查人数的20%，可求出调查
人数，
(2)先求出A类的百分比，再求出B类的百分比，进而确定n的值，
(3)C类占20%，因此所对应的圆心角的度数就占360°的20%,
(4)样本估计总体，样本中D类“不太了解”的占17%，估计800万人的17%处在D 类.
【解答】解：(1) 200 - 20%= 1000 人，280 - 1000= 28% , 1- 28% - 20% - 17% = 35% , 故答案为：1000, 35,
(2) 1000X 35% = 350人，补全条形统计图如图所示
:
(2)补全图1中的条形统计图;
n= 35 (3) 360°X 20% = 72
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答：“ C .基本了解”所在扇形的圆心角度数为
72°；
(4) 800 X 17% = 136 万人， 答：知晓程度为“ D .不太了解”的市民约有 136万人.
【点评】考查条形统计图、扇形统计图的特点及制作方法，从两个统计图中获取数量和
数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法.
22 . (8分)如图，DC // AB , / BAD 和/ ADC 的角平分线相交于 E ,过E 的直线分别交 DC , AB 于CB 两点.
(1)判断AE 与DE 的位置关系.并说明理由：
【分析】(1)根据平行线的性质得到/ BAD + / ADC = 180 °，根据角平分线的定义得到 / 3 =丄/ ADC ，/ 1 = —/ BAD ，于是得到结论；
(2)在AD 上截取AF = AB ，连接EF ，如图所示：根据全等三角形的性质得到/
AFE = / B ,根据平行线的性质得到/
B+ / C = 180。

，根据全等三角形的性质即可得到结论.
【解答】解：(1) AE 丄DE ,
理由：••• DC // AB ,
• / BAD+ / ADC = 180°,
•••/ BAD 和/ ADC 的角平分线相交于 E ,
• / 3=*/ ADC ，/ 1=占/ BAD ,
• / 1 + / 3 = — (/ BAD+/ ADC )=丄>< 180°= 90°, 2 2
• / AED = 90 ° ,
• AE 丄 DE ；
(2)在AD 上截取AF = AB ,连接EF ，如图所示：
在厶ABE 和厶AFE 中，《上2=^1
,
,AE=AE
•△ABE ◎△ AFE ( SAS),
•/ AFE = Z B,
T AB// DC ,
•/ B+Z C= 180 ° ,
•••/ AFE + Z DFE = 180°,
•Z DFE = Z C,
F ZDFE=ZC
在^ DEF 和^ DEC 中，丄3二Z4 ,
L DE=DE
•△DEF◎△ DEC (AAS),
• DF= DC,
• AB+DC = AF+DF = AD,
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的
判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键.
23. (6分)某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到
灾区.已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨；一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨.
(1 )若将这批货物一次性运到灾区，请写出具体的租车方案？
(2)若甲种货车每辆需付燃油费1400元，乙种货车每辆需付燃油费1000元，则应选(1) 种的哪
种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
【分析】(1 )设租用甲种货车x辆，表示出租用乙种货车为(16 -x)辆，然后根据装运
的蔬菜和水果数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据x是正
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整数设计租车方案；
(2)根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增减性求出费用的最小值.
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【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16-x）辆, 根据题意得严廿似H）沁沃①
由①得x> 5,
由②得x w 7,
• 5 w x< 7,
•/ x为正整数，
• x= 5 或 6 或7,
因此，有3种租车方案:
方案一: 租甲种货车5辆, 乙种货车11辆;
万案
一:
租甲种货车6辆, 乙种货车10辆;
万案三:
租甲种货车
7
辆，
乙种货车9辆；
（2）由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16- x）辆，设两种货车燃油总
费用为y元，
由题意得y= 1400x+1000 （16 - x）,
=400x+16000,
•/ 400> 0,
• y随x值增大而增大，当x= 5时，y有最小值，
• y 最小=400 X 5+16000 = 18000 兀.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键.
24. （10 分）如图，Rt△ ACB 中，/ ACB = 90°,/ A = 30°,/ ABC 的角平分线BE 交AC
于点E.点D为AB上一点，且AD = AC, CD , BE交于点M .
（1）求/ DMB的度数；
（2）若CH丄BE于点H，证明：AB= 4MH .
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握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
25. （10分）若规定 m , n 两数之间满足一种运算.记作（ m , n ）,若m x =门，则（m , n ）
=x .我们叫这样的数对称为“青一对” .例如：因为32= 9.所以（3, 9）= 2
【分析】（1）根据角平分线的性质得到/ ABE = / CBE = 30°,根据等腰三角形的性质得 到/ ACD = / ADC = 75°,根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明.
【解答】（1 ）解：T/ ACB = 90°,/ A = 30°,
• / ABC = 60 ° ,
••• BE 是/ ABC 的角平分线，
• / ABE =/ CBE = 30°,
•••/ A = 30°, AC = AD ,
• / ACD = / ADC = 75°,
• / DMB =/ ADC -/ ABE = 45°；
（2）证明：T/ ACB = 90°,/ A = 30°,
• AB =2BC ,
•/ CH 丄 BE , / CBE = 30°,
• BC = 2CH ,
•AB =4CH ,
在 Rt △ CHM 中，/ CMH = 45° ,
• CH = MH ,
•AB =4MH .
【点评】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌
【分析】（1）根据角平分线的性质得到Z ABE = Z CBE = 30°,根据等腰三角形的性质得到Z ACD = Z ADC = 75°,根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据含30 度角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质计算,即可证明.
