浙江省嘉兴市第一中学高一下学期期中考试数学试题有答案

嘉兴市第一中学第二学期期中考试
（数学）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，则cos α的值为( )
A ．
35
B ．35
-
C ．
45
D ．45
-
2. 等比数列{}n a 中，258,64a a ==，则{}n a 的前4项和为（ ） A. 48 B. 60 C.81 D.124
3. 将函数sin y x =的图像向右平移
6
π
个单位，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数sin(),(0,||)2
y x π
ωϕωϕ=+><
的图像，则( )
A ．2,3
π
ωϕ==-
B ．2,6
π
ωϕ==-
C ．1
,2
3
π
ωϕ==-
D ．1,2
6
π
ωϕ==-
4. 已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，4,30a b A ===︒，则B 等于（ ）
A ．60︒或120︒
B ．60︒
C ．30︒或150︒
D ．30︒ 5. 已知数列{}n a 满足111,2(*)n n a a a n N +=-≥∈，则（ ）
A. 12n n a -≥
B. 21n a n ≥+
C. 12n n S -≥
D. 2n S n ≥
6. 已知1cos(
)123π
θ-=， 则5sin()12
π
θ+=( )
A.
13
B. C.13- D.
7. 已知等差数列{}n a 中，263,7a a ==，1n n b na =
，则使1299
100
n b b b +++< 成立的最大n 的值为（ ） A.97 B.98 C.99 D.100
8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}n S 为等差数列，则等比数列{}n a 的公比q （ ） A ．可以取无数个值 B ．只可以取两个值 C ．只可以取一个值 D ．不存在 9. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222018a b c +=，则
2tan tan tan (tan tan )
A B
C A B ⋅⋅+的值为（ ）
A. 1008
B. 1009
C.2017
D.2018
10. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数0M >，使得对任意的*n N ∈，都有||n S M <，则称数列{}n a 为“和有界数列”. 下列命题正确的是( )
A ．若{}n a 是等差数列，且首项10a =，则{}n a 是“和有界数列”
B ．若{}n a 是等差数列，且公差0d =，则{}n a 是“和有界数列”
C ．若{}n a 是等比数列，且公比||1q <，则{}n a 是“和有界数列”
D ．若{}n a 是等比数列，且{}n a 是“和有界数列”，则{}n a 的公比||1q <
二、填空题：本大题共7小题，每题3分，共21分。

11.已知2cos()3cos(
)02
x x π
π-+-=，则tan _____x =.
12. 等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的两根，则
117
9
a a a =______. 13. 如图是函数()()2sin ,0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>≤ ⎪⎝
⎭的部分图象，已知函数图象经过
57,2,,0126P Q ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
两点，则ϕ=． 14.在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C
所对的边，若60,1,ABC A b S ∆=︒==，则a =.
15. 在一个数列中，如果对任意的*n N ∈，都有12n n n a a a k ++⋅⋅=（k 为常数）,那么这个数列叫做等积数列，
k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且121,2a a ==，公积为8，则12312a a a a ++++= .
16.数列{},{}n n a b 满足11111121133
2,1,(2,*)12133n n n n n n a a b a b n n N b a b ----⎧
=++⎪⎪==≥∈⎨⎪=++⎪⎩
，则1008100820182018()()a b a b +-=_____.
17.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =-+，数列{}n b 的通项公式为33n n b -=，设||
22
n n n n n a b a b c +-=+
，若对数列{}n c ，3(*)n c c n N ≥∈恒成立，则实数t 的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共49分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. 已知函数()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，02x π⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦，
（1）求6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
；
（2）求()f x 的最大值与最小值.
19.单调递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且245,,3a a a +依次成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设12n a n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n S .
20.如图,正三角形ABC 的边长为2，,,D E F 分别在三边,,AB BC CA 上，且D 为
AB 的中点，90,(090)EDF BDE θθ∠=︒∠=︒<<︒.
A
（1）若30θ=︒，求DEF ∆的面积；
（2）求D EF ∆的面积S 的最小值，及使得S 取得最小值时θ的值.
21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，它满足条件1
(1)1(0,1)n n a S t t t
=-+>≠，数列{}n b 满足lg n n n b a t =⋅.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 是一个单调递增数列，求实数t 的取值范围.
22.已知数列{}n a 中，111,2(1)n n n a a a +==+-.
（1）证明：(1){}3
n
n a -+是等比数列；
（2）当k 是奇数时，证明：
111192
k k k a a +++<； （3）证明：
121113n
a a a +++< . 期中答卷（数学）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共7小题，每题3分，共21分。

