多边形的内角和与外角和

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边 形的对角线.
线段AC是四边形ABCD的一条对角线； 多边形的对角线用虚线表示。
请大家思考：五边形ABCDE共有几条对角线呢？
五边形ABCDE共有5条对角线。
请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？
有没有什么 规律呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线。


若一个多边形的每一个外角都等于24°,则这个多 15 边形的边数是_____ 若一个多边形的每一个外角都等于30°,则它的内 角和等于_____ 1800° 72 各角都相等的五边形的每一个外角都等于____ ° 如果一个多边形内角和等于外角和的二分之一倍, 那么这个多边形的边数是____ 3 ° 180 若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加____ 外角和增加____ 0° 若一个多边形的每一个外角都等于与它相邻内角， 4 则这个多边形的边数是_____
E
4
C
3 C'
D
D'
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所 组成的角叫做这个多边形的外角。
1 3 A 2 1 3 B 4 B C A D
2
C
注意：n边形的每个内角有2个外角，但它们是对顶角它 们是相等的。所以，从数量上看，n边形的外角有n个。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做这个多边形的外角和。
1、一个多边形的每一个内角都等 于144º ，这个多边形是几边形？它的内角 和是多少度？ 解：设多边形的边数为n，则有
（180º -144º ·n=360º ）
内角和为： （n-2）· =（10-2） × 180º 180º =1440º
解得 n=10
2、一个多边形截去一个角后，形成另一 个多边形的内角和为1800º ，则原多边形的边 数为多少？ 解：设新的多边形的边数为n，则有 （n-2）· 180º 1800º = 解得 n = 8 C C C
2 3
1 5 4
1
o
o
o
2 3 4
6×180 -4×180 =360
o o
o
o
o o
n×180 -(n-2)×180 =360
分析:设多边形的边数为n(n>3)，则有： 外角和=180°〃n—内角和 =180°〃n—180°〃(n-2) ° =360 说明:
1、当n>3时，上面的式子对任何n都成立，也就是 说，多边形的外角和与多边形的边数无关，多边形 的外角和恒等于360ْ
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把 三角形称为三边形（但我们习惯称为三角 形）．
你能说出三角 形的定义吗？
三角形是由三条不在同一条直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形
既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形 的定义，说出什么叫四边形吗？
四边形是由四条不在同一直线上 的线段首尾顺次连结组成的平面 图形，记为四边形ABCD
请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 1
请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 2
请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 3
……
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ N-3 一共有多少条对角线
拓展应用
例 若一个多边形，则从一个顶点出发引的对 角线条数是10条，则这个多边形是几边形？
哇!这么简单呀!
例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度 数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度 数.
先求出十边形的内角和 再减去－2）×180° =1440 ° 则十边形的另一个内角的度数为 1440 °- 1290° =150 °

巩固练习
4.一个不规则的图形如图所示，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
解：联结AD ∵∠1+∠2+∠AGD= ∠E+∠F+∠EGF=180°， ∠EGF=∠AGD ∴∠E+∠F=∠1+∠2 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F=∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠1+∠2=360°
C
A
1
G E
2
D
作业导学案
明月中学
温故而知新
1、多边形及其相关元素的定义
2、多边形内角和公式
多边形内角和=(n-2)〃180° n=多边形内角和/180°+2
3、多边形内角和公式的应用
(1)已知边数，求内角和
(2)已知内角和，求边数
(3)在n边形中，求其中一个未知角的度数
填空
1一个12边形的内角和是 2已知一个多边形的内角和为1800°,求这 个多边形的边数． 3从8多边形的一个顶点出发的对角线共有 _______条.，从一个多边形的一个顶点 出发的对角线共有_8__条.，则这个多边 形是
多边形的 3 边数 多边形内 角与外角 的总和 多边形的 内角和
多边形的 外角和
4
5
6
…
n
多边形 三角形
图形
1 3 2
多边形的外角和
3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360
6 5
o
o
o
1
四边形 五边形 六边形 n边形
2 3
4
o
o
o
想一想
如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似 的结论吗？它们的外角和还等于360°吗？
外角和=180°X6-内角和 外角和=180°X8-内角和 =180°X6-180°X(6=180°X8-180°X(82) 2) ° ° ° ° =1080 -720 =1440 -1080 ° ° =360 =360
例题讲解
例1、已知一个多边形，它的内角和等于 外角和的2倍，求这个多边形的边数。
分析：内角和等于（n-2）· ，外 180º
角和等于360º ，内角和是外角和的２倍。
解：设多边形的边数为n，则有
（n-2）· 180º 360º = ×2 解得 n = 6 答：这个多边形的边数为６。
练一练

n边形
从同一顶点引出的对角线的条数：
0 1
1 2
2 3
3 4
n－3
n－2
分割出的三角形的个数：
复习回顾
n边形从一个顶点出发的对角线条 数为：(n－3) 条(n≥3)
n边形共有对角线
n(n 3) 条(n≥3) 2
我们已经知道一个三角形的内角和等于180°， 那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形 呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？
那么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？ 五边形有5个内角，5条边，10个外角
那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
六边形有6个内角，6条边，12个外角 那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢？ n边形有n个内角，n条边，2n个外角
请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外 角三者的关系表，你能发现什么规律？
A
B
A
B
A
B
原多边形边数为n+1 = 9 n-1 = 7 n = 8
3五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比 最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为 _____




