01.相对论

非观测长度 非原时
事件2： 事件 ：到终点 （ x2 ，t2 ）
两事件的空间间隔 两事件的时间间隔 原长 非原时
例4：地面上一个短跑选手用 10 s 跑完 100 m ，问在 ： 运动的飞船中观测， 与运动员同方向上以 v = 0.6c 运动的飞船中观测，这 个选手跑了多长距离？用了多少时间？ 个选手跑了多长距离？用了多少时间？ 解： 由洛仑兹变换得
[解法二 解法二] 解法二 由“洛仑兹不变量”得： 洛仑兹不变量”
2 2 2 2
(∆ ) −(c∆ ) = (∆ ′) −(c∆ ′) x t x t
∆x =1000m ∆t = 0, ∆x′ = 2000m ,
∆t′ = ±5.77×10 s
−6
例8： （本题 分）4368 ： 本题5分 在 K 惯性系中观测到相距 △x = 9×108 m 的两地 × 发生两事件， 点相隔 △t = 5 s 发生两事件，而在相对于 K 系沿 x 方 向以匀速度运动的 K′系中发现此两事件恰好发生在 同一地点。 系中此两事件的时间间隔。 同一地点。试求在 K′系中此两事件的时间间隔。 解：设两系的相对速度为 v
设飞船系为S'，地球系为 ， 设飞船系为 ，地球系为S，由尺缩效应
v2 ∆ =γ −1∆ ′ = 1− 2 ⋅ ∆ ′ = 0.6×90 =54(m l l l ) c
错！在地球系中，“光脉冲从船尾发出”与“光脉冲到达 地球系中， 光脉冲从船尾发出” 船头”不同时，所以，这两个事件的空间间隔不是地球系 船头”不同时，所以，这两个事件的空间间隔不是地球系 中测得的飞船长度。 中测得的飞船长度。
∆ x 那么， 钟相遇时， 那么，当 A′ 钟与 B 钟相遇时， S 系中 B 钟的读数是 x 。 v 2 2 ∆ 此时S 系中A 此时 ′ 系中 ′ 钟的读数是
1−v c ⋅
y′ A′ x′ ∆x A B A′ x′
；
v
y
y′
x
例6：一宇宙飞船的船身固有长度为 L0 = 90 m ，相对地 ： 在一观测站的上空飞过。 面以的匀速率 v = 0.8c 在一观测站的上空飞过。求： （1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔； ）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔； （2）宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔。 ）宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔。
L 90 −7 0 ∆t0 = = =3.75×10 (s) 8 v 0.8×3×10
例7：在惯性系 中，有两个事件同时发生在 轴上相距 ：在惯性系K中 有两个事件同时发生在x轴上相距 1000m的两点，而在另一惯性系 ′（ 沿 x 轴方向相对 的两点， 的两点 而在另一惯性系K 系运动） 于K系运动）中测得这两个事件发生的地点相距 系运动 中测得这两个事件发生的地点相距2000m. 求在K 系中测这两个事件的时间间隔。 求在 ′系中测这两个事件的时间间隔。 由洛仑兹变换得： 解： 由洛仑兹变换得：
∆ ′ =90 x
∆ ′ =90 c t
90 ∆ =γ (∆ ′ +v∆ ′) = x x t ) 90+0.8c× = 270 (m c 1−0.82 1
例4：地面上一个短跑选手用 10 s 跑完 100 m ，问在 ： 运动的飞船中观测， 与运动员同方向上以 v = 0.6c 运动的飞船中观测，这 个选手跑了多长距离？用了多少时间？ 个选手跑了多长距离？用了多少时间？ 思考：有原时和原长吗？ 思考：有原时和原长吗？ 地球系 S 事件1： 事件 ：起跑 （ x 1 ， t1 ） 飞船系 S' （ x1' ，t1' ） （ x2' ，t2' ）
3 c （1）在速度 v = ___________情况下粒子的动量 ） 情况下粒子的动量 2 等于非相对论动量的两倍。 等于非相对论动量的两倍。 3 （2）在速度 v = ___________情况下粒子的动能 ） c 情况下粒子的动能 等于它的静止能量。 等于它的静止能量。 2
填空题6. 填空题
O O′
0.6c
0.6c L = 20 m
v2 L′ = L 1− 2 =16m c
L′ 16m ∆t′ = = v 0.6×3×108 m⋅s−1
