2002高等数学试题A卷.

广州大学2002-2003学年第二学期考试卷
课 程：高 等 数 学（下）（本科） 考 试 形 式： 闭卷 考试
一．填空题：（每小题3分，共计15分）
1．已知 ||1,||5,3a b a b ==⋅=，则 =⨯||b a。

2．xoy 平面上的双曲线 22
4936x y -= 绕 y 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是
____________________________________________。

3．设 2
2
(,)z f x y xy =+, 其中 f 具有一阶连续偏导数， 则
z
x
∂=∂____________ 。

4．函数22
z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(4,2)-的方向的方向导数为______。

5．若级数
1
n
n u
∞
=∑ 条件收敛, 则级数
1
||n
n u
∞
=∑ 必定____________。

二．单项选择题：选出正确答案填入下表中（每小题3分，共计15分）
1．直线L ：223
314
x y z -+-==
-和平面 :3x y z π++= 的位置关系是 [ ]
(A) L 与π垂直；
(B) L 在π上；
(C) L 与π平行但不在π上。

2． 函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数x z 及y z 存在是(,)f x y 在该点可微分的 [ ]
（A ） 必要条件； （B ） 充分条件； （C ） 充要条件。

3． 若2
2:2D x
y y +≤, 则二重积分
(,)D
f x y dxdy ⎰⎰ 极坐标形式的二次积分为 [ ]
(A) 2sin 0
0(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθθ⎰⎰； (B) 2sin 0
0(cos ,sin )d f r r dr π
θθθθ⎰⎰
；
(C) 1
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ⎰
⎰。

4．设L 为取正向的圆周 2
2
2
x y a +=, 则曲线积分 2
(22)(4)L
xy y dx x
x dy -+-=⎰
[ ]
(A) 0 ；
(B) 2
2a π； (C) 22a π-。

5． 函数 1(1)()n
x
n f x n
∞
=-=∑ 的定义域为 [ ]
(A) (0,)+∞； (B) (1,)+∞； (C) (,1)-∞。

1．设arctan y z x =，求 z
x
∂∂ 和 2z x y ∂∂∂。

2．已知由方程 0z
e xyz -= 确定隐函数 (,)z z x y =, 求全微分dz 。

1．计算
D
yd σ⎰⎰, 其中D 是由y =
2x y +=与0y =围成的闭区域。

2．已知：(,)2y
P x y x e =+，(,)y Q x y xe = （1）证明曲线积分L
Pdx Qdy +⎰
与路径无关；
（2）求二元函数(,)u x y ，使得du Pdx Qdy =+。

五．解答下列各题：（第一小题5分，第二小题7分，共计12分）
1．判定级数 1!
n
n n n
∞
=∑ 的敛散性。

2．求幂级数 1
1
(1)
n
n n x n
∞
-=-∑ 的收敛域及和函数。

六．解答下列各题：（每小题8分，共计16分）
1. 利用高斯公式计算:
cos z
xzdydz e
xdzdx ∑
++⎰⎰, 其中∑由单位球面
与xoy 面围成, 取外侧。

2. 计算由曲面22
z x y =+及平面1z =所围闭区域的表面积。

在第一卦限内作椭球面12
12
2
2
=++z y x 的切平面,使它与三个坐标面所围成的四 面体的体积最小，求该切平面的方程。

设D 为圆域：2
2
1x y +≤，二重积分 D
I dxdy =⎰⎰ 证明：612
1655
I ππ<<。