2020版高考数学培优考前练文科通用版课件:2.4 导数及其应用(压轴题)
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+(2-������ ������ 2
)������
-1
=
(������������
+1)(2������ ������ 2
-1),由
f'(1)=0,解得
m=-1.
从而f(1)=-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.
-11-
12345
(2)由 f'(x)=(������������ +���1���)2(2������-1)(x>0),
-1=-������
2 +������ -������ ������ 2
,
方程-x2+x-a=0 对应的 Δ=1-4a,
当 Δ=1-4a≤0,即 a≥14时,当 x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当 0<a<14时,方程-x2+x-a=0 的两根为1±
1-4������,且 0<1-
-7-
12345
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex. 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,
而h(0)=1,故h(x)≤1,
所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1. 当0<a<1时,设函数g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex-1>0(x>0), 所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0, 故ex≥x+1. 当0<x<1时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取
2
2
时,f(x)单调递减;
当 0<a<1时,f(x)在
4
1- 1-4������ , 1+ 1-4������
2
2
上单调递增,在
0,1- 1-4������
2
,
1+ 1-4������,+∞ 上单调递减;
2
当 a≥14时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
-14-
12345
(2)原式等价于(x-1)a>xln x+2x-1,即存在 x>1,使 a>������ln������+2������-1成立.
当 m≥0 时,函数 y=f(x)的减区间为 0,12 ,增区间为 12,+∞ .
当 m<0 时,由 f'(x)=(������������ +���1���)2(2������-1)=0,得 x=-���1���,或 x=12.
当 m<-2 时,y=f(x)的减区间为
0,-���1���
和
12,+∞
������ 0 +2������ ������ 0 -1
0
-1=x0+1.
由题意可知a>x0+1.又x0∈(3,4),a∈Z,
∴a的最小值为5.
-15-
12345
4.已知函数 f(x)= ���3���-1 ex+������������(x>0,a∈R). (1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围; (2)当a∈(-3,-e)时,判断关于x的方程f(x)=2的解的个数.
-16-
12345
(2)由题意得 f(x)= ���3���-1 ∴eax=+2������������x=-2(3(x-x>)0ex)(,x>0),
设 设
gh((xx))==���x���l-nln������������+-x12-���2���-,1则(x>h1'()x,则)=1g-'���1(��� x=)=���������������(-���-���1l���n->1������)0-22, ,
������-1
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增.
单调递减.
-5-
12345
(2)当 0<a<3 时,由(1)知,f(x)在
0,
������ 3
单调递减,在
������ 3
,1
单调递增,所以
f(x)在[0,1]的最小值为 f
������ 3
=-2������73+2,最大值为 f(0)=2 或 f(1)=4-a.
于是
m=-2������73+2,M=
又 h(3)=3-ln 3-2=1-ln 3<0,h(4)=4-ln 4-2=2-2ln 2>0,根据零点存在性
定理,
可知 h(x)在(1,+∞)上有唯一零点,设该零点为 x0,则 x0∈(3,4),且
h(x0)=x0-ln x0-2=0,
即
x0-2=ln
x0,∴g(x)min=������ 0 ln
Ⅰ
卷
Ⅱ
卷
Ⅲ
卷
命题 角度 1
利用导数研 究函数的单 调性
21
20
函数的单调
命题 性与极值、
角度 2 最值的综合
21 20 21
21
应用
-2-
2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年
2020 年高考必备
Ⅰ卷
ⅡⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢ
卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷
利用导数
命题 研究函数
(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围. 解:(1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1), 又f'(x)=x2+2x+a,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为-3, 所以f'(0)=a=-3,所以f'(x)=x2+2x-3. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
2.4 导数及其应用(压轴 题)
高考命题规律
1.每年必考考题,一般在21题位置作为压轴题呈现. 2.解答题,12分,高档难度.
3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.
2020 年高考必备
2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年
Ⅰ卷
Ⅱ
卷
Ⅰ
卷
Ⅱ
卷
Ⅲ
卷
Ⅰ
卷
Ⅱ
卷
Ⅲ
卷
Ⅰ
卷
Ⅱ
卷
Ⅲ
卷
,
+
∞
单调递增,在
0,
������ 3
单调递减;
若 a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
若 a<0,则当 x∈
-∞,
������ 3
∪(0,+∞)时,f'(x)>0;
当 x∈
������ 3
,0
时,f'(x)<0.
故 f(x)在
-∞,
������ 3
,(0,+∞)单调递增,在
������ 3
,0
,增区间为
-���1���
,
1 2
;
当 m=-2 时,y=f(x)的减区间为(0,+∞),没有增区间.
当-2<m<0 时,y=f(x)的减区间为 0,12 和 -���1���,+∞ ,增区间为 12,-���1��� .