填空题3. 一列高速火车以速率 u 驶过车站，站台 驶过车站， 填空题 上的观察者甲观察到固定于站台、 上的观察者甲观察到固定于站台、相距 1m 的两只 机械手在车厢上同时划出两个痕迹， 机械手在车厢上同时划出两个痕迹，求车厢上的观 察者乙测出两个痕迹间的距离为多少？ 察者乙测出两个痕迹间的距离为多少？
2
∆t0 = 6s
例2：一火箭的固有长度为 L ，相对于地面匀速直线 ： 运动的速率为 v1 ，火箭上的人从火箭后端向位于前 端的靶发射子弹， 端的靶发射子弹，子弹相对于火箭的速率为 v2 ，在 火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是： 火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：
L (A ) v +v2 1 L (C ) v2 −v 1
相对论
的速度离开地球， 例1：某宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球，若地 ： 球上接收到它发出的两个信号之间的时间间隔为 10 s ，则宇航员测出的相应的时间间隔为： 则宇航员测出的相应的时间间隔为：
（A） 6 s ） （C） 10 s ）
（B） 8 s ） （D） 16.7 s ）
10s =
∆t0 1−0.8
飞行， 例3：宇宙飞船相对地球以 0.8c 飞行，一光脉冲从 ： 船尾传到船头， 船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长 90 m， ， 地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件 的空间间隔是： 的空间间隔是： （A）30 m （B）54 m （C）270 m （D）90 m ） ） ） ） 解：飞船系中 地球系中
思考：哪个长度为原长？ 思考：哪个长度为原长？ 把“火车上的痕迹”看成“一把尺”，在站台系 火车上的痕迹”看成“一把尺” 中，两端同时测量得 L＝1m，这一长度为“非原 ＝ ，这一长度为“ 长”。 “火车上的痕迹”在车厢系中的长度为原 火车上的痕迹” 长
L = 0
L u2 1− 2 c
>1 m ( )
∆1 = t
∆′ t 1−(v c)
2
=12.5s
3分 分
这段时间火箭在地面上飞行距离： 这段时间火箭在地面上飞行距离：
S =v⋅ ∆1 t
则导弹飞到地球的时间是： 则导弹飞到地球的时间是：
S v ∆t2 = = ∆ 1 = 25s t v1 v1
1分 分
那么从火箭发射后到导弹到达地面的时间是： 那么从火Biblioteka Baidu发射后到导弹到达地面的时间是：
Ek = mc −m c 0
2
2
m=
m 0 v 1− 2 c
2
1eV=1.6×10
−19
J
填空题2. 两个惯性系中的观察者 和O′以 0.6c 的相 两个惯性系中的观察者O和 填空题 对速度互相接近。 对速度互相接近。如果测得两者的初始距离是 20 m ， 后相遇。 则O′测得两者经过时间 △t′= ________s 后相遇。
v = ∆ 1− 2 t c
2
可直接得到， 是原时。 可直接得到，因为△t′是原时。 是原时
1 2
2 (∆ ) x 2 = (∆ ) − 2 t c
= 4s
[解法二 解法二] 解法二
由“洛仑兹不变量”得： 洛仑兹不变量”
(∆ )2 −(c∆ )2 = (∆ ′)2 −(c∆ ′)2 x t x t
L (B ) v2 (D ) L v 1−v2 c2 1 1
飞行， 例3：宇宙飞船相对地球以 0.8c 飞行，一光脉冲从 ： 船尾传到船头， 船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长 90 m， ， 地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件 的空间间隔是： 的空间间隔是： （A）30 m （B）54 m （C）270 m （D）90 m ） ） ） ）
1−v c ⋅
y′ A′ x′ ∆x A B A′ x′
；
v
y
y′
x