解;设五边形中前四个角的度数分别是 x,2x,3x,4x,则第五个角度数是x+ 100 °. X+2x+3x+4x+x+ 100 °= （5－2） ×180° 11X +100 °= 540° 11X = 440° X = 40° 则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°.
既然三角形有三个内角、三条边，六个外角， 那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
图 8.3.2
1.如图8.3.2所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四 边形ABCD的四个内角 2.AB，BC，CD，DA是四边形ABCD的四条边
3.∠CBE 和 ∠ ABF 都 是 与 ∠ ABC 相 邻 的 外 角 ， 两者互为对顶角，四边形有八个外角。
解 （n－2）×180° =（8－2）×180° =1 080°
老师,可以用计算器吗?
例2.已知多边形的内角和的度数为900°， 7 则这个多边形的边数为________

解
（n－2）×180° = 900° （n－2）= 900° /180° （n－2） = 5 n= 5 +2 n=7
五边形，它是由五条不在同一直 线上的线段首尾顺次连结组成的 平面图形，记为五边形ABCDE
那么多边形的定义呢？
一般地，由n条不在同一直线 上的线段首尾顺次连结组成的 平面图形称为n边形，又称为 多边形．
下面所示的图形也是多边形，但不在我们 凸多边形 现在研究的范围内 。 有什么不同？
凹多边形
注意 我们现在研究的是如右图所示的 多边形，也就是所谓的凸多边形
5 4 1 1 4 8
2 5
3
6
6
2
3 7
注意：n边形的外角和是从每个顶点处取这个多边形 的一个外角求和。
想一想 还有什么方法可以推导出多边形外角和
5 4 1 1 4 8
2 5
3
6
6
2
3 7
∠4+∠5+∠6=？ ∠5+∠6+∠7+∠8=？
（1）任一外角与同它相邻的内角之和是多少度？ （2）这些多边形的外角和与这些多边形内角和相 加，所得的总和是多少度？
（3）这些边形的内角和是多少度？
（4）这些边形的外角和是多少度？
1
A
6
5
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
E ∠1+∠6=？ ∠2+∠7=？ ° =180 ∠3+∠8=？ ∠4+∠9=？ ∠5+∠10=？ ° =540 ∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=？
B
2
7
10 8
3
C
9 D
4
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°X5-(∠6+∠7+∠8+∠9+∠10) =180°X5-180°X(5-2) ° ° =900 -540 ° =360
720 ° 900 °
4.从多边形外一个点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？
180 °n- 36 0 ° = 180 °n-
2X180 °
= 180 °(n-2)
例1.求八边形的内角和的度数．
分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 ° , 现在知道这个多边形的边数是， 代入这个公式既可求出.
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
n n
6
8
10
12
14
2n
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这 样的三角形就叫做正三角形。
正三角形 正四边形 正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么 这样的多边形就叫做正多边形。如正三角形、正四 边形（正方形）、正五边形等等 。
课堂练习
①从100边形的一个顶点出发可以画 _____条对角线，把100边形分成了 个三角形；100边形共有___• 对角线． 条 ②从n边形的一个顶点出发可以画_____ 条对角线，把n分成了 个三角形；n边 形共有_____条对角线．

作业完成导学案
多边形的内角和（2）
复习回顾
……
三角形 四边形 五边形 六边形
F
B
思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？ 为什么？
一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？ 3
总结
(n １.n边形的内角和等于 ： - 2)•180° ２.n边形的外角和等于 ：360° ３.过n边形的某一个顶点的所有对 角线有几条？被分成几个三角形？ 有(n - 3) 条。 被分成(n - 2) 个。 ４.三种求多边形内角和的方法,体现 了数学的化归思想:化多边形问题为 三角形问题来解.
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？
2
180 °
3
4
5
6
n-1
36 0 ° 540 °
720 ° 900 °
180 ° (n-1)-180 °
3.从多边形内一个点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？
3
4
5
6
7
n
180 ° n-360°
180 ° 36 0 ° 540 °
我们学习数学的 基本思想什么？ 化未知为已知
那么我们能不能利 用三角形的内角和，来 求出四边形的内角和， 以及五边形、六边形， n边形的内角和？
1.从一个顶点出发
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？
3
4
5
n-2
180 ° (n-2)
540 ° 720 ° 900 °
2.从边上的一个点出发

清晨,小明沿一 个五边形广场周围 的小路,按逆时针方 向跑步。
A'
1、小明每从一条街道转 到下一条街道时，身体 转过的角是哪个角？ 2、他每跑完一圈，身体 转过的角度之和是多少 度？ 3、在上图中，你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得 到的？
1
A
5 E'
B
B' 2