11.2
3
12.3π-
15.2816.2017
2017
3
17.[3,6]
三、解答题：本大题共5小题，共49分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. 解:（1）1
cos 62π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1
sin 62π=，所以
111216222f
π⎛⎫
⎛⎫=⨯⨯
+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭…………3分
（2）()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sin cos cos 2x x x x ⎡⎤⎛⎫=⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
)3sin 21cos 22x x =+-26x π⎛⎫- ⎪⎝
⎭…………7分
因为02x π⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦，，所以52666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，.
又因为sin y z =在区间62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是递增，在区间52
6ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上递减.
所以，当26
2
x π
π
-
=
，即3
x π
=
时，()f x ； 当26
6
x π
π
-
=-
，即0x =时，()f x 有最小值0.…………9分
19．解：（1）由题意可知2425(3)a a a =+，所以2(13)(1)(44)d d d +=++，解得1d =或3
5
-
因为{}n a 单调递增，所以1d =，因此n a n =…………4分 （2）12n n b n -=⋅
∴01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯
12121222(1)22n n n S n n -=
⨯+⨯++-⨯+⨯
两式相减得：1
2
1
121222
2221212
n
n n
n n n n S n n n ---=++++-⨯=-⨯=--⨯-
所以，(1)21n n S n =-⨯+…………10分
20.解：（1）若30θ=︒，1DE DF =
=，所以12S DE DF =⋅=…………3分
（2）在BDE ∆中，由正弦定理得sin 60sin(120)BD DE θ︒=
=
︒-
在ADF ∆中，由正弦定理得sin 60sin(30)AD DF θ︒==
︒+…………7分 所以13
28sin(60)sin(30)S DE DF θθ=
⋅=
︒+︒+=
=
=
当45θ=︒时，
min S =
10分
21. 解：（1）1111
(1)1,(1)1(2)n n n n a S a S n t t --=-+∴=-+≥
两式相减得：111
(1)()(2)n n n n a a S S n t
---=--≥，即：1(2)n n a ta n -=≥
又因为1a t =，且0,1t t >≠，所以{}n a 是首项和公比均为t 的等比数列
因此，n n a t =…………4分
（2）lg lg n n n n b t t nt t =⋅=⋅，由1n n b b +>得：1(1)lg lg n n n t t nt t ++⋅>⋅对*n N ∈恒成立 ○1若1,lg 0t t >>，则1
(1)n n n t nt ++>对一切*n N ∈恒成立，即1
n
t n >
+恒成立 因为
1,11n t n <>+，所以1
n
t n >
+恒成立； ○2若01,lg 0t t <<<，则1
(1)n n n t nt ++<对一切*n N ∈恒成立，即1n t n <
+恒成立，即min ()1
n
t n <+， 因为
1n n +随着n 的增大而增大，所以min 1()12n n =+，所以11
022
t t <⇒<<； 由○1○2可知，1
02
t <<或1t >. …………10分
22.解：（1）12(1)n
n n a a +=+- ,11(1)(1)2[]33
n n n n a a ++--∴+=+,且1(1)2
33a -+=
所以，数列(1){}3
n n a -+是首项为2
3，公比为2的等比数列. …………3分
(2)由（1）可知(1)22(1)333
n n n n
n n a a ---+=⇒=
当k 是奇数时，
111111
111333(21)3(21)92929
2121(21)(21)2221222k k k k k k k k k k k k k k k k a a +++++++-++⋅⋅+=+==<=+-+-⋅+-⋅…………6分 (3)由（2）可知，当n 为偶数时，
1119
2
n n n a a -+< 24121234111(1)
111111*********()()()9()93(1)31222214
n n n
n n n a a a a a a a a a --+++=+++++=+++=⨯=-<- 当n 为奇数时，111192n n n a a +++<，且11
11133
02(1)21
n n n n a ++++==>--- 12111n a a a +++< 12112341
1111111111
()()()n n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++++ 1241111
(1)
1111429()93(1)31222214
n n n +++-<+++=⨯=-<-
因此，121113n
a a a +++< . …………10分。