图形学第三章

⎧ y − ( y i + 1) − 0.5 + k e( xi +1 ) >= 0 = ⎨ r +1 e( xi +1 ) < 0 ⎩ y r +1 − y i − 0.5 + k ⎧e( x ) + k − 1 e( xi +1 ) >= 0 = ⎨ i +1 e( xi +1 ) < 0 ⎩ e( xi +1 ) + k
记Hi(xHi, yHi), Li(xLi, yLi) sM 对应的圆半径Rm , 且满足: (xHi2 + yHi2 – Rm2) + (xLi2 + yLi2 – Rm2 ) = 0 如何判断弧AB在sM 的上方还是下方? 设AB弧对应半径为R, 令D(P) = x2 +y2 – R2 且 di = D(Hi) + D(Li) = (xHi2 + yHi2 –R2) + (xLi2 + yLi2 –R2) 易知 di 是R的递减函数, R = Rm时, di = 0;取Hi 或Li 。 R > Rm时, AB弧在sM上方, di < 0，取Hi; R< Rm 时, AB弧在sM下方, di > 0，取Li。
3.2.1 Bresenham 生成圆弧算法
void BshCircle(double Radius, int color) {
int x, y, d; x = 0; y = Radius; d = 3 – 2*Radius; while(x <= y) {
SetPixel(x,y,color); if (d < 0) d += 4*x + 6; else { d += 4*(x-y) + 10; y - -； } x++;
i i i i-1
di+1 = di +4xi – 4yi-1 + 6 = di +4(xi-1 – yi-1) + 10
3.2.1 Bresenham 生成圆弧算法
di 的初值。 A(x0,y0), x0 = 0, y0 = R; d1 = D(H1) +D(L1) = ((x0 + 1)2 + y02 – R2) + ((x0 + 1)2 + (y0 – 1)2 – R2) = 3 – 2y0 = 3 – 2R
3.1 直线的扫描转换
在第一个八分象限内讨论
直线斜率 < 1, 将 x 坐标每次递增一 个单位, 计算对应的 y 值,点亮相应象 素.
算法原理
过各行各列象素中心构造一组虚拟网格 线。按直线从起点到终点的顺序计算直 线与各垂直网格线的交点，然后确定该 列象素中与此交点最近的象素。
3.1.1 基本增量算法（DDA算法）
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6
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3.3.2 扫描线算法
解决几个问题
a) 扫描线与多边形的顶点相交： 计算交点个数时，仅对边的ymin顶 点计数，其ymax顶点不计。 b) 边界象素的取舍：
若填充段端点为实数，左端点向上取 整，右端点向下取整。 若填充段端点为整数，左端点填充，右 端点不填充。
1
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6
3.3.2 扫描线算法
数据结构和实现
struct E { double ymax; // 边的上顶点y值 double xmin; // 边的下顶点x值 double △x; // 相邻扫描线间该边
// 在x方向的偏移量
E * pointer ;
// 该扫描线交的下条边
} 每条扫描线具有一个包含相关边信息的链 表，所有的链表构成一个全局的边表。
通过判断di的符号，确定选择 的象素。
3.2.1 Bresenham 生成圆弧算法
di = D(Hi) + D(Li) = (xHi2 + yHi2 –R2) + (xLi2 + yLi2 –R2) 增量法实现di的快速计算 设Pi-1(xi-1, yi-1), Hi(xi, yi-1), Li(xi, yi-1 – 1), Hi+1(xi+1, yi), Li+1(xi+1, yi – 1) di = (xi2 + yi-12 –R2) + (xi2 + (yi-1 – 1)2 –R2) 所以 当di < 0 时， 选Hi， 有yi = yi-1 di+1 = (xi+12 + yi2 –R2) + di+1 = di +4xi + 2 = di + 4xi-1 + 6 2 + (y – 1)2 –R2) (xi+1 i 当 d > = 0 时， 选L , 有 y = y -1,
几种容易实现但效率不高的算法： 1）圆方程显式求解 y = ± R 2 − x 2 ,画出1/4圆周， 对称化整个圆。（乘法、开方；且x ≈ R时，y值 产生大的间断--点分布不均匀）。 2）画点( R cosθ , R sin θ )，从0到90，再对称，效率同1)差 不多，但避免点分布不均。
3.2.1 Bresenham 生成圆弧算法
Bresenham 算 法 误 差 项 的几何含义( |MI| )
3.1.2 Bresenham 算法
CD中点记为M，如果理想点 I(xi+1,yr+1 )在M的上面，取 D(xi+1, yi+1), 否则取C(xi+1, yi)。 为了确定I在M的上面还是下 面，引入误差项： e(xi+1) = yr+1 – yi – 0.5 若e(xi+1)>= 0，I在M的上面， yi+1 = yi + 1； 若e(xi+1) < 0 ,I在M的下面， yi+1 = yi 。
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3.3.2 扫描线算法
解决几个问题
c) 水平边不考虑交点。 d）特殊情况：当填充区域小于1 个象素的窄条填充时，许多扫描 线上按规则一个象素都不能画， 这是走样的一个例子。需要采用 反走样，不严格遵守填充规则－ “只填充在多边形内部和多边形左 边线和底线边的象素”。 e) 增量法取代求交点。－ 效率 优化
3.3.2 扫描线算法
边表ET
初始化时我们建立这 个全局边表（ET）,包含 多边形所有边，按边端 点的ymin排序存放。即， 若边的较低端点为ymin， 则该边就放在扫描线ymin 的链表中。每条扫描线 交的多边形的边按其低 端点的x坐标增序排列。
3.3.2 扫描线算法
活跃边表AET
与当前扫描线相交的边称为活性 边，按与扫描线交点x坐标递增的顺 序存放在一个链表中，称此链表为 活性边表(AET)
// d 的初值 // 绘制 1/8 圆周
} // end while
}
3.3 多边形区域填充
区域填充是光栅系统的一大亮点,优于向量系 统 区域填充利于物体的真实感建模
3.3.1 逐点比较法
逐个象素判别，确定其是否位于多边 形内，给出多边形内部象素的集合。 如何确定一个点是否位于某多边形内 呢？射线法：验证点(x,y)是否位于 多边形P内，则从（x,y）到（＋∞， y）的射线与P的交点个数为奇数时， 在内部，否则，点在多边形外。 致命缺点：速度太慢，每个象素去多 次求交点孤立判断，需要大量的乘除 运算。
3.1.1 基本增量算法（DDA算法）
算法描述:
void Line (int x0, int y0, int x1, int y1，int Color) { double k = (y1 – y0)/(x1- x0); double y = y0; for(x = x0; x < = x1; x++) { SetPixel(x, (int)(y + 0.5), Color); y += k; } }
Bresenham 算 法 误 差 项 的几何含义( |MI| )
3.1.2 Bresenham 算法
至此,yi+1 可以通过误差项的符 号由yi推出,但 e 计算复杂. 因此对误差项进行增量运算: 由e(xi+1) = yr+1 – yi – 0.5 得e(xi+2) = yr+2 – yi+1 – 0.5 又 yr+1 = yr+ k , e(xi+2) = yr+1 + k – yi+1 – 0.5
3.3.2 扫描线算法
原理 确定扫描线与多边形边 的交点位置，自左向右存 储，并对每对内部交点间的 帧缓存填写指定颜色
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3.3.2 扫描线算法
步骤
1）求交 求出扫描线与多边形各边的交点。 2）排序 按x 递增顺序对交点排序。 3）交点匹配 1－2，3－4， 5－6等。 4）运用奇偶规则，填充每对交点间在 多边形区域内部的象素。奇偶规则决 定一个点是否在区域内部：初始化为 偶，遇一交点奇偶性变换一次，奇画 偶不画。
第三章 二维图形的基本光栅图形学算法
直线的扫描转换 圆的扫描转换 多边形填充 线段裁剪 多边形裁剪 反走样
3.1 直线的扫描转换
定义
在二维栅格上计算位于该直线 上的象素坐标(光栅化)，直线由起 始坐标确定
要求
1) 观感好,象素分布均匀 2) 误差小,象素尽可能接近数学理想 坐标 3) 速度快--避免乘除法和浮点数运算
3.1.2 Bresenham 算法
Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广 泛的直线扫描转换算法，与该方法类似的有中 点法。 特点：采用增量计算，对于每一列，只要检查 一个误差项的符号，就可确定该列的所求象 素。
3.1.2 Bresenham 算法
由于x步长为1递增，光 栅直线方程为 yr+1 = yr+ k， yi = Round(yr)为 整数栅格坐标。 xi 列象素（xi,yi ）确定 后，xi+1列象素必然从 C、D 之中产生。
if (e >= 0) { y++；e - -;} e += k; SetPixel(x, y, color);
} }
Bresenham 算 法 误 差 项 的几何含义( |MI| )
3.1.2 Bresenham 算法
举例：用Bresenham方法扫描转换连接两点 P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。
k =2/5 = 0.4， e(1) = k – 0.5 = -0.1 x y e 0 0 e(1) = -0.1 1 0 e(2) = 0.3 2 1 e(3) = -0.3 3 1 e(4) = 0.1 4 2 e(5) = -0.5 5 2 e(6) = -0.1
Bresenham算法源自3.2 圆的扫描转换Bresenham 算 法 误 差 项 的几何含义( |MI| )
3.1.2 Bresenham 算法
初始值e(xi+1) = k – 0.5
void Bresenhamline (int x0,int y0, int x1, int y1,int color) { double k = (y1-y0)/(x1-x0); // 斜率 double e = k – 0.5; // 误差项 int y = y0； for (int x = x0；x < x1；x++) {
最简单、最容易想到的策略 计算直线斜率 k = ∆ y / ∆x = ( y1 − y 0 ) /( x1 − x0 ) 从直线最左端点开始，x 每次递增一个单位，对 xi 计算 y i = kx i + B 显示坐标为 ( xi , floor (0.5 + yi )) 的象素。 通过增量计算去除其中的乘法 由于 y i +1 = kx i +1 + B = k ( x i + ∆ x ) + B = y i + k ∆ x 又 ∆x = 1, 所以 y i + 1 = y i + k . 即x y值可以根据前一点的值推算出来,不用算截距。
扫描线6的AET
3.3.2 扫描线算法
void polyfill (polygon, color) { 1 建立全局边表： for (各条扫描线i ) { 把ymin ＝＝ i 的边结构－>边表ET [i]; } 2 y = 最低扫描线号； 初始化活性边表AET为空； 3 for (各条扫描线i ){ (1) 把边表ET[i]中的边结点插入AET表; (2) 遍历AET表，把y max== i 的结点从AET中删除，并按x坐标值 增序排列各边； (3) 把配对交点区间(左闭右开)上的象素(x, i)，用Setpixel (x, i, color) 改写颜色值； (4) 把AET中每条边结点的x值递增△x； } } /* polyfill */
已知Pi-1 是弧AB上确定 的一点，要从Hi/Li中选 择距离弧最近的作为下 一个象素。而sL,sM,sH 是半径不等的圆弧。且 弧sM满足：Hi Li到该弧 的距离相等。于是弧sM 成为一条分界线。当弧 AB在sM下面时，选择点 Li, 否则选择Hi。
3.2.1 Bresenham 生成圆弧算法