综上可知:当 m≥0 时,函数 y=f(x)的减区间为 0,12 ,增区间为 12,+∞ ;
2
2
-13-
12345
此时当 x∈ 0,1+ 1-4������ ,f'(x)>0,f(x)单调递增,
2
当 x∈ 1+ 1-4������,+∞ 时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
2
综上:当 a≤0 时,x∈ 0,1+ 1-4������ ,f(x)单调递增,当 x∈ 1+ 1-4������,+∞
-10-
12345
2.已知函数 f(x)=(2-m)ln x+���1���+2mx.
(1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解:(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2������
������
2
当 m<-2 时,y=f(x)的减区间为
0,-���1���
和
12,+∞
,增区间为
-���1���
,
1 2
;
当 m=-2 时,y=f(x)的减区间为(0,+∞),没有增区间;
当-2<m<0 时,y=f(x)的减区间为 0,12 和 -���1���,+∞ ,增区间为 12,-���1��� .
-12-
角度 3 的零点或 21
21
方程的根
21 20
命题 导数与不 角度 4 等式
21
21 21 21
命题 角度 5
恒成立与 存在性问 题
-3-
12345
利用导数研究函数的单调性 高考真题体验·对方向
1.(2019全国Ⅲ·20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性; (2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m 的取值范围.
2
1-4������ 2
<
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1+
1-4������ ,
2
此时,f(x)在 1- 1-4������ , 1+ 1-4������ 上 f'(x)>0,函数 f(x)单调递增,
2
2
在 0,1- 1-4������ , 1+ 1-4������,+∞ 上 f'(x)<0,函数 f(x)单调递减;
2
2
当 a≤0 时,1- 1-4������<0,1+ 1-4������>0,
.
当 2≤a<3 时,2������73单调递增,所以 M-m 的取值范围是
8 27
,1
.
综上,M-m 的取值范围是
8 27
,2
.
-6-
12345
2.(2017全国Ⅱ·21)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 解:(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex. 令 f'(x)=0 得 x=-1- 2,x=-1+ 2. 当 x∈(-∞,-1- 2)时,f'(x)<0; 当 x∈(-1- 2,-1+ 2)时,f'(x)>0; 当 x∈(-1+ 2,+∞)时,f'(x)<0. 所以 f(x)在(-∞,-1- 2),(-1+ 2,+∞)内单调递减,在(-1- 2,-1+ 2)内单 调递增.
解:(1)∵f(x)= ���3���-1 ex+������������(x>0), ∴f'(x)=ex ���3���-1-������32 -������������2 = -������2+������23������-3·ex-������������2.
由题意得 f'(x)=-������2+������23������-3·ex-������������2≤0 在(0,+∞)恒成立, 即a≥(-x2+3x-3)·ex在(0,+∞)恒成立, 设g(x)=(-x2+3x-3)·ex,则g'(x)=ex(-x2+x), ∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴g(x)max=g(1)=-e, ∴a≥-e.∴实数a的取值范围为[-e,+∞).
-4-
12345
解:(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=���3���.
若 a>0,则当 x∈(-∞,0)∪
������ 3
,
+
∞
时,f'(x)>0;
当 x∈
0,
������ 3
时,f'(x)<0.
故 f(x)在(-∞,0),
������ 3
x
(-∞,-3) -3 (-3,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值 减
极小值 增
-9-
12345
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞),单调递减区间为(3,1). (2)因为函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,所以f'(x)≥0.即对x∈[-2,a], 只要f'(x)min≥0. 因为函数f'(x)=x2+2x+a的对称轴为x=-1, 当-2≤a≤-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(a), 由f'(a)=a2+3a≥0,得a≥0或a≤-3,所以此种情况不成立; 当a>-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(-1), 由f'(-1)=1-2+a≥0得a≥1, 综上,实数a的取值范围是[1,+∞).
4-������,0 < 2,2 ≤ ������
������ < 2, < 3.
所以 M-m=
2-������
+
������3 27
,0
<
������
<
2,
������3 27
,2
≤
������
<
3.
当 0<a<2 时,可知 2-a+2������73单调递减,
所以 M-m 的取值范围是
8 27
,2
x0=
5-4������ 2
-1,则
x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故
f(x0)>ax0+1.
当 a≤0 时,取 x0=
5-1,则
2
x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.
综上,a 的取值范围是[1,+∞).
-8-
12345
典题演练提能·刷高分 1.已知函数 f(x)=13x3+x2+ax+1.
12345
3.已知函数 f(x)=ln x+������������-x+1-a(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)若存在 x>1,使 f(x)+x<1���-���������成立,求整数 a 的最小值.
解:(1)由题意可知,x>0,f'(x)=���1���