九下第二章二次函数全章热门考点整合专训作业新版北师大版

第二章 二次函数
全章热门考点整合专训
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1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是( ) A．y＝3x＋1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x2＋1
17．【2023·无锡天一中学月考】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2的图象交于C，D两点． (1)求二次函数的表达式；
解：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，
∴y＝x2＋2x－2.
17．【2023·无锡天一中学月考】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2的图象交于C，D两点． (2)求△BCD的面积；
D
2．【荣德原创题】若y＝ 是关于x的二次函数，则该函数的最小值为________．
3．【2023·河南】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：由图象知抛物线在直线上方时，x<－3或x>0， ∴不等式x2＋bx＋c>－x－2的解集为x<－3或x>0.
解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a，b， c是常数，a≠0)，
(3)抛物线的顶点坐标为(－1，－2)且通过点(1，10)．
解：设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－2， 将(1，10)代入得，a(1＋1)2－2＝10，解得a＝3， 所以该二次函数的表达式为y＝3(x＋1)2－2.
15．【2023·岳阳一模】已知二次函数y＝ (m－1)x2＋(n－6)x＋1(m≥0，n≥0)，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为( ) A．4 B．6 C．8 D.
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)．
解：x＝5t，y＝－ t2＋12t.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
12．【2023·滨州】要修一个圆形喷水池，如图，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管长度应为________．
2.25 m
13．【2023·武汉】某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点飞行的水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表．
∴C(－3，1)，D(0，－2)， 过点B作BE⊥x轴，交CD于点F， 则F(－1，－1)，∴BF＝2， ∴S△BCD＝S△BFD＋S△BFC＝
17．【2023·无锡天一中学月考】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2的图象交于C，D两点． (3)结合图象直接写出不等式x2＋bx＋c>－x－2的解集．
D
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若y>0时，自变量x的取值范围是－2<x<3.则方程cx2＋bx＋a＝0的解为( )
A
【点拨】由二次函数y＝ax2＋bx＋c，当y>0时，自变量x的取值范围是－2<x<3，则易知方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝3，x2＝－2. 由方程cx2＋bx＋a＝0可知x≠0，
C
16．已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)． (1)求抛物线的对称轴；
解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝1.
解：抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位长度，可得抛物线y＝ax2－2ax＋3－3|a|. ∵该抛物线的顶点落在x轴上， ∴(－2a)2－4a(3－3|a|)＝0，解得a＝
C
9．【2023·无锡二模】已知抛物线y＝x2－4mx＋4m2＋3m－1(m为常数)．若该抛物线与x轴只有一个交点，则m＝________；若该抛物线与直线y＝－x＋1有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，则m的取值范围是________．
10．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设BC的长度是x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的 取值范围．
11．【2023·南充】某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y(元)与每日产销x(件)满足关系式y＝80＋0.01x2. (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．(利润＝(售价－成本)×产销数量－专利费)
解：由题意得，w1＝(8－m)x－30(0<x≤500)， w2＝(20－12)x－(80＋0.01x2)＝－0.01x2＋8x－80(0<x≤300)．
11．【2023·南充】某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y(元)与每日产销x(件)满足关系式y＝80＋0.01x2. (2)分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
解：∵4≤m≤6，∴8－m>0，∴w1随x的增大而增大， ∴当x＝500时，w1最大，最大为(8－m)×500－30＝ －500m＋3 970(元)． w2＝－0.01x2＋8x－80＝－0.01(x－400)2＋1 520， ∵－0.01<0，∴当x<400时，w2随x的增大而增大， ∴当x＝300时，w2最大，最大为－0.01×(300－400)2＋1 520＝1 420(元)．
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300.
11．【2023·南充】某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y(元)与每日产销x(件)满足关系式y＝80＋0.01x2. (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元、w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
解：依题意，得－ t2＋12t＝0. 解得t1＝0(舍去)，t2＝24，当t＝24时，x＝120. 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
解：设发射平台相对于安全线的高度为n m，飞机相对于安全线的飞行高度y′＝－ t2＋12t＋n. ∵125<x<130，∴125<5t<130，∴25<t<26， 在y′＝－ t2＋12t＋n中，当t＝25，y′＝0时，n＝12.5； 当t＝26，y′＝0时，n＝26. ∴12.5<n<26. 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.
D
4．【2022·郴州】关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是( ) A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(－1，5) C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大
D
5．【2023·苏州实验中学二模】若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，P(5，y3)在抛物线y＝x2－2x上，则下列结论正确的是( ) A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y2
解：∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍．∴AE＝2BE. 设BE＝a m，则AE＝2a m，可得8a＋2x＝80.
10．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设BC的长度是x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (2)当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
16．已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)． (2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
解：由①当a>0时，原抛物线开口向上． 若y1>y2，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，∴|a－1|>|2－1|，即|a－1|>1. ∴a－1>1或a－1<－1，解得a>2或a<0. 又∵a>0，∴a>2.
B
6．【2023·眉山】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，下列四个结论：①abc<0；②4a－2b＋c<0；③3a＋c＝0；④当－3<x<1时，ax2＋bx＋c<0.其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解：当－500m＋3 970>1 420，即4≤m<5.1时，该工厂应该选择产销A产品； 当－500m＋3 970＝1 420，即m＝5.1时，该工厂应该选择产销A，B任一产品； 当－500m＋3 970<1 420，即5.1<m≤6时，该工厂应该选择产销B产品． 综上所述，当4≤m<5.1时，该工厂应该选择产销A产品；当m＝5.1时，该工厂应该选择产销A，B任一产品；当5.1<m≤6时，该工厂应该选择产销B产品．
16．已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)． (3)设点P(a，y1)，Q(2，y2)在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
②当a<0时，原抛物线开口向下． 若y1>y2，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴|a－1|<|2－1|，即|a－1|<1. ∴－1<a－1<1，解得0<a<2. 又∵a<0，∴此情况不成立． 综上，a的取值范围为a>2.
8．【2023·烟台】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为 ，与x轴的一个交点在(0，0)和(1，0)之间，则以下结论：①abc>0；②2b＋c>0；③若图象经过点(－3，y1)，(3，y2)，则y1>y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0无实数根，则m<3.其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
14．根据下列条件求关于x的二次函数的表达式． (1)图象经过点(0，1)，(1，0)，(3，0)；
解：设二次函数的表达式为y＝a(x－1)(x－3)， 把(0，1)代入，得a(0－1)(0－3)＝1，解得a＝ ， 所以二次函数的表达式为y＝ (x－1)(x－3)．
(2)当x＝1时，y＝0；x＝0时，y＝－2；x＝2时，y＝3；