人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.3.1 函数的单调性(第1课时)【课件】
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5．3 导数在研究函数中的应用 5．3.1 函数的单调性(第1课时)
函数的单调性
要点 1 函数的单调性与导数正负的关系 在某个区间(a，b)上，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上 ____单_调__递_增____；在某个区间(a，b)上，如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a， b)上___单__调_递__减_____．
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
－
0
＋
f(x)
单调递减 单调递减 f(3)＝e3 单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)和(2， 3)．
探究1 求单调区间的几点说明： (1)如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，那么这些区间中间不能 用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接． (2)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定 义域内的间断点． (3)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影 响．
2．对于函数 y＝f(x)，f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的充要条件吗？
答：不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题 而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果 f′(x)≥0 成立的条件是 f′(x)＝0，那么该函数无单调递增区间，不是增函数．
3．在区间(a，b)上 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在区间(a，b)上为增(减)函数 的充要条件吗？
(4)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝ex（（xx－－22））－2 ex＝e（x（x－x－2）3）2 .
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
令f′(x)＝0可得x＝3，则f′(x)在各区间的正负，以及f(x)的单调性如下表所
示：
x
(－∞，2) (2，3)
可导函数 f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的 x∈(a， b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．
4．在“f(x)在区间 M 上单调递增”与“f(x)的单调递增区间为 N”中，区间 M 与区间 N 有什么关系？
∞，－1)和(1，＋∞)．
(3)易知函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－
2 x
，令f′(x)＝0，解得x1＝
33，x2＝－ 33(舍去)，用x1分割定义域，得下表：
x f′(x)
0，
3
3
－
3 3
33，＋∞
0
＋
f(x)
单调递减
f
3
3
单调递增
∴函数f(x)的单调递减区间为0， 33，单调递增区间为 33，＋∞.
0，解得x＝23或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x源自的变化情况如下表：x f′(x)
－∞，23 ＋
2 3
23，2
2
(2，＋∞)
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
f23＝257
单调递减 f(2)＝－1 单调递增
23，2.
所以函数f(x)的单调递增区间为 －∞，23 和(2，＋∞)，单调递减区间为
(2)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
答：求函数的单调区间，先考虑函数的定义域，然后解不等式 f′(x)>0(或 f ′(x)<0)(不要带等号)，最后求二者的交集，把它写成区间．已知函数 y＝f(x)的单 调递增区间为 N，则在区间 N 上 f′(x)≥0 恒成立(必须要带上等号)，故在“f(x) 在区间 M 上单调递增”与“f(x)的单调递增区间为 N”中，M⊆N，我们也常用该 结论求参数的取值范围．
答：在区间(a，b)上 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的 充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使 f′(x)＝0，不会影响函数 f(x)在 包含该点的某个区间上的单调性．例如函数 f(x)＝x3 在定义域(－∞，＋∞)上是增 函数，但由 f′(x)＝3x2 知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足 f′(x)>0.
要点 2 利用导数判断函数单调性的一般步骤 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 y＝f(x)的单调性： 第 1 步，确定函数的定义域； 第 2 步，求出导数 f′(x)的零点； 第 3 步，用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x) 在各区间上的正负，由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性．
课时学案
题型一 求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－4x2＋4x－1； (2)f(x)＝x＋1x； (3)f(x)＝3x2－2ln x； (4)f(x)＝x－ex 2.
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－8x＋4.令3x2－8x＋4＝
要点 3 f(x)在区间(a，b)上严格递增(递减)的充要条件 (1)∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)； (2)在区间(a，b)的任意子区间上 f′(x)不恒等于零．
1．为什么可以用导数研究函数的单调性？
答：函数的单调性在必修第一册中已经讲过，当时直接根据单调性的定义研究函数 的单调性．导数是在研究变化现象中产生的，它是平均变化率的极限．我们可由函数的 某段平均变化率f（x2）x2－－xf（1 x1）逐步逼近函数在某点的瞬时变化率(导数)；反过来，由 函数在某点的瞬时变化率我们可以估计函数在这点附近的变化情况．当 x1≠x2 时，由函 数的某段平均变化率f（x2）x2－－xf（1 x1）的符号，可以比较函数 f(x)在 x1，x2 处的函数值的 大小．因此，导数可以作为研究函数单调性的工具，而且利用导数研究函数的单调性具 有一般性．
f′(x)＝1－
1 x2
，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变
化情况如下表：
(－∞，
(－1，
x
－1
(0，1)
1
(1，＋∞)
－1)
0)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
单调
单调
单调
单调
f(x)
f(－1)
f(1)
递增
递减
递减
递增
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1，0)和(0，1)，单调递增区间为(－
函数的单调性
要点 1 函数的单调性与导数正负的关系 在某个区间(a，b)上，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上 ____单_调__递_增____；在某个区间(a，b)上，如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a， b)上___单__调_递__减_____．
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
－
0
＋
f(x)
单调递减 单调递减 f(3)＝e3 单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)和(2， 3)．
探究1 求单调区间的几点说明： (1)如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，那么这些区间中间不能 用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接． (2)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定 义域内的间断点． (3)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影 响．
2．对于函数 y＝f(x)，f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的充要条件吗？
答：不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题 而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果 f′(x)≥0 成立的条件是 f′(x)＝0，那么该函数无单调递增区间，不是增函数．
3．在区间(a，b)上 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在区间(a，b)上为增(减)函数 的充要条件吗？
(4)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝ex（（xx－－22））－2 ex＝e（x（x－x－2）3）2 .