例5：在 S 系中 x 轴上距离为 ∆x 的两处有两个同步钟 A 和 B ， ： 在 S′ 系中 x′ 轴上有一个相同的钟 A′ 。设 S′ 系相对于 S 系 方向匀速运动， 相遇时， 沿 x 方向匀速运动，速度为 v ，且当 A′ 与 A 相遇时，两钟 的读数均为零。 的读数均为零。
x′ = 1
1−(v c)
x −vt1 1
2
′ x2 =
1−(v c)
x2 −vt2
2
∆ ′ =γ (∆ −v∆ ) x x t
∆ x ∆ ′ =0 → v = x ∆ t
v v t t ∆ ′ =γ ∆ − 2 ∆ =γ ∆ − 2 ⋅v∆ t t x c c
r r pEinstein = m v
Ek = mc −m c 0
2 2
r r pNewton = m v 0
E0 = m c 0
2
填空题7. 在实验室中，有一个以速率 0.5c 飞行的 在实验室中， 填空题 原子核， 原子核，此核沿着它的运动方向以相对于核为 0.8c 的速度射出一电子，同时还向反方向发射一光子， 的速度射出一电子，同时还向反方向发射一光子， 0.93c ， 实验室中的观察者测得电子的速率为___________， 实验室中的观察者测得电子的速率为 c 光子的速率为___________。 光子的速率为 。 c
∆ = ∆1 +∆ 2 =12.5+25=37.5s 1分 t t t 分
选择题7. 一个电子的运动速度 v = 0.99c ，它的 选择题 动能是：（ ：（电子的静止能量为 动能是：（电子的静止能量为 0.51 MeV） ） （A） 3.5 MeV ） （C） 3.1 MeV ） （B） 4.0 MeV ） （D） 2.5 MeV ）
v ∆t′ =γ (∆t − 2 ∆x) = c
1 0.6c (10− 2 ×100) ≈12.5s c 0.6c 2 1−( ) c
∆x′ =γ (∆x−v∆t) =1.25×(100−0.6c×10) = −2.25×109 m
在飞船中的观察者看来， 在飞船中的观察者看来，选手用 12.5 秒时间反向跑了 2.25×109 米。 ×
解： （1） 由相对论效应，观测站测出船身的长度为 ） 由相对论效应，
L =γ −1L = 1−0.82 ×90 =54(m ) 0
观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔
L 54 ∆t = = = 2.25×10−7(s) 8 v 0.8×3×10
（2） 宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔 ）
∆ ′ =γ (∆ −v∆ ) x x t
v ∆ ′ =γ ∆ − 2 ∆ t t x c
∆x =1000m ∆t = 0, ∆x′ = 2000m ,
∆′ x → γ= =2 ∆ x
3 γ= → v= c 2 v 2 1−( ) c
1
v γv∆x ′ ′ t t ∆ ′ =t2 −t1 =γ (∆ − 2 ∆ ) = − 2 x c c 3 1000 = −2× × = −5.77×10−6(s) 8 2 3×10
例5：在 S 系中 x 轴上距离为 ∆x 的两处有两个同步钟 A 和 B ， ： 在 S′ 系中 x′ 轴上有一个相同的钟 A′ 。设 S′ 系相对于 S 系 方向匀速运动， 相遇时， 沿 x 方向匀速运动，速度为 v ，且当 A′ 与 A 相遇时，两钟 的读数均为零。 的读数均为零。
∆ x 那么， 钟相遇时， 那么，当 A′ 钟与 B 钟相遇时， S 系中 B 钟的读数是 x 。 v 2 2 ∆ 此时S 系中A 此时 ′ 系中 ′ 钟的读数是
例9： （本题 分）4378 ： 本题5分 火箭相对于地面以 v = 0.6c（ c 为真空中光速） （ 为真空中光速） 的匀速度向上飞离地球。 的匀速度向上飞离地球。在火箭发射后△t′= 10 s 时 火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹， ），该火箭向地面发射一导弹 （火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速 问火箭发射后多长时间， 度相对于地面为 v1= 0.3c ，问火箭发射后多长时间， 导弹到达地球？（地球上的钟）。 ？（地球上的钟）。计算中假设地面 导弹到达地球？（地球上的钟）。计算中假设地面 不动。 不动。 解：按地球的钟，导弹发射的时间是在火箭发射后 按地球的钟，