高一数学空间向量夹角与距离

(2).向量的坐标及运算为解决线段长 度及两线垂直方面的问题提供了有力 和方便的工具，对于几何体中有关夹 角，距离，垂直，平行的问题，可将 其转化为向量间的夹角，模，垂直， 平行的问题，利用向量的方法解决。
作业：书本第 43页6,7,8,9
再见！
深圳办公家具厂 深圳办公家具厂
α A D
o
B
已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足 求证：OA∥BD
A
z
D
y
α
x
k i oj
B
证明：以点O为原 点，以射线OA为非 负z轴，建立空间直 角坐标系O-xyz， i,j,k为沿x轴，y轴， z轴的坐标向量，且 设BD=(x,y,z).
如果表示向量a的有向线段 所在直线垂直于平面α，则称 这个向量垂直于平面α，记作 a⊥α 如果a⊥α ，那么向量a叫 做平面α的法向量
§9.6.3 夹角和距离公式
空间直角坐标系
z A k i o j
若a=a1i+a2j+a3k
则a=(
a1,a2,a3 )
y
OA=(x,y,z); A(x,y,z)
x
设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
z
k i o
x1
j
a
y1
y
x
向量的直角坐标运算
A(3,3,1)
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求： (2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z) 的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A、B的距离相等，则
(x 3) y 3 z 1 x 1 y 0 z 5
2 2 2 2 2 2
化简，得 4x+6y-8z+7=0
即到A,B距离相等的点的坐标（x,y,z) 满足的条件是4x+6y-8z+7=0
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直线 AB与EF所成的角.
F
A1
D
D1
B1
M
C1 E C
∠MFE即异面直线 AB与EF所成的角
a1b1+a2b2+a3b3=0
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：
(1)线段 AB的中点坐标和长度；
z B(1,0,5)
M
设M(x,y,z)是AB的中点，则 OM=
1 2
(OA+OB)
AM=MB
y
2 2 2
o
x
d A, B 1 3 0 3 5 1 29
书本第42页练习 1.2.3.4.5
小结：
(1)两个公式：
已知：a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3 a a a b b b
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 2 3 2
d A,B x2 x1 y2 y1 z 2 z1
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
a + b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
λa=（λa1, λa2, λa3) a· b=a1b1+a2b2+a3b3
设a=(a1,a2,a3),
b=(b1,b2,b3)
a//b
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3（λ∈R）
a⊥b
mqv83hnp
谢！耿老爹接着说：“众乡亲们不惜出大力气帮助俺实现这个美好的梦想，俺们不会让大家伙儿白白出力的。大家伙儿谁出了多少工， 都做了些什么，俺长女耿英会详细地记载下来的。等咱们的学堂和戏台修建好了以后，俺们就会把所有的工钱，以优惠于常规佣工费用 的额度交付给大家伙儿！或者谁想提前支付也行„„”耿老爹的话还没有说完，耿憨就急着插话了。他大声说：“大哥啊，这造福乡里， 有益于子孙后人的大好事儿，你就不要说交付工钱的事情啦！没有人是奔工钱来的啊！”大பைடு நூலகம்伙儿七嘴八舌地说：“就是哇，就是哇， 付什么工钱啊，这样的大好事儿，俺们巴不得多干点儿呢！”“就是哇，不要再说付工钱的事情了，只给大家伙儿安排活计就妥了嘛！” 耿老爹摆摆手，诚恳地说“不不不，工钱是一定要付的！放心哇，这是修建计划之内的事情，有这一部分银子呢！下面让耿正也说几句 哇！”说着话，耿老爹把八仙桌前的讲话位置让给耿正。耿正上前来转着圈儿连连拱手，热情洋溢地对大伙儿说：“该说的话俺爹都说 了，俺就不再重复了。这今后哇，就仰仗各位乡亲们多多光照，多多出力了！俺今儿个就在这里，代表全家人先谢过大家伙儿了！”一 阵热烈的掌声过后，耿正说：“今儿个是黄道吉日，咱们就来一个简单的破土动工仪式哇！是这样，咱们学堂的大门准备开在大院儿的 西南角上。现在啊，大家伙儿只要在咱这周围已经划下的双条围墙线框内随便挖几锨，刨几镐就行了！然后哇，大家伙儿就来这里，把 自己家眼下可以抽调出来的人手，让俺大妹妹耿英登记一下，俺好根据咱们现在的人手，组织下一步要做的事儿！”“好嘞！”众乡亲 们一声呼应，就四下里散开了，每个人都激动地在围墙线框内挖下了第一锨，刨下了第一镐„„还有不少人，在挖了和刨了一会儿以后， 还意犹未尽地将围墙线框内那些不太平整的地方修整一番„„董家成和耿憨嘀咕了几句以后，俩人就拿着铁锹在围墙线框内靠近西南角 大门位置的一侧比划着挖开了一圈长方形的地基。耿老爹、耿正和耿直陪着设计师傅们在场地周围慢慢地转了一圈，互相交换了一些开 始下一步工程的想法以后，就请老师傅们回家去了。父子仨转回身来，耿老爹忽然发现董家成和耿憨怎么在这疙瘩忙活呢，就对耿正和 耿直说：“走，看看这老哥儿俩在忙活些啥呢？”耿正过来一看，马上就明白了，笑着说：“哈，太好了，这里正好需要盖一个临时用 的简易工棚呢！”耿老爹赞许地说：“不错，不错，位置正好，大小也合适！”耿憨说：“这工地上铺开了干上以后，就需要有人日夜 照看呢！”董家成说：“旁边还需要再盖一个更简易一些的工具间和小一些的烧水间。在烧水间里边需要垒一个炉灶，架一口大铁锅烧 开水！”耿老爹说：“再在
A
B
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直 线AB与EF所成的角.
z F D1 B1 D A x C1
A1
E C y
解：以D为原点， DA,DC,DD1分别为x 轴，y轴，z轴建立直 角坐标系.
B
例3.求证：如果两条直线垂直于一个 平面，则这两条直线平行。 已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足 求证：OA∥BD