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
令f′(x)＝0可得x＝3，则f′(x)在各区间的正负，以及f(x)的单调性如下表所
示：
x
(－∞，2) (2，3)
可导函数 f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的 x∈(a， b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．
4．在“f(x)在区间 M 上单调递增”与“f(x)的单调递增区间为 N”中，区间 M 与区间 N 有什么关系？
∞，－1)和(1，＋∞)．
(3)易知函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－
2 x
，令f′(x)＝0，解得x1＝
33，x2＝－ 33(舍去)，用x1分割定义域，得下表：
x f′(x)
0，
3
3
－
3 3
33，＋∞
0
＋
f(x)
单调递减
f
3
3
单调递增
∴函数f(x)的单调递减区间为0， 33，单调递增区间为 33，＋∞.
0，解得x＝23或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x源自的变化情况如下表：x f′(x)
－∞，23 ＋
2 3
23，2
2
(2，＋∞)
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
f23＝257
单调递减 f(2)＝－1 单调递增
23，2.
所以函数f(x)的单调递增区间为 －∞，23 和(2，＋∞)，单调递减区间为
(2)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
答：求函数的单调区间，先考虑函数的定义域，然后解不等式 f′(x)>0(或 f ′(x)<0)(不要带等号)，最后求二者的交集，把它写成区间．已知函数 y＝f(x)的单 调递增区间为 N，则在区间 N 上 f′(x)≥0 恒成立(必须要带上等号)，故在“f(x) 在区间 M 上单调递增”与“f(x)的单调递增区间为 N”中，M⊆N，我们也常用该 结论求参数的取值范围．
答：在区间(a，b)上 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的 充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使 f′(x)＝0，不会影响函数 f(x)在 包含该点的某个区间上的单调性．例如函数 f(x)＝x3 在定义域(－∞，＋∞)上是增 函数，但由 f′(x)＝3x2 知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足 f′(x)>0.
要点 2 利用导数判断函数单调性的一般步骤 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 y＝f(x)的单调性： 第 1 步，确定函数的定义域； 第 2 步，求出导数 f′(x)的零点； 第 3 步，用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x) 在各区间上的正负，由此得出函数 y＝f(x)在定义域内的单调性．
课时学案
题型一 求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－4x2＋4x－1； (2)f(x)＝x＋1x； (3)f(x)＝3x2－2ln x； (4)f(x)＝x－ex 2.
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－8x＋4.令3x2－8x＋4＝
要点 3 f(x)在区间(a，b)上严格递增(递减)的充要条件 (1)∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)； (2)在区间(a，b)的任意子区间上 f′(x)不恒等于零．
1．为什么可以用导数研究函数的单调性？
答：函数的单调性在必修第一册中已经讲过，当时直接根据单调性的定义研究函数 的单调性．导数是在研究变化现象中产生的，它是平均变化率的极限．我们可由函数的 某段平均变化率f（x2）x2－－xf（1 x1）逐步逼近函数在某点的瞬时变化率(导数)；反过来，由 函数在某点的瞬时变化率我们可以估计函数在这点附近的变化情况．当 x1≠x2 时，由函 数的某段平均变化率f（x2）x2－－xf（1 x1）的符号，可以比较函数 f(x)在 x1，x2 处的函数值的 大小．因此，导数可以作为研究函数单调性的工具，而且利用导数研究函数的单调性具 有一般性．
f′(x)＝1－
1 x2
，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变
化情况如下表：
(－∞，
(－1，
x
－1
(0，1)
1
(1，＋∞)
－1)
0)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
单调
单调
单调
单调
f(x)
f(－1)
f(1)
递增
递减
递减
递增
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1，0)和(0，1)，单调递增区间为(－