《必修二》课后习题解析：向量的线性运算

《必修二》课后习题解析：向量的线性运算必修二课后习题解析：向量的线性运算
向量是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。

在高中数学课程中，向量的线性运算是一个重要的学习内容。

本文将对《必修二》中
的相关习题进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握向量的线性运算。

1. 向量的加法
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的运算。

在进行
向量的加法时，需要将两个向量的对应分量相加，并且保持向量的方
向和大小不变。

示例题目1：
已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, 7)，求向量c=a+b。

解析：
将向量a和向量b的对应分量相加，得到向量c的分量。

c=(2+4, 3+7)
=(6, 10)
因此，向量c=a+b=(6, 10)。

2. 向量的数量乘法
向量的数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个实数得到一个新的向量的运算。

在进行数量乘法时，需要保持向量的方向不变，只改变向量的大小。

示例题目2：
已知向量a=(2, 3)，求实数k使得k*a=(-4, 6)。

解析：
设k为需要求解的实数。

k*a=(-4, 6)
根据数量乘法的定义，有：
(k*2, k*3)=(-4, 6)
解方程组：
2k=-4
3k=6
求解方程组，可得：
k=-2
因此，当k=-2时，k*a=(-4, 6)。

3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的运算。

在进行向量的减法时，可以将减法转化为加法，即a-b=a+(-b)。

示例题目3：
已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, 7)，求向量c=a-b。

解析：
将向量b取相反数，即-b=(-4, -7)，然后进行向量的加法运算。

c=a+(-b)
=(2, 3)+(-4, -7)
=(2+(-4), 3+(-7))
=(-2, -4)
因此，向量c=a-b=(-2, -4)。

4. 向量的数量积
向量的数量积又称为点积或内积，是指将两个向量的对应分量分别相乘，再将乘积相加得到一个实数的运算。

示例题目4：
已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, 7)，求向量a和向量b的数量积。

解析：
将向量a和向量b的对应分量相乘，再将乘积相加。

a·b=(2*4)+(3*7)
=(8)+(21)
=29
因此，向量a和向量b的数量积为29。

5. 向量的夹角
向量的夹角是指两个向量之间的夹角。

夹角的大小可以通过向量的点积公式来计算：
cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)
示例题目5：
已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, 7)，求向量a和向量b的夹角。

解析：
首先计算向量a和向量b的点积和两个向量的模。

a·b=(2*4)+(3*7)
=(8)+(21)
=29
|a|=√(2^2+3^2)
=√(4+9)
=√13
|b|=√(4^2+7^2)
=√(16+49)
=√65
代入公式计算夹角的余弦值：
cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)
=29/(√13*√65)
根据余弦值求得夹角：
θ=arccos(cosθ)
计算结果为θ≈0.9103弧度或约52.28°。

通过以上五个示例题目的解析，我们可以看到向量的线性运算在数学中的重要性和应用。

同学们在学习向量的线性运算时，应该注重理解概念并掌握运算技巧，通过大量的习题来巩固相关知识。

掌握了向量的线性运算，同学们可以更好地应对高中数学中的各种问题，并为以后的学习打下坚实的基础。

希望本文的解析对同学们的学习有所帮助。