【解答】（1 ）解：TZ ACB= 90°,Z A = 30°,
•Z ABC= 60°,
••• BE是Z ABC的角平分线，
•Z ABE=Z CBE=30°,
TZ A= 30°, AC= AD,
•Z ACD=Z ADC=75°,
•Z DMB =Z ADC-Z ABE= 45°；
（2）证明：•••/ ACB = 90°,Z A= 30°,
• AB= 2BC,
•/ CH 丄BE,Z CBE = 30°,
• BC= 2CH ,
• AB= 4CH ,
在Rt△ CHM 中，Z CMH = 45° ,
• CH= MH,
• AB= 4MH .
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质,掌握在直25. （10分）若规定m, n两数之间满足一种运算.记作（m, n）,若m x=门，则（m, n）
=x.我们叫这样的数对称为“青一对”.例如：因为32= 9.所以（3, 9）= 2
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【分析】（1）根据角平分线的性质得到Z ABE = Z CBE = 30°,根据等腰三角形的性质得角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
到/ ACD = / ADC = 75°,根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据含30 度角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质计算,即可证明．
【解答】（1 ）解：T/ ACB= 90°,/ A = 30°,
•/ ABC= 60°,
••• BE是/ ABC的角平分线，
•/ ABE=/CBE=30°,
•••/ A= 30°, AC = AD ,
•/ ACD=/ ADC=75°,
•/ DMB=/ADC-/ABE=45°;
（2）证明：T/ ACB = 90°,/ A= 30°,
• AB= 2BC,
•/ CH 丄BE, / CBE = 30°,
• BC= 2CH ,
• AB= 4CH ,
在Rt△ CHM 中，/ CMH = 45° ,
• CH= MH,
25. （10分）若规定m, n两数之间满足一种运算.记作（m, n）,若m x=门，则（m, n）=x.我们叫这样的数对称为“青一对”.例如：因为32= 9.所以（3, 9）= 2
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【分析】（1）根据角平分线的性质得到Z ABE = Z CBE = 30°,根据等腰三角形的性质得• AB= 4MH .
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质,掌握在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
到Z ACD = Z ADC = 75°,根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据含30 度角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质计算,即可证明.
【解答】（1 ）解：TZ ACB= 90°,Z A = 30°,
•Z ABC= 60°,
••• BE是Z ABC的角平分线，
•Z ABE=Z CBE=30°,
TZ A= 30°, AC= AD,
•Z ACD=Z ADC=75°,
•Z DMB=Z ADC-Z ABE=45°；
（2）证明：T Z ACB = 90°,Z A= 30°,
• AB= 2BC,
•/ CH 丄BE,Z CBE = 30°,
• BC= 2CH ,
• AB= 4CH ,
在Rt△ CHM 中，Z CMH = 45° ,
25. （10分）若规定m, n两数之间满足一种运算.记作（m, n）,若m x=门，则（m, n）
=x.我们叫这样的数对称为“青一对”.例如：因为32= 9.所以（3, 9）= 2
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【分析】（1）根据角平分线的性质得到Z ABE = Z CBE = 30°,根据等腰三角形的性质得• CH= MH,
• AB= 4MH .
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质,掌握在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
到/ ACD = / ADC = 75°,根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据含30 度角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质计算,即可证明．
【解答】（1 ）解：T/ ACB= 90°,/ A = 30°,
•/ ABC= 60°,
T BE 是/ ABC 的角平分线,
•/ ABE=/ CBE=30°,
T/ A= 30°, AC= AD,
•/ ACD=/ ADC=75°,
•/ DMB=/ ADC-/ ABE=45°；
（2）证明：T/ ACB = 90°,/ A= 30°,
• AB= 2BC,
T CH 丄BE, / CBE = 30°,
• BC= 2CH ,
25. （10分）若规定m, n两数之间满足一种运算.记作（m, n）,若m x=门，则（m, n）
=x.我们叫这样的数对称为“青一对”.例如：因为32= 9.所以（3, 9）= 2
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【分析】（1）根据角平分线的性质得到Z ABE = Z CBE = 30°,根据等腰三角形的性质得• AB= 4CH ,
在Rt△ CHM 中，/ CMH = 45° ,
• CH= MH,
• AB= 4MH ．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质,掌握在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
到/ ACD = / ADC = 75°,根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据含30 度角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质计算,即可证明.
【解答】（1 ）解：T/ ACB= 90°,/ A = 30°,
•/ ABC= 60°,
T BE 是/ ABC 的角平分线,
•/ ABE=/CBE=30°,
T/ A= 30°, AC= AD,
•/ ACD=/ ADC=75°,
•/ DMB=/ADC-/ABE=45°;
（2）证明：T/ ACB = 90°,/ A= 30°,
• AB= 2BC,
25. （10分）若规定m, n两数之间满足一种运算.记作（m, n）,若m x=门，则（m, n）
=x.我们叫这样的数对称为“青一对”.例如：因为32= 9.所以（3, 9）= 2
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【分析】（1）根据角平分线的性质得到Z ABE = Z CBE = 30°,根据等腰三角形的性质得T CH 丄BE, / CBE = 30°,
• BC= 2CH ,
• AB= 4CH ,
在Rt△ CHM 中，/ CMH = 45° ,
• CH= MH,
• AB= 4MH .
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质,掌握在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
25. （10分）若规定m, n两数之间满足一种运算.记作（m, n）,若m x=门，则（m, n）
=x.我们叫这样的数对称为“青一对”.例如：因为32= 9.所以（3, 9）= 2
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