人教A版高中数学选修1-1课件：2.2.2双曲线的几何性质.pptx

a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
二、导出双曲线 y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0)
的简单几何性质
y
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4
y2 42
x2 32
1
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a4
渐近线方程: y 4 x 3
小结
方程
a,b,c关 系
椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞b＞0)
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a＞0b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞0b＞0)
图象
y
M
F1 0
F2 X
Y F1 0
p F2 X
范围
对称性 顶点
离心率 渐近线
|x|a,|y|≤b
|x|≥a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
（-a,0)(a,0) (0,b)(0,-b) 长轴：2a短轴：2b
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y
xa
o
或
x x a
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
y ya
或
o x y a
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
例题讲解
例1:求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长，虚半轴长，
焦点坐标，离心率，渐近线方程。
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2.2.2双曲线 的简单几何性质
曲线 方程 范围
椭圆
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
|x|a,|y|≤b
双曲线
x2 y2 1(a 0, b 0)
a2 b2
对称性
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
顶点 (-a,0),(a,0),(0,b),(0,-b)
长轴长：2a短轴长：2b
离心率
e=
c a
(0＜e＜1)
课堂新授
一、研究双曲线的ax22 简 by22单1几(a 何0,b性 0质)
1、范围
x2 a2
1,即x2
a2
(-x,y)x a, 来自 ay -a o a(x,y) x
yR
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 a2 (a 0)
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
（1）
双曲线 x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2
的渐近线为y b x a
y
b B2
（2） 等轴双曲线x2 y2 a2
A1
(a 0)的渐近线为
y x
（3）利用渐近线可以较准确的 y b x
画出双曲线的草图
a
A2
o a
x
B1
ybx a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e>1
（3）e的含义：
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段叫A1做A2双曲线的实 轴，它的长为2a,a叫做实半 轴长；线段叫做双B1曲B2 线的虚 轴，它的长为2b,b叫做双曲 线的虚半轴长
e=
c a
(0＜e＜1)
无
(-a,0)(a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
e= c (e1)
a
y=
±
b a
x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
强调
（1）等轴双曲线的离心率e=? 2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(2) e c a
c2 a2 b2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
小结
双曲线
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 离心 线